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数学五介绍数学五介绍章建跃第1页一、内容和要求一、内容和要求 第一章第一章 解三角形解三角形本本章章主主要要内内容容是是介介绍绍三三角角形形正正弦弦定定理理、余余弦弦定定理理，及及其其简简单单应应用用，意意在在经经过过对对任任意意三三角角形形边边长长和和角角大大小小关关系系探探索索，掌掌握握正正弦弦定定理理、余余弦弦定定理理，并并能能处处理理一一些些简简单单三三角角形形度度量量问问题题以以及及能能够够利利用用正正弦弦定定理理、余余弦弦定定理理等等知知识识处处理理一一些些与与测测量量和和几几何何计计算算相相关实际问题。关实际问题。第2页1.1 1.1 “正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理”对于正弦定理，教科书首先让学生回想任意三角对于正弦定理，教科书首先让学生回想任意三角形中有形中有“大边对大角，小边对小角边角关系大边对大角，小边对小角边角关系”，引导学生思索是否能得到这个边、角关系准确量引导学生思索是否能得到这个边、角关系准确量化表示问题。因为包括边角之间数量关系，就比化表示问题。因为包括边角之间数量关系，就比较自然地引出三角函数。在直角三角形中，边之较自然地引出三角函数。在直角三角形中，边之间比就是锐角三角函数。研究特殊直角三角形中间比就是锐角三角函数。研究特殊直角三角形中正弦，就很轻易得到直角三角形中正弦定理。正弦，就很轻易得到直角三角形中正弦定理。第3页分分析析直直角角三三角角形形中中正正弦弦定定理理，考考查查结结论论是是否否适适合合用用于于锐锐角角三三角角形形，能能够够发发觉觉和和实实际际上上表表示示了了锐锐角角三三角角形形边边ABAB上上高高。这这么么，利利用用高高两两个个不不一一样样表表示示，就就能能够够证证实实锐锐角角三三角角形形中中正正弦弦定定理理。钝钝角角三三角角形形中中定定理理证证实实要要应应用用正正弦弦函函数数诱诱导导公公式式，教教科科书书要要求学生自己经过探究来加以证实。求学生自己经过探究来加以证实。第4页利用正弦定了解三角形是正弦定理一个直利用正弦定了解三角形是正弦定理一个直接应用，教科书首先说明了什么是解三角接应用，教科书首先说明了什么是解三角形：普通地，把三角形三个角形：普通地，把三角形三个角A，B，C和和它们对边叫做三角形元素。由已知三角形它们对边叫做三角形元素。由已知三角形几个元素求其它元素过程叫做解三角形。几个元素求其它元素过程叫做解三角形。应该注意，上述对于解三角形描述是对传应该注意，上述对于解三角形描述是对传统关于解三角形一个简化。在传统解三角统关于解三角形一个简化。在传统解三角形问题中，还把三角形中线、高、角平分形问题中，还把三角形中线、高、角平分线等也作为三角形元素。教科书对此作了线等也作为三角形元素。教科书对此作了简化处理，仅把边和角作为元素。简化处理，仅把边和角作为元素。第5页正正弦弦定定理理实实际际上上包包含含了了三三个个等等式式，每每一一个个等等式式都都表表示示了了三三角角形形两两个个角角和和它它们们对对边边关关系系，所所以以，正正弦弦定定理理能能够够用用于于两两类类解解三三角角形问题：形问题：（1 1）已已知知三三角角形形任任意意两两个个角角与与一一边边，求求其其它两边和另一角。它两边和另一角。（2 2）已已知知三三角角形形两两边边与与其其中中一一边边对对角角，求求另一边对角，进而求出其它边和角。另一边对角，进而求出其它边和角。第6页教科书用两个例题说明应用正弦定了解三教科书用两个例题说明应用正弦定了解三角形方法。已知三角形两边及其中一边对角形方法。已知三角形两边及其中一边对角解三角形时，在一些条件下会出现无解角解三角形时，在一些条件下会出现无解情形，教科书在探究与发觉：情形，教科书在探究与发觉：“关于解三关于解三角形深入讨论角形深入讨论”中对此作了说明。教科书中对此作了说明。教科书例例2 2也包括了这种情况。也包括了这种情况。第7页对于余弦定理，教科书首先研究把已知两边及其对于余弦定理，教科书首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等方法进行量化，也就是研究夹角判定三角形全等方法进行量化，也就是研究怎样从已知两边和它们夹角计算出三角形另一边怎样从已知两边和它们夹角计算出三角形另一边和两个角问题。依据判定三角形全等方法，已知和两个角问题。