数学期望均值的定义市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

一一.数学期望数学期望(均值均值)定义定义第一节第一节 数学期望与方差数学期望与方差 直观了解，数学期望就是一个随机变量全部可能直观了解，数学期望就是一个随机变量全部可能取值加权平均值，权就是这些可能值对应概率。取值加权平均值，权就是这些可能值对应概率。比如，比如，1.假定发生意外概率是假定发生意外概率是 0.001，则在购置保险，则在购置保险 15,000 人中，平均起来有多少个人需要赔偿？人中，平均起来有多少个人需要赔偿？2.统计资料表明强烈地震间隔服从参数统计资料表明强烈地震间隔服从参数 430(天天)指指数分布，则平均多长时间发生一次强震？数分布，则平均多长时间发生一次强震？第1页1.离散随机变量数学期望离散随机变量数学期望 假如假如 X 分布律分布律 P X=xk =pk,k 1 满足：满足：k 1|xk pk|+则定义离散随机变量则定义离散随机变量 X 数学期望是数学期望是 E X =k 1 xk pk 2.连续随机变量数学期望连续随机变量数学期望假如假如 X 密度函数密度函数 p(x)满足：满足：则定义连续随机变量则定义连续随机变量 X 数学期望是数学期望是第2页例例4.1.1 一位著名射击教练将从两个候选人中挑选一位著名射击教练将从两个候选人中挑选 一人作为他队员，甲还是乙成绩更加好？一人作为他队员，甲还是乙成绩更加好？成绩成绩(环数环数)8 9 10甲概率甲概率 0.1 0.3 0.6乙概率乙概率 0.2 0.5 0.3解解.以以 X、Y 分别表示甲、乙射击一次结果，分别表示甲、乙射击一次结果，显然显然 X 数学期望数学期望(甲射击一次平均成绩甲射击一次平均成绩)是是 E X=80.1+90.3+100.6=9.5(环环)，同理，乙射击一次平均成绩是同理，乙射击一次平均成绩是 E Y=80.2+90.5+100.3=9.1(环环)。第3页解解.以以 X 记这个项目记这个项目 投资利润。投资利润。平均利润为：平均利润为：E X=50.3+00.6+(10)0.1=0.5，而同期银行利息是而同期银行利息是 100.02=0.2，所以从期望收益角度应该投资这个项目。所以从期望收益角度应该投资这个项目。利润利润 5 0 10概率概率 0.3 0.6 0.1例例4.1.2 假设某人有假设某人有 10 万元，假如投资于一项目将有万元，假如投资于一项目将有 30%可能赢利可能赢利 5 万，万，60%可能不赔不赚，但有可能不赔不赚，但有 10%可能损失全部可能损失全部 10 万元；同期银行利率为万元；同期银行利率为 2%，问他应该怎样决议？，问他应该怎样决议？第4页例例4.1.3 在古典概率模型中设计了以下一个赌局：在古典概率模型中设计了以下一个赌局：每个人从有每个人从有 3 张假币张假币 10 张张 100 元纸币中随机地元纸币中随机地抽出抽出 4 张张。假如全是真，则赢得这。假如全是真，则赢得这 400元；假如这元；假如这4 张中最少有一张假币，只输张中最少有一张假币，只输 100 元。元。问这种规则是否公平，或者说你是否愿意参加？问这种规则是否公平，或者说你是否愿意参加？解.分析，公平合理规则必须是双方平均获利都等于 0 以 X 记每局赌博中庄家获利(可认为负)，则 X 全部可能取值是 400 与 100。第5页显然显然 X 分布律为：分布律为：xk 400 100 pk 所以，所以，X 数学期望，即庄家在每局赌博中数学期望，即庄家在每局赌博中 平均赢利为：平均赢利为：E X =()+()=。这种赌博对庄家有利，平均一局他将净赚这种赌博对庄家有利，平均一局他将净赚 16.67 元元 1 5 6 6 400 500 50 6 6 3思索思索2 假如一天有假如一天有 12 个人参加这种赌博，庄家平均赢个人参加这种赌博，庄家平均赢利又是多少？利又是多少？第6页例例4.1.4 在例题在例题2.4.4 中假定乘客在公交车站等车中假定乘客在公交车站等车 时间时间 X(分钟分钟)服从参数服从参数 5 指数分布，指数分布，p(x)=0.2 e 0.2 x，x 0 问这个人平均等车时间是几分钟？问这个人平均等车时间是几分钟？解解.平均等车时间即是数学期望平均等车时间即是数学期望 E X，所以，所以即平均需要等候即平均需要等候 5 分钟。分钟。第7页二二.数学期望基本性质数学期望基本性质即，设即，设 a、b 是两个常数，则有：是两个常数，则有：E(a+bX)=a+b E(X)；1.随机变量线性变换期望等于期望线性变换随机变量线性变换期望等于期望线性变换2.