数学概念及其教学市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数学概念及其教学数学概念及其教学数学概念概述数学概念概述数学概念学习心理分析数学概念学习心理分析数学数学概念教学基本要求和教法探概念教学基本要求和教法探讨讨第1页数学概念概述数学概念概述数学概念意义数学概念意义 反应数学对象本质属性思维形式叫做“数学概念”。“属性”与“本质属性”；概念及其名称和符号数学概念产生和发展路径数学概念产生和发展路径 （1）从现实模型直接得来；（2）经过多级抽象概括得来；（3）从数学内部需要产生出来；数量关系和空数量关系和空数量关系和空数量关系和空间形式间形式间形式间形式第2页概念内涵和外延概念内涵和外延概念内涵和外延概念内涵和外延 概念概念内涵内涵亦称内包，指概念所反应对象亦称内包，指概念所反应对象特有属性、特有属性、本质属性本质属性。概念概念外延外延亦称外包，指概念所反应对象亦称外包，指概念所反应对象总和总和。例：例：“ABCABC顶点顶点”内涵内涵是指点性质和其中任一点同在这个三角形两是指点性质和其中任一点同在这个三角形两边之上这个性质；边之上这个性质；外延外延是指是指 A A、B B、C C三点集合。三点集合。注：注：（1 1）数学概念内涵和外延是在一定数学科学体系数学概念内涵和外延是在一定数学科学体系中来认识。比如，中来认识。比如，角角概念在平面几何中和在平面三概念在平面几何中和在平面三角中内涵和外延均不一样。角中内涵和外延均不一样。（2 2）概念内涵和外延是发展）概念内涵和外延是发展第3页概念间关系（概念外延间同异关系）概念间关系（概念外延间同异关系）1、相容关系、相容关系（1）同一关系（全同关系或重合关系）同一关系（全同关系或重合关系）外延完全重合，内涵能够不一样。外延完全重合，内涵能够不一样。比如比如：数数0是扩大自然数集中最小数，又是正数是扩大自然数集中最小数，又是正数 与负数分界数，在数运算中它又是两个相等数与负数分界数，在数运算中它又是两个相等数 差等；差等；等腰三角形底边上高线、中线以及顶角平分线等腰三角形底边上高线、中线以及顶角平分线 外延都是同一条线段，而内涵也各不相同。外延都是同一条线段，而内涵也各不相同。注注：研究概念间同一关系，能够对概念所反应对：研究概念间同一关系，能够对概念所反应对 象得到较深刻、较全方面认识。另外，在推理证实中象得到较深刻、较全方面认识。另外，在推理证实中 含有全同关系概念能够相互代换，使得论证简明。含有全同关系概念能够相互代换，使得论证简明。第4页（2）隶属关系）隶属关系 假如甲概念外延假如甲概念外延 真包含真包含乙概念外延乙概念外延 ，以下列，以下列图所表示，那么，这两个概念含有图所表示，那么，这两个概念含有隶属关系隶属关系。其中，外延较其中，外延较大大那个概念叫做那个概念叫做属概念属概念，外延较，外延较小小那个概念叫做那个概念叫做种概念种概念。这两个概念外延。这两个概念外延 和和 关系能够写成关系能够写成注：内涵和外延注：内涵和外延反比反比关系关系正方形内涵正方形内涵 矩形内涵矩形内涵 平行四边形内涵平行四边形内涵 四边形内涵四边形内涵正方形外延正方形外延 矩形外延矩形外延 平行四边形外延平行四边形外延四边形外延四边形外延第5页（3）交叉关系）交叉关系 假如两个概念外延有且只有部分重合，假如两个概念外延有且只有部分重合，那么这两个概念含有那么这两个概念含有交叉关系交叉关系或者叫做部分或者叫做部分重合关系，以下列图。用集合符号表示概念重合关系，以下列图。用集合符号表示概念交叉关系，可设两个概念外延分别是集合交叉关系，可设两个概念外延分别是集合 和和集合集合 ，假如，假如 是非空集合而且不是是非空集合而且不是 ，那么这两个概念含有，那么这两个概念含有交叉交叉关系。关系。