依据判定三角形全等方法，已知三角形两条边及其所夹角，这个三角形是大小、三角形两条边及其所夹角，这个三角形是大小、形状完全确定三角形。解这个三角形，就是从量形状完全确定三角形。解这个三角形，就是从量化角度来研究这个问题。教科书先研究怎样用已化角度来研究这个问题。教科书先研究怎样用已知两条边及其夹角来表示第三条边，设法找出一知两条边及其夹角来表示第三条边，设法找出一个用已知两条边及其夹角来表示第三条边一个公个用已知两条边及其夹角来表示第三条边一个公式问题。包括边长问题，考虑用向量数量积来加式问题。包括边长问题，考虑用向量数量积来加以证实。教科书利用向量数量积证实了余弦定理。以证实。教科书利用向量数量积证实了余弦定理。第8页余余弦弦定定理理指指出出了了三三角角形形三三条条边边与与其其中中一一个个角角之之间间关关系系，每每一一个个等等式式中中都都包包含含四四个个不不一一样样量量，它它们们分分别别是是三三角角形形三三边边和和一一个个角角，知知道道其其中中三三个个量量，就就能能够够求求得得第第四四个个量量。从从已已知知三三角角形形三三边边确确定定三三角角形形角角，这这就就是是余余弦弦定定理理推推论论，也也能能够够说说是是余余弦弦定理第二种形式。定理第二种形式。应应用用余余弦弦定定理理及及其其推推论论，并并结结合合正正弦弦定定理理，能能够够处理解三角形问题有：处理解三角形问题有：（1 1）已知两边和它们夹角解三角形；）已知两边和它们夹角解三角形；（2 2）已知三角形三边解三角形。）已知三角形三边解三角形。第9页分分析析了了余余弦弦定定理理与与勾勾股股定定理理之之间间关关系系，即即余余弦弦定定理理能能够够看看作作是是勾勾股股定定理理推推广广，教教科科书书中中例例3 3和和例例4 4说说明明了了余余弦弦定定理理及及其其推推论论能能够够处处理理解解三三角角形形问问题题。在在已已知知两两边边及及其其夹夹角角解解三三角角形形时时，能能够够用用余余弦弦定定理理求求出出第第三三条条边边，这这么么就就把把问问题题转转化化成成已已知知三三边边解解三三角形问题。角形问题。第10页1 12 2 “应用举例应用举例”正正弦弦定定理理和和余余弦弦定定理理在在实实际际测测量量中中有有许许多多应应用用，教教科科书书在在第第1.21.2节节“应应用用举举例例”介介绍绍了了它它们们在在测测量量距距离离、高高度度、角角度度等等问问题题中中一一些些应应用用。对对于于未未知知距距离离、高高度度等等，存存在在着着许许多多能能够够供供选选择择测测量量方方案案，能能够够应应用用全全等等三三角角形形方方法法，也也能能够够应应用用相相同同三三角角形形方方法法，或或借借助助解解直直角角三三角角形形方方法法，以以及及在在本本节节介介绍绍应应用用两两个个定定理理方方法法，等等等等。不不过过，因因为为在在测测量量问问题题实实际际背背景景下下，一一些些方方法法可可能能不不能能实实施施，如如因因为为没没有有足足够够空空间间，不不能能用用全全等等三三角角形形方方法法来来测测量量，所所以以，一一个个方方法法会会有有不不足足。这这里里介介绍绍许许多多问问题题是是用用以以前前方方法法所所不不能能处处理。理。第11页本节例1和例2是两个有关测量距离问题。例1 是测量从一个可抵达点到一个不可抵达点之间距离问题，例2 是测量两个不可抵达点之间距离问题。例3、例4和例5是有关测量底部不可抵达建筑物等高度问题。因为底部不可抵达，这类问题不能直接用解直角三角形方法去解决，但经常用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可抵达点之间距离，然后转化为解直角三角形问题。例6是一个有关测量角度问题。第12页关于三角形相关几何计算，教科书包括了关于三角形相关几何计算，教科书包括了三角形高和面积问题。教科书直接给出了三角形高和面积问题。教科书直接给出了计算三角形高公式，这三个公式实际上在计算三角形高公式，这三个公式实际上在正弦定理证实过程中就已经得到。教科书正弦定理证实过程中就已经得到。教科书证实了已知三角形两边及其夹角时面积公证实了已知三角形两边及其夹角时面积公式。式。第13页在在不不一一样样已已知知条条件件下下求求三三角角形形面面积积问问题题，与与解解三三角角形形问问题题有有亲亲密密关关系系，我我们们能能够够应应用用解解三三角角形形知知识识，求求出出需需要要元元素素，就就能能够够求求出出三三角角形形面面积积。教教科科书书例例7 7和和例例8 8说说明明了了在在不不一一样样已已知知条条件件下下求求三三角角形形面面积积问问题题常常看看法法法法。