随机变量和期望等于期望和随机变量和期望等于期望和对任意对任意 n 个随机变量个随机变量 X1、X2、Xn，都有：，都有：E(X1+X2+Xn)=E X1+E X2+E Xn 第8页4.随机变量函数期望公式随机变量函数期望公式3.独立独立随机变量乘积期望等于期望乘积随机变量乘积期望等于期望乘积假如假如 X1、X2、Xn 相互独立，则有：相互独立，则有：E(X1X2Xn)=E(X1)E(X2)E(Xn)(1)假如离散随机变量假如离散随机变量 X 含有分布律：含有分布律：P X=xk =pk,k 1，则随机变量则随机变量 Y=g(X)数学期望是：数学期望是：E Y =E g(X)=k 1 g(xk)pk 第9页(2)假如连续随机变量假如连续随机变量 X 含有密度函数含有密度函数 p(x)，则随机变量则随机变量 Y=g(X)数学期望是：数学期望是：E Y =E g(X)=(3)假如连续随机向量假如连续随机向量(X1，X2，Xn)含有含有 联合密度函数联合密度函数 p(x1,x2,xn)，则随机变量，则随机变量 Y =g(X1,X2,Xn)数学期望是数学期望是 E Y =E g(X1,X2,Xn)第10页例例4.1.5 在前面例题在前面例题4.1.3赌局里，假如一天有赌局里，假如一天有 12 个人参加赌博，则庄家总赢利是随机变量个人参加赌博，则庄家总赢利是随机变量 Y=X1+X2+X12，每个，每个 Xi 独立同分布。独立同分布。解解.假如要用数学期望定义计算庄家平均赢利，假如要用数学期望定义计算庄家平均赢利，需要求出需要求出 Y 分布律。分布律。利用数学期望性质，因为利用数学期望性质，因为 E Xi=50/3，所以庄家总利润平均来说有所以庄家总利润平均来说有 200 元元。补充补充 更准确模型应该假定天天参赌人数服从参数更准确模型应该假定天天参赌人数服从参数 泊松分布，此时庄家平均利润是泊松分布，此时庄家平均利润是 E X 第11页练习练习4.1.6 在例题在例题2.2.1 中讨论了汽车过十字路口问题。经过每中讨论了汽车过十字路口问题。经过每个路口概率是个路口概率是 q，X 是首次停顿时经过路口数。是首次停顿时经过路口数。X 0 1 2 3 4 pk p pq pq2 pq3 q4 假定一个游戏要求，经过假定一个游戏要求，经过 k 道关口将取得价值道关口将取得价值10k(0k 4)元奖品。问一个参加者取得奖励元奖品。问一个参加者取得奖励平均来说价值多少？平均来说价值多少？第12页三三.方差定义方差定义 方差是一个随机变量在它数学期望附近取值方差是一个随机变量在它数学期望附近取值分散程度，方差越小说明取值越集中于期望。分散程度，方差越小说明取值越集中于期望。1.对随机变量对随机变量 X，假如，假如(X E X)2 数学期望存在，数学期望存在，即即 E(X E X)2 +，则称它是则称它是 X 方差，记为方差，记为 D X 或者或者 Var(X)。方差平方根方差平方根(D X)1/2 称为称为 X 标准差或均方差标准差或均方差思索思索E|X E X|能不能描述能不能描述 X 在期望附近取值分散程度？在期望附近取值分散程度？第13页2.方差计算公式方差计算公式 按照定义，按照定义，D X =E(X E X)2；惯用公式，惯用公式，D X =E(X2)(E X)2；按照随机变量类型：按照随机变量类型：(1)对于离散随机变量对于离散随机变量 D X =k 1 pk(xk E X)2，(2)对于连续随机变量对于连续随机变量 D X =方差总是非负常数，而期望能够是任意实数方差总是非负常数，而期望能够是任意实数第14页3.数学期望与方差概率意义数学期望与方差概率意义 方差越小，说明随机变量取值越集中在期望附近，方差越小，说明随机变量取值越集中在期望附近，或者也能够了解成，这个随机变量就越稳定。或者也能够了解成，这个随机变量就越稳定。数学期望是一个随机变量取值平均，数学期望是一个随机变量取值平均，方差是随机变量在这个平均值附近取值分散程度。方差是随机变量在这个平均值附近取值分散程度。理论上能够证实，理论上能够证实，随机变量随机变量 X 方差为方差为 0 充分必要条件是，充分必要条件是，这个随机变量取值为一个常数概率是这个随机变量取值为一个常数概率是 1。即，即，D X =0 P(X=E X)=1 第15页例例4.1.7 射击教练将从他以下两名队员中选择射击教练将从他以下两名队员中选择 一人去参加比赛，应该是甲还是丙更适当？一人去参加比赛，应该是甲还是丙更适当？成绩成绩(环数环数)8 9 10甲概率甲概率 0.1 0.3 0.6丙概率丙概率 0.2 0.1 0.7解解.这里甲、丙两人平均成绩都是这里甲、丙两人平均成绩都是 E X =E Y =9.5 需要比较方差，简单计算后能够得到：需要比较方差，简单计算后能够得到：D X =0.45，D Y =0.65 所以应该选择甲队员去参加比赛。