例：例：例：例：（1 1）整数和整数）整数和整数）整数和整数）整数和整数（2 2）等腰三角形和直角三角形）等腰三角形和直角三角形）等腰三角形和直角三角形）等腰三角形和直角三角形第6页（4）不相容关系（全异关系）不相容关系（全异关系）假如两个概念外延间没有任何一部分重合关假如两个概念外延间没有任何一部分重合关系，那么这两个概念含有系，那么这两个概念含有全异关系全异关系，这种关，这种关系又叫做系又叫做“拳异关系拳异关系”或或“排斥关系排斥关系”。全异关系又分为全异关系又分为反对关系反对关系和和矛盾关系矛盾关系。矛盾关系反对关系第7页概念定义和原始概念概念定义和原始概念概念定义和原始概念概念定义和原始概念 把概念内涵用语言表示出来，就是给概念下定义。把概念内涵用语言表示出来，就是给概念下定义。原始概念原始概念 点、线、面、空间、集合、元素、对应等。点、线、面、空间、集合、元素、对应等。数学中惯用几个定义方式数学中惯用几个定义方式（1）属概念属概念加加种差种差定义方式定义方式 四边形四边形+两组对边分别平行两组对边分别平行=平行四边形平行四边形（2）发生发生定义方式定义方式 在平面上，射线绕它端点旋转所成图形叫做角。在平面上，射线绕它端点旋转所成图形叫做角。第8页（3）揭示）揭示外延外延定义方式定义方式 整数和分数统称为有理数。整数和分数统称为有理数。（4）约定式定义）约定式定义 我们要求我们要求“”。第9页下定义基本要求下定义基本要求（1）定义应该相当）定义应该相当 无理数：有理数开不尽方根。无理数：有理数开不尽方根。平行线：两条不相交直线。平行线：两条不相交直线。（2）定义不能恶性循环（直线垂直和直角）定义不能恶性循环（直线垂直和直角）（3）定义）定义普通普通不用否定形式不用否定形式 不是有理数数是无理数。不是有理数数是无理数。（4）定义应该简明）定义应该简明 两组对边平行平面四边形是两组对边平行平面四边形是平行四边形平行四边形。四个角都是直角平行四边形叫做四个角都是直角平行四边形叫做矩形矩形。（5）定义普通不用比喻说法）定义普通不用比喻说法第10页概念划分和分类概念划分和分类 把一个属概念分为若干个不相容种概念逻把一个属概念分为若干个不相容种概念逻辑方法叫做概念划分。辑方法叫做概念划分。概念分类是划分特殊形式，是依据概念所反应概念分类是划分特殊形式，是依据概念所反应对象本质属性或特征所进行划分。对象本质属性或特征所进行划分。概念分类要求：概念分类要求：（1）排中律）排中律（2）同一律）同一律（3）无矛盾律（使用同一标准，逐层分类等）无矛盾律（使用同一标准，逐层分类等）第11页数学概念特点数学概念特点概括性概括性逻辑性逻辑性抽象性抽象性多质性多质性发展性发展性第12页数学概念学习心理分析数学概念学习心理分析概念学习基本形式概念学习基本形式1.概念概念形成形成 概念形成就是让学生从大量同类事物不一样例证中概念形成就是让学生从大量同类事物不一样例证中独立发觉同类事物本质属性，从而形成概念。所以，独立发觉同类事物本质属性，从而形成概念。所以，数学概念形成实质上是抽象出数学对象共同本质特数学概念形成实质上是抽象出数学对象共同本质特征过程。可概括以下：征过程。可概括以下：（1）区分区分各种刺激模式，经过比较，在知觉水平上各种刺激模式，经过比较，在知觉水平上进行分析、识别，依据事物外部特征进行概括。进行分析、识别，依据事物外部特征进行概括。第13页（2）分化分化出各种刺激模式属性。出各种刺激模式属性。（3）抽象抽象出各个刺激模式共同属性。出各个刺激模式共同属性。（4）在特定情境中检验假设，）在特定情境中检验假设，确认确认关键属性。关键属性。（5）概括概括，形成概念。，形成概念。（6）把新概念共同关键属性）把新概念共同关键属性推广推广到同类事物到同类事物中去。中去。（7）用习惯形式）用习惯形式符号表示符号表示新概念。新概念。第14页“函数函数”概念形成过程：概念形成过程：1、观察实例，写出变量间关系表示式：、观察实例，写出变量间关系表示式：（1）以每小时）以每小时80千米速度匀速行使汽车，所驶过旅千米速度匀速行使汽车，所驶过旅程和时间程和时间（2）由某一天气温改变曲线所揭示气温和时刻）由某一天气温改变曲线所揭示气温和时刻（3）用表格给出某水库贮水量与水深。）用表格给出某水库贮水量与水深。