已已知知三三角角形形三三边边求求三三角角形形面面积积问问题题在在历历史史上上是是一一个个主主要要问问题题，在在西西方方有有海海伦伦公公式式，在在我我国国数数学学史史上上有有秦秦九九韶韶“三三斜斜求求积积公公式式”，教教科科书书在在阅阅读读与与思思索索中中对对此此作作了了介介绍绍，在在习习题题中中要要求求学学生生加加以证实。以证实。第14页例例9 9是是关关于于三三角角形形边边角角关关系系恒恒等等式式证证实实问问题题，课课程程标标准准要要求求不不在在这这类类问问题题上上作作过过于于繁繁琐琐训训练练，教教科科书书选选择择例例题题仅仅限限于于直直接接用用正正弦弦定定理理和余弦定理能够证实问题。和余弦定理能够证实问题。第15页本本章章内内容容有有很很强强实实践践性性，教教科科书书安安排排了了第第1.31.3节节“实习作业实习作业”。依据课程标准，本章有以下教学要求：依据课程标准，本章有以下教学要求：（1 1）经经过过对对任任意意三三角角形形边边长长和和角角度度关关系系探探索索，掌掌握握正正弦弦定定理理、余余弦弦定定理理，并并能能处处理理一一些些简简单单三三角角形度量问题。形度量问题。（2 2）能能够够利利用用正正弦弦定定理理、余余弦弦定定理理等等知知识识和和方方法法处理一些与测量和几何计算相关实际问题。处理一些与测量和几何计算相关实际问题。第16页本章教学重点是经过对于三角形边角探究，证明正弦定理和余弦定理，并运用两个定了解决一些有关实际问题。本章教学难点是经过对于三角形边角关系探究，证明正弦定理和余弦定理,以及应用定了解决实际问题。第17页第二章第二章 数列数列本章着重研究两类特殊数列本章着重研究两类特殊数列等差数列、等比数等差数列、等比数列通项公式及前列通项公式及前n n项和公式。教科书首先经过所谓项和公式。教科书首先经过所谓三角形数、正方形数引入数列概念，然后将数列看三角形数、正方形数引入数列概念，然后将数列看作一个特殊函数，介绍了数列几个简单表示法（列作一个特殊函数，介绍了数列几个简单表示法（列表、图象、通项公式、递推公式）。教科书对等差表、图象、通项公式、递推公式）。教科书对等差数列是从现实生活中一些实际问题引入，然后从等数列是从现实生活中一些实际问题引入，然后从等差数列定义入手，让学生经过探索得到等差数列通差数列定义入手，让学生经过探索得到等差数列通项公式。对于等差数列前项公式。对于等差数列前n n项和问题，教科书介绍项和问题，教科书介绍了少年高斯计算方法，推广得到计算等差数列前了少年高斯计算方法，推广得到计算等差数列前n n项和两个公式，并介绍了这两个公式应用。项和两个公式，并介绍了这两个公式应用。第18页与等差数列展现方式类似，教科书经过细与等差数列展现方式类似，教科书经过细胞分裂个数问题、计算机病毒感染、银行胞分裂个数问题、计算机病毒感染、银行中复利，以及我国古代关于中复利，以及我国古代关于“一尺之棰，一尺之棰，日取其半，万世不竭日取其半，万世不竭”等问题研究，得到等问题研究，得到等比数列定义，然后要求学生类比等差数等比数列定义，然后要求学生类比等差数列通项公式推导过程，探索发觉等比数列列通项公式推导过程，探索发觉等比数列通项公式，并介绍了公式应用。教科书经通项公式，并介绍了公式应用。教科书经过国际象棋棋盘与麦粒总数著名例子引入过国际象棋棋盘与麦粒总数著名例子引入求等比数列前求等比数列前n n项和问题，推导得到求和项和问题，推导得到求和公式，并介绍了公式应用。公式，并介绍了公式应用。第19页2.1 2.1 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法教教科科书书从从三三角角形形数数、正正方方形形数数入入手手，指指出出数数列列实实际际上上就就是是按按照照一一定定次次序序排排列列着着一一列列数数，并并介介绍绍了了关关于于数数列列一一些些基基本本概概念念，接接着着又又指指出出能能够够把把数数列列看看成成是是定定义义在在正正整整数数集集或或其其有有限限子子集集上上函函数数，这这么么就就沟沟通通了了数数列列与与函函数数概概念念之之间间联联络络，使使学学生生能能从从函函数数角角度度来来认认识识数数列列，并并了了解解能能够够用用列列表表、图图象象、通通项项公公式式等等方方式式来来表表示示数数列列，认认识识到到数数列列是是刻刻画画离离散散过过程程一个主要数学工具。一个主要数学工具。