所以应该选择甲队员去参加比赛。第16页练习练习4.1.8 续例续例4.1.1，甲乙射击技术以下：，甲乙射击技术以下：需要利用分布律计算两个概率：需要利用分布律计算两个概率：P (X Y)，以及，以及 P (Y X)。X概率概率89100.30.10.6 Y概率概率89100.20.50.3 已经知道平均来说，甲成绩比乙好。已经知道平均来说，甲成绩比乙好。假如只射击一次，谁成绩可能更加好一些假如只射击一次，谁成绩可能更加好一些？第17页四四.方差基本性质方差基本性质与数学期望性质比较：与数学期望性质比较：E(a+bX)=a+b E(X)平移改变随机变量期望，但不会改变方差平移改变随机变量期望，但不会改变方差1.随机变量线性变换方差公式随机变量线性变换方差公式即，设即，设 a、b 是两个常数，则有：是两个常数，则有：D(a+bX)=b2 D X；第18页随机变量中心标准化随机变量中心标准化思索思索 正态分布有一个形式上相近性质，假如正态分布有一个形式上相近性质，假如 X N(,2)，则，则(X )/N(0,1)假设假设 X 期望期望 ，方差，方差 2 都存在，则都存在，则 Y =称为是称为是 X 中心标准化。中心标准化。“中心标准化中心标准化”即是经过线性变换把一个即是经过线性变换把一个随机变量期望转化为随机变量期望转化为 0，方差转化为，方差转化为 1。X 第19页2.独立随机变量和方差等于方差和独立随机变量和方差等于方差和假如假如 X1、X2、Xn 相互独立相互独立，则有：，则有：D(X1+X2+Xn)=D X1+D X2+D Xn与数学期望性质比较：与数学期望性质比较：任意随机变量和期望等于期望和任意随机变量和期望等于期望和；独立随机变量乘积期望等于期望乘积独立随机变量乘积期望等于期望乘积3.任意两个随机变量和方差公式任意两个随机变量和方差公式 D(X+Y)=D X+D Y+2E(X E X)(Y E Y)第20页例例4.1.9 计算二项分布计算二项分布 B(n,p)期望与方差期望与方差 解解.假如按照定义，则需要计算假如按照定义，则需要计算 E X=kn=0 kCnk pk qn k D X=kn=0 (k E X)2Cnk pk qn k注意到二项分布能够分解成两点分布和：注意到二项分布能够分解成两点分布和：假如假如 X B(n,p)，则，则 X=X1+X2+Xn，这里，这里 每个每个 Xi 独立同分布于参数独立同分布于参数 p 两点分布。两点分布。显然有显然有 E X1=p，D X1=pq (q=1 p)所以二项分布期望与方差是所以二项分布期望与方差是 E X=np，D X1=npq。第21页五五.切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)不等式不等式切比雪夫不等式说明，对任意随机变量切比雪夫不等式说明，对任意随机变量 X，它在期望附近取值概率有一个下界。它在期望附近取值概率有一个下界。假如假如 X 期望期望 ，方差，方差 2 都存在，则都存在，则 对于任意一个实数对于任意一个实数 0，有：，有：P|X|；或者等价地，或者等价地，P|X|1 。2 2 2 2第22页1.切比雪夫不等式准确度切比雪夫不等式准确度 在不等式中分别取在不等式中分别取 =，2 ，3 P|X|0 P|X|2 0.75 P|X|3 0.8889假如假如 X N(0,1)，=0.6826；=0.9544；=0.9974 。2.切比雪夫不等式意义切比雪夫不等式意义(1)它对全部随机变量都成立，不需要知道它对全部随机变量都成立，不需要知道 X 详细详细分布。能够近似预计事件概率；分布。能够近似预计事件概率；(2)能够说明方差概率含义；能够说明方差概率含义；(3)能够证实随机事件频率极限是概率。能够证实随机事件频率极限是概率。第23页例例4.1.10 假定发生意外概率是假定发生意外概率是 0.001，则在购置保险，则在购置保险 15,000 人中需要赔偿人数人中需要赔偿人数 X B(15,000,0.001)。近似计算近似计算 X 介于介于 10 20 之间概率。之间概率。解解.依据例题依据例题4.1.10 结果，有：结果，有：E X=15，D X=150.999 15。依据切比雪夫不等式依据切比雪夫不等式，P(15 X 20)=P(|X 15|5)1 =0.4。15 25练习练习4.1.11 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币100次，问正面次数在次，问正面次数在 40 60 概率？概率？第24页