2、找出上例中两变量之间关系共同本质、找出上例中两变量之间关系共同本质3、区分正反例，找出本质属性（一一对应）、区分正反例，找出本质属性（一一对应）4、概括出函数定义、概括出函数定义5、练习巩固成形、练习巩固成形第15页 教学过程中需注意：教学过程中需注意：（1）提供刺激模式应该是）提供刺激模式应该是正例正例，而且数量要恰当；，而且数量要恰当；（2）注意选择那些刺激）注意选择那些刺激强度适当强度适当、改变性大改变性大和和新奇新奇有趣有趣例子；例子；（3）让学生进行）让学生进行充分自主充分自主活动，使他们经历概念产活动，使他们经历概念产生过程，了解概念产生条件，把握概念形成规律；生过程，了解概念产生条件，把握概念形成规律；（4）在确认了事物关键属性，概括成概念以后，教）在确认了事物关键属性，概括成概念以后，教师应采取适当办法，使学生认知结构中新旧概念分师应采取适当办法，使学生认知结构中新旧概念分化，以免造成新旧概念混同，新概念被旧概念所湮化，以免造成新旧概念混同，新概念被旧概念所湮没；没；第16页（5）必须使新概念纳入到已经有概念系统中）必须使新概念纳入到已经有概念系统中去，使新概念与认知结构中已经有起固着点去，使新概念与认知结构中已经有起固着点作用相关概念作用相关概念建立建立起起实质实质和和非人为非人为联络联络；（6）教师）教师语言中介语言中介作用很大，因为教师语言作用很大，因为教师语言引导能够使学生愈加有放矢地对概念详细事引导能够使学生愈加有放矢地对概念详细事例进行分析、归纳和概括；例进行分析、归纳和概括；（7）教师一定要扎扎实实地引导学生完成概）教师一定要扎扎实实地引导学生完成概念形成每一个步骤。念形成每一个步骤。第17页2.2.概念概念同化同化 概念同化学习形式是利用学生认知结构中原有概念，概念同化学习形式是利用学生认知结构中原有概念，以定义方式直接向学生揭示概念本质属性。以定义方式直接向学生揭示概念本质属性。由奥苏伯尔有意义接收学习理论可知，要使学生有由奥苏伯尔有意义接收学习理论可知，要使学生有意义地同化新概念，必须：意义地同化新概念，必须：第一第一，新概念含有，新概念含有逻辑意义逻辑意义；第二第二，学生认知结构，学生认知结构中中具备具备同化新概念同化新概念适当知识适当知识；第三第三，学生，学生主动主动主动主动地使这种含有潜在意义新概念与他认知结构中相关地使这种含有潜在意义新概念与他认知结构中相关观念发生观念发生相互作用相互作用，改造旧知识，使新概念与已经，改造旧知识，使新概念与已经有认知结构中相关知识深入分化和融会贯通。有认知结构中相关知识深入分化和融会贯通。第18页概念同化阶段概念同化阶段（1）揭示揭示概念概念关键属性关键属性，给出定义、名称和符号；，给出定义、名称和符号；（2）对概念进行特殊）对概念进行特殊分类分类，讨论这个概念所包含各，讨论这个概念所包含各种特例，突出概念本质特征；种特例，突出概念本质特征；（3）使新概念与已经有认知结构中相关观念建立联）使新概念与已经有认知结构中相关观念建立联络，把新观念纳入到已经有概念体系中，络，把新观念纳入到已经有概念体系中，同化同化新概新概念；念；（4）用必定例证和否定例证让学生识别，使新概念）用必定例证和否定例证让学生识别，使新概念与已经有认知结构中相关概念与已经有认知结构中相关概念分化分化；（5）把新概念纳入到对应概念体系中，使相关概念）把新概念纳入到对应概念体系中，使相关概念融会贯通融会贯通，组成一个整体。，组成一个整体。第19页如如“一次函数一次函数”概念概念给知名称、定义、符号：函数给知名称、定义、符号：函数特例特例：等等把一次函数与函数概念、一次多项式概念等作把一次函数与函数概念、一次多项式概念等作比较比较用必定、否定用必定、否定例证例证让学生让学生识别识别：第20页 教学过程中要注意：教学过程中要注意：（1）同化方式学习概念，实际上是用演绎方）同化方式学习概念，实际上是用演绎方式来了解和掌握概念。因为它是从抽象定义式来了解和掌握概念。