第20页2.2 2.2 等差数列等差数列等等差差数数列列在在生生产产和和生生活活中中有有广广泛泛应应用用教教科科书书首首先先从从分分析析四四个个实实际际问问题题中中数数据据出出发发引引入入等等差差数数列列以以及及相相关关一一些些基基本本概概念念，如如等等差差数数列列公公差差，等等差差中中项项等等，然然后后依依据据等等差差数数列列定定义义推推导导了了等等差差数数列列通通项项公公式式，并并举举例例说说明明处处理理相相关关等等差差数数列列问题。问题。第21页2.3 2.3 等差数列前等差数列前n n项和项和教教科科书书首首先先介介绍绍了了少少年年高高斯斯计计算算方方法法，以以1+2+3+1+2+3+n n求求和和为为过过渡渡，最最终终推推广广到到推推导导普普通通等等差差数数列列前前n n项项和和公公式式。本本节节例例1 1和和例例2 2介介绍绍了了等等差差数数列列求求和和公公式式应应用用；例例3 3介介绍绍从从数数列列前前n n项项和和解解析析式式求求数数列列通通项项公公式式方方法法，例例题题后后“探探究究”栏栏目目让让学学生生经经过过探探究究去去发发觉觉等等差差数数列列前前n n项项和和解解析析表表示示式式特特点点，即即等等差差数数列列前前n n项项和和解解析析式式是是一一个个常常数数项项为为0 0二二次次函函数数，例例4 4也也是是关关于于等等差差数数列列前前n n项项和和一个例题。一个例题。本本节节对对等等差差数数列列前前n n项项和和公公式式推推导导是是从从特特殊殊到到普普通一个研究过程。通一个研究过程。第22页2.4 2.4 等比数列等比数列与等差数列类似，教科书经过对于日常生与等差数列类似，教科书经过对于日常生活中实际问题概括得到等比数列基本概念，活中实际问题概括得到等比数列基本概念，并让学生经过探究得到等比数列通项公式。并让学生经过探究得到等比数列通项公式。本节本节4 4个例题说明等比数列通项公式应用，个例题说明等比数列通项公式应用，并注意了与算法知识联络、问题应用性及并注意了与算法知识联络、问题应用性及基础性。基础性。第23页2.5 2.5 等比数列前等比数列前n n项和公式项和公式本节以国际象棋盘与麦粒总数著名例子来本节以国际象棋盘与麦粒总数著名例子来引入等比数列前引入等比数列前n n项求和问题，并应用了项求和问题，并应用了“错位相减错位相减”方法推导了等比数列前方法推导了等比数列前n n项和公项和公式。教科书例式。教科书例1 1和例和例2 2 说明了前说明了前n n项和公式项和公式应用，例应用，例3 3则是一个普通数列问题，表达了则是一个普通数列问题，表达了计算机技术在数学中应用。本节中计算机技术在数学中应用。本节中“阅读阅读与思索：九连环与思索：九连环”和和“探究与发觉：购房探究与发觉：购房中数学中数学”说明了数列知识在实际中应用。说明了数列知识在实际中应用。第24页本章教学要求：本章教学要求：1 1经经过过日日常常生生活活中中实实例例，了了解解数数列列概概念念和和几几个个简简单单表表示示方方法法（列列表表、图图象象、通通项项公公式式），了解数列是一个特殊函数。，了解数列是一个特殊函数。2 2经过实例，了解等差数列、等比数列概经过实例，了解等差数列、等比数列概念；探索并掌握等差数列、等比数列通项公念；探索并掌握等差数列、等比数列通项公式与前式与前n n项和公式；能在详细问题情境中，项和公式；能在详细问题情境中，发觉数列等差关系或等比关系，并能用相关发觉数列等差关系或等比关系，并能用相关知识处理对应问题。体会等差数列、等比数知识处理对应问题。体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数关系。列与一次函数、指数函数关系。第25页第三章第三章 不等式不等式不不等等关关系系与与相相等等关关系系都都是是客客观观世世界界基基本本数数量量关关系系，是是数数学学研研究究主主要要内内容容。依依据据课课程程标标准准，在在本本章章中中学学生生将将经经过过详详细细情情境境，感感受受在在现现实实世世界界和和日日常常生生活活中中存存在在大大量量不不等等关关系系，了了解解不不等等式式（组组）对对于于刻刻画画不不等等关关系系意意义义和和价价值值；掌掌握握求求解解一一元元二二次次不不等等式式基基本本方方法法，并并能能处处理理一一些些实实际际问问题题；能能用用二二元元一一次次不不等等式式组组表表示示平平面面区区域域，并并尝尝试试处处理理一一些些简简单单二二元元线线性性规规划划问问题题；认认识识基基本本不不等等式式及及其其简简单应用；体会不等式、方程及函数之间联络。单应用；体会不等式、方程及函数之间联络。第26页3.1 3.1 不等关系与不等式不等关系与不等式依据课程标准依据课程标准“经过详细情境，感受在现经过详细情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量数量关系、实世界和日常生活中存在着大量数量关系、了解不等式（组）实际背景了解不等式（组）实际背景”要求，教科要求，教科书首先从学生熟知平面几何基础知识和日书首先从学生熟知平面几何基础知识和日常生活中经常碰到长与短、大与小、多与常生活中经常碰到长与短、大与小、多与少、远与近等比较入手，让学生体会客观少、远与近等比较入手，让学生体会客观世界中在数量关系上存在大量不等关系，世界中在数量关系上存在大量不等关系，认识处理不等关系与处理相等关系一样主认识处理不等关系与处理相等关系一样主要，并应用不等式来表示实际问题中不等要，并应用不等式来表示实际问题中不等关系。关系。第27页为为了了研研究究不不等等关关系系，教教科科书书直直接接给给出出了了不不等等式式8 8条条基基本本性性质质，作作为为后后续续不不等等式式运运算算依依据据。即即使使，课课程程标标准准对对于于不不等等式式基基本本性性质质未未作作详详细细要要求求，依依据据教教学学试试验验中中老老师师反反应应，我们在教科书修订中对此作了一些填补。我们在教科书修订中对此作了一些填补。第28页3 32 2 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法教科书从当前学生感兴趣上网收费问题中教科书从当前学生感兴趣上网收费问题中两种收费标准下收费情况比较，引出了一两种收费标准下收费情况比较，引出了一元二次不等式概念。为了得到一元二次不元二次不等式概念。为了得到一元二次不等式解集，本节经过观察二次函数图象与等式解集，本节经过观察二次函数图象与其对应一元二次方程根关系，得到一元二其对应一元二次方程根关系，得到一元二次不等式图解方法，并推广到解普通一元次不等式图解方法，并推广到解普通一元二次不等式，让学生填充求解一元二次不二次不等式，让学生填充求解一元二次不等式图表和程序框图。最终，举例说明解等式图表和程序框图。最终，举例说明解一元二次不等式以及在实际中应用。一元二次不等式以及在实际中应用。第29页3.3 3.3 二二元元一一次次不不等等式式(组组)与与简简单单线线性性规规划划问题问题首先介绍了用二元一次不等式（组）表示首先介绍了用二元一次不等式（组）表示平面区域。能用二元一次不等式（组）表平面区域。能用二元一次不等式（组）表示平面区域，画出给定不等式（组）表示示平面区域，画出给定不等式（组）表示平面区域，是学习简单线性规划知识基础。平面区域，是学习简单线性规划知识基础。从研究详细不等式解集所表示平面区域出从研究详细不等式解集所表示平面区域出发，讨论详细直线一侧点坐标与不等式关发，讨论详细直线一侧点坐标与不等式关系，并作推广，说明普通二元一次不等式系，并作推广，说明普通二元一次不等式也表示直线一侧平面区域。也表示直线一侧平面区域。第30页四个例题分别介绍了怎样用二元一次不等式及四个例题分别介绍了怎样用二元一次不等式及二元一次不等式组表示平面区域以及怎样用二二元一次不等式组表示平面区域以及怎样用二元一次不等式表示实际问题中不等式关系。简元一次不等式表示实际问题中不等式关系。简单线性规划问题，教科书没有系统介绍普通线单线性规划问题，教科书没有系统介绍普通线性规划问题解法，只是局限于能够用图解法处性规划问题解法，只是局限于能够用图解法处理二元线性规划问题，把线性目标函数与直线理二元线性规划问题，把线性目标函数与直线在在y y轴上截距概念联络起来，解法相对比较易于轴上截距概念联络起来，解法相对比较易于操作和了解。教科书举例说明了线性规划问题操作和了解。教科书举例说明了线性规划问题在实际中应用。教科书设置扩展栏目在实际中应用。教科书设置扩展栏目“信息技信息技术应用：用术应用：用excelexcel解线性规划问题举例解线性规划问题举例”，说明，说明了计算机软件在解线性规划问题中应用。了计算机软件在解线性规划问题中应用。第31页34 基本不等式教科书利用数形结合思想，分析在北京召开第24届国际数学家大会会标赵爽弦图中数量关系，得到了主要不等式，并对此主要不等式作变量代换得到基本不等式，并以填空形式要求学生自己探索基本不等式证实过程；再以例题说明基本不等式在处理最大最小值问题中实际应用。第32页本章教学要求：本章教学要求：1 1经经过过详详细细情情境境，感感受受在在现现实实世世界界和和日日常常生生活活中中存存在在着着大大量量数数量量关关系系、了了解解不不等等式式（组组）实实际际背背景景，了了解解不不等等式式一一些些基基本本性质；性质；2 2经经历历从从实实际际情情境境中中抽抽象象出出一一元元二二次次不不等等式式模模型型过过程程；经经过过函函数数图图象象了了解解一一元元二二次次不不等等式式与与对对应应函函数数、方方程程联联络络；会会解解一一元元二二次次不不等等式式，对对给给定定一一元元二二次次不不等等式式，尝试设计求解程序框图。尝试设计求解程序框图。第33页3 3从从实实际际情情境境中中抽抽象象出出二二元元一一次次不不等等式式组组；了了解解二二元元一一次次不不等等式式几几何何意意义义，能能用用平平面面区区域域表表示示二二元元一一次次不不等等式式组组；从从实实际际情情境境中中抽抽象象出出一一些些简简单单二二元元线线性性规规划划问问题题，并能加以处理。并能加以处理。4 4探索基本不等式证实过程；会用基本探索基本不等式证实过程；会用基本不等式处理简单最大不等式处理简单最大(小小)值问题。值问题。第34页二、编写中考虑几个问题二、编写中考虑几个问题 （一）重视建立问题情境，反应数学应用价值（一）重视建立问题情境，反应数学应用价值本本书书在在各各章章内内容容展展开开过过程程中中重重视视建建立立问问题题情情境境，展展现现数数学学与与生生产产和和生生活活实实践践广广泛泛联联络络，以以激激发发学生学习数学兴趣学生学习数学兴趣,认识数学应用价值。认识数学应用价值。在第一章在第一章“解三角形解三角形”中，引言就从一个测量中，引言就从一个测量问题引入：问题引入：“在我国古代就有嫦娥奔月神话故在我国古代就有嫦娥奔月神话故事事.明月高悬，我们仰视夜空，会有没有限遐想，明月高悬，我们仰视夜空，会有没有限遐想，不禁会问，遥不可及月亮离我们地球终究有多不禁会问，遥不可及月亮离我们地球终究有多远呢？远呢？”，这个问题可能大多数学生都会感兴，这个问题可能大多数学生都会感兴趣。趣。第35页另另外外还还有有：1.1.怎怎样样在在航航行行途途中中测测出出海海上上两两个个岛岛屿屿之之间间距距离离？2.2.怎怎样样测测量量底底部部不不可可抵抵达达建建筑筑物物高高度度？3.3.怎怎样样在在水水平平飞飞行行飞飞机机上上测测量量飞飞机机下下方方山山顶顶海海拔拔高高度度？4.4.怎怎样样测测出出海海上上航航行行轮轮船船航航速速和和航航向向？等等等等，另另外外在在第第一一章章中中，教教科科书书在在正正文文、例例题题、习习题题等等内内容容中中编编写写了了内内容容丰丰富富各各种种实实际际应应用用问问题题，比比较较充充分分地地反反应了解三角形理论广泛应用。应了解三角形理论广泛应用。第36页第二章第二章“数列数列”自始至终落实自始至终落实“数列作为数列作为一个特殊函数，是反应自然规律基本数学一个特殊函数，是反应自然规律基本数学模型模型”思想，创造性地发掘了日常生活中思想，创造性地发掘了日常生活中大量实际问题，比如三角形数、正方形数、大量实际问题，比如三角形数、正方形数、存款利息、出租车收费、校园网问题、谢存款利息、出租车收费、校园网问题、谢宾斯基三角形、斐波那契数列、放射性物宾斯基三角形、斐波那契数列、放射性物质衰变、商场计算机销售问题、九连环智质衰变、商场计算机销售问题、九连环智力游戏、购房中数学等等。使学生充分感力游戏、购房中数学等等。使学生充分感受到数列是反应现实生活数学模型，体会受到数列是反应现实生活数学模型，体会数学源于实践并应用于实践。数学源于实践并应用于实践。第37页第第三三章章“不不等等式式”从从日日常常生生活活中中经经惯惯用用到到“长长与与短短、”“”“大大与与小小”、“多多与与少少”、“远远与与近近”等等实实际际情情境境中中引引入入不不等等关关系系，经经过过学学生生感感兴兴趣趣上上网网计计时时收收费费问问题题引引入入一一元元二二次次不不等等式式相相关关概概念念，经经过过让让学学生生比比较较两两种种不不一一样样收收费费方方式式，从从而而认认识识学学习习不不等等关关系系及及不不等等式式是是日日常常生生活活所所需需要要。从从银银行行贷贷款款中中资资金金分分配配问问题题中中引引入入二二元元一一次次不不等等式式组组数数学学模模型型，从从现现实实生生产产、生生活活中中，经经常常碰碰到到资资源源利利用用、人人力力调调配配、生生产产安安排排等等问问题题中中引引入入二二元元线线性性规规划划问问题题。结结合合第第2424届届国国际际数数学学家家大大会会会会标标，联联络络我我国国古古代代数数学学家家赵赵爽爽弦弦图图，紧紧紧紧抓抓住住弦弦图图中中相相关面积间存在数量关系引入不等式，等等。关面积间存在数量关系引入不等式，等等。第38页（二）重视各部分内容之间联络（二）重视各部分内容之间联络课程标准把课程标准把“解三角形解三角形”内容安排在第五个内容安排在第五个模块，位置相对靠后，在此内容之前学生已模块，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆方经学习了三角函数、平面向量、直线和圆方程等与本章知识联络亲密内容，这使这部分程等与本章知识联络亲密内容，这使这部分内容处理有了比较多工具，一些内容能够处内容处理有了比较多工具，一些内容能够处理得愈加简捷。理得愈加简捷。第39页比比如如，对对于于余余弦弦定定理理证证实实，惯惯用用方方法法是是借借助助于于三三角角学学方方法法，需需要要对对于于三三角角形形进进行行分分类类讨讨论论，方方法法不不够够简简捷捷，教教科科书书则则用用了了向向量量方方法法，发发挥挥了了向向量量方方法法在在处处理理问问题题中中作作用用。在在证证实实了了余余弦弦定定理理及及其其推推论论以以后后，教教科科书书从从余余弦弦定定理理与与勾勾股股定定理理比比较较中中，提提出出了了一一个个思思索索问问题题“勾勾股股定定理理指指出出了了直直角角三三角角形形中中三三边边平平方方之之间间关关系系，余余弦弦定定理理则则指指出出了了普普通通三三角角形形中中三三边边平平方方之之间间关关系系，怎怎样看这两个定理之间关系？样看这两个定理之间关系？”第40页并进而指出，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数从余弦定理以及余弦函数性质可知，假如一个三角形两边平方和等性质可知，假如一个三角形两边平方和等于第三边平方，那么第三边所正确角是直于第三边平方，那么第三边所正确角是直角；假如小于第三边平方，那么第三边所角；假如小于第三边平方，那么第三边所正确角是钝角；假如大于第三边平方，那正确角是钝角；假如大于第三边平方，那么第三边所正确角是锐角。从上可知，余么第三边所正确角是锐角。从上可知，余弦定理是勾股定理推广。弦定理是勾股定理推广。”这么有利于学这么有利于学生把前后知识联络起来。生把前后知识联络起来。第41页数列一章也尤其注意表达联络性。首先，数数列一章也尤其注意表达联络性。首先，数列能够看成是定义域为正整数集（或它有限列能够看成是定义域为正整数集（或它有限子集）函数当自变量从小到大依次取值时对子集）函数当自变量从小到大依次取值时对应一列函数值，而数列通项公式则是对应函应一列函数值，而数列通项公式则是对应函数解析式，数列项是函数值，序号是自变量，数解析式，数列项是函数值，序号是自变量，以序号为横坐标，对应项为纵坐标画出图象以序号为横坐标，对应项为纵坐标画出图象是一些孤立点，所以说，数列是一类特殊函是一些孤立点，所以说，数列是一类特殊函数。本章内容突出了数列与函数关系，在经数。本章内容突出了数列与函数关系，在经过实际问题引入数列概念后，教材指出通项过实际问题引入数列概念后，教材指出通项公式实际可看作是数列函数解析式。公式实际可看作是数列函数解析式。第42页不等式一章则强调不等式与函数、方程关不等式一章则强调不等式与函数、方程关系，在一元二次不等式解法和简单线性规系，在一元二次不等式解法和简单线性规划问题中，一直注意数形结合，经过对不划问题中，一直注意数形结合，经过对不等式、函数与方程关系了解来处理所面临等式、函数与方程关系了解来处理所面临不等式问题。不等式问题。第43页（三）重视数学思想方法教学（三）重视数学思想方法教学本册书包括数学思想方法有：函数思想，本册书包括数学思想方法有：函数思想，优化思想，数形结合思想，以及类比、归优化思想，数形结合思想，以及类比、归纳等合情推理方法。第一章纳等合情推理方法。第一章“解三角形解三角形”对于正弦定理和余弦定理研究都是从对于对于正弦定理和余弦定理研究都是从对于初中数学中对于三角形定性研究深入深化初中数学中对于三角形定性研究深入深化为定量研究角度去展开，突出了函数和量为定量研究角度去展开，突出了函数和量化数学思想。正弦定理证实从直角三角形化数学思想。正弦定理证实从直角三角形情形出发，表达从特殊到普通归纳过程。情形出发，表达从特殊到普通归纳过程。第44页第二章不但落实数列是特殊函数观点，而且不停在第二章不但落实数列是特殊函数观点，而且不停在等差数列和等比数列之间进行类比，从求等差数列和等比数列之间进行类比，从求1+2+3+1+2+3+100+100简单问题出发，将方法推广到普通等简单问题出发，将方法推广到普通等差数列，从而取得普通等差数列求和思绪，这又是差数列，从而取得普通等差数列求和思绪，这又是归纳生动案例。归纳生动案例。第第三三章章对对于于二二元元一一次次不不等等式式与与平平面面区区域域关关系系阐阐述述，表表达达了了从从特特殊殊到到普普通通归归纳纳思思想想，线线性性规规划划内内容容则则突突出表达了优化思想。出表达了优化思想。注意表达注意表达“数形结合数形结合”思想，数列经过图象揭示与思想，数列经过图象揭示与对应函数联络，对应函数联络，“不等式不等式”更强调图象意义，尤其更强调图象意义，尤其是线性规划，从问题提出到处理，都直接依赖于是线性规划，从问题提出到处理，都直接依赖于“平面区域平面区域”。第45页（四）适当地使用当代信息技术（四）适当地使用当代信息技术当当代代信信息息技技术术广广泛泛应应用用正正在在对对数数学学课课程程内内容容、数数学学教教学学、数数学学学学习习等等方方面面产产生生深深刻刻影影响响。教教科科书书考考虑虑了了当当代代信信息息技技术术教教育育价价值值，在在各各部部分分内内容容中中都都有有所所表表达达，在在第第二二章章和和第第三三章章，分分别别设设计计了了“信信息息技技术术应应用用”专专题题，介介绍绍近近似似计计算算和和利利用用EXCELEXCEL处处理理线线性性规规划划问问题题等等，勉勉励励学学生生利利用用计计算算机机、计计算算器器等等进进行行探探索索和和发觉。发觉。第46页三、对教学几个提议三、对教学几个提议 （一一）注注意意创创设设问问题题情情境境，激激发发学学生生学学习习数数学兴趣学兴趣内在动力是数学学习根本动力，在教学过程内在动力是数学学习根本动力，在教学过程中应该充分调动学生学习数学兴趣。解三角中应该充分调动学生学习数学兴趣。解三角形、数列和不等式三章内容有着丰富实际背形、数列和不等式三章内容有着丰富实际背景，除了教科书中实例，还有很多很好素材，景，除了教科书中实例，还有很多很好素材，教学中应充分挖掘，并针对学生实际认真设教学中应充分挖掘，并针对学生实际认真设计教学方案，提升教学整体效果。计教学方案，提升教学整体效果。第47页（二）确保基本训练，不做人为繁琐练习（二）确保基本训练，不做人为繁琐练习本本书书三三章章内内容容都都含含有有一一定定综综合合性性，所所以以要要注注意意确确保保基基本本技技能能训训练练。比比如如，应应该该使使学学生生了了解解正正弦弦定定理理、余余弦弦定定理理所所处处理理基基本本问问题题，认认识识解解三三角角形形各各种种情情况况；使使学学生生学学会会利利用用函函数数思思想想、方方程程思思想想，了了解解数数列列中中各各量量之之间间基基本本关关系系；使使学学生生学学会会利利用用一一元元二二次次方方程程根根，并并依依据据对对应应函函数数图图象象求求解解一一元元二二次次方方程程；掌掌握握处理线性规划问题基本步骤。处理线性规划问题基本步骤。第48页从从数数学学教教学学传传统统看看，解解三三角角形形、数数列列和和不不等等式式等等三三章章内内容容都都有有不不少少高高度度技技巧巧化化、形形式式化化问问题题。从从上上述述关关于于内内容容定定位位看看，这这些些技技巧巧化化、形形式式化化问问题题不不是是教教学学重重点点。比比如如，解解三三角角形形中中，假假如如与与三三角角变变换换相相结结合合，能能够够演演化化出出一一些些比比较较复复杂杂三三角角恒恒等等变变形形问问题题；数数列列教教学学中中，假假如如与与迭迭代代、差差分分联联络络起起来来，就就有有一一些些比比较较复复杂杂求求数数列列通通项项公公式式、求求数数列列和和问问题题；不不等等式式证证实实也也有有一一些些技技巧巧性性问问题题，这这些些都都不不在在课课程程标标准准教教学学要要求求之之中中，教教学学中中应应注注意意尽尽可可能能防防止止这这些些问问题题出出现现，弱弱化化过过分分繁繁琐琐和和技技巧巧化化代代数数恒恒等等变变形形是是高高中中数数学学课课程程标标准准明明确确要要求求，应应该该在在教教学学过过程程中中很很好好把把握。握。第49页（三）适当地使用信息技术（三）适当地使用信息技术信息技术与课程内容整合基本标准是有利于信息技术与课程内容整合基本标准是有利于学生认识数学本质。有条件时，应利用信息学生认识数学本质。有条件时，应利用信息技术展现以往教学中难以展现课程内容，在技术展现以往教学中难以展现课程内容，在确保笔算训练前提下，尽可能使用科学型计确保笔算训练前提下，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，勉励学生用算器、各种数学教育技术平台，勉励学生用计算机、计