因为它是从抽象定义出发来学习，所以应注意出发来学习，所以应注意及时利用实例及时利用实例，使，使抽象概念取得详细例证支持；抽象概念取得详细例证支持；（2）学习中必须经过）学习中必须经过概念分类概念分类这一步，使学这一步，使学生从外延角度深入对概念进行了解；生从外延角度深入对概念进行了解；（3）在引入概念同时，要求学生掌握一定）在引入概念同时，要求学生掌握一定智智力动作力动作，以预防出现知道概念定义而不知怎，以预防出现知道概念定义而不知怎样将它用于解题情况；样将它用于解题情况；第21页（4）为学生及时提供给用概念进行）为学生及时提供给用概念进行推理推理、论论证证机会，在应用中强化概念，以预防因为没机会，在应用中强化概念，以预防因为没有经历概念形成原始过程而出现概念加工不有经历概念形成原始过程而出现概念加工不充分、了解不深刻情况；充分、了解不深刻情况；（5）一定要将所学概念）一定要将所学概念纳入纳入到到已经有认知结已经有认知结构构中，形成概念系统。中，形成概念系统。第22页概念教学基本要求和教法探讨概念教学基本要求和教法探讨概念引入概念引入概念明确概念明确概念系统化概念系统化概念利用概念利用1、概念引入、概念引入（1）原始概念）原始概念 普通采取描述法和抽象化法或用直观说明或指普通采取描述法和抽象化法或用直观说明或指明对象方法来明确。明对象方法来明确。“针尖刺木板针尖刺木板”痕迹引入痕迹引入“点点”、用、用“拉紧绳拉紧绳”或或“小孔中射入光线小孔中射入光线”来引入来引入“直线直线”方法是方法是直观说明直观说明法，法，“1，2，3，叫做叫做自然数自然数”是是指明对象指明对象法。法。第23页（2）对于用概念形成来学习概念对于用概念形成来学习概念 普通可经过普通可经过观察实例观察实例，启发学生抽象出本质属性，师，启发学生抽象出本质属性，师生共同进行讨论，最终再准确定义。生共同进行讨论，最终再准确定义。（3）对于用概念同化来学习概念）对于用概念同化来学习概念（a）用属加种差定义概念）用属加种差定义概念 新概念是已知概念特例，新概念能够从认知结构中原新概念是已知概念特例，新概念能够从认知结构中原有含有较高概括性概念中繁衍出来。有含有较高概括性概念中繁衍出来。（b）由概念推广引入概念）由概念推广引入概念 讲清三点：推广讲清三点：推广目标和意义目标和意义；推广推广合理性合理性；推广后愈加广泛推广后愈加广泛含义含义。第24页（c）采取对比喻法引入新概念）采取对比喻法引入新概念 当新概念与认知结构中已经有概念不能产生当新概念与认知结构中已经有概念不能产生隶属关系，但与已经有旧概念有相同之处时隶属关系，但与已经有旧概念有相同之处时可采取此法。可采取此法。关键是讲清不一样之处，预防概念负迁移。关键是讲清不一样之处，预防概念负迁移。（d）依据逆反关系引入新概念）依据逆反关系引入新概念 多项式乘法引入多项式因式分解、由乘方引多项式乘法引入多项式因式分解、由乘方引入开方、由指数引入对数等。入开方、由指数引入对数等。关键是讲清逆反关系。关键是讲清逆反关系。第25页(4)发生式定义发生式定义 经过观察实例或引导学生思索，进行讨论，自然得出经过观察实例或引导学生思索，进行讨论，自然得出结构过程，即揭示出定义合理性。结构过程，即揭示出定义合理性。2、概念明确、概念明确 定义必要了解；定义必要了解；表示概念名称或符号正确使用；表示概念名称或符号正确使用；抓住掌握概念关键；抓住掌握概念关键；举出必定例证和否定例证；举出必定例证和否定例证；充分揭示概念内涵；充分揭示概念内涵；3、概念系统化、概念系统化4、概念利用和深化、概念利用和深化第26页APOSAPOSAPOSAPOS理论指导下概念教学过程理论指导下概念教学过程理论指导下概念教学过程理论指导下概念教学过程美国（杜宾斯）美国（杜宾斯）APOSAPOS理论理论 Action（活动）（活动）Process（过程）（过程）Object（对象）（对象）Scheme（图式）（图式）代数式概念代数式概念（1）经过）经过运算活动运算活动，了解，了解详细代数式详细代数式 问题一问题一 有一列火车保持一定速度行使，每小时行使有一列火车保持一定速度行使，每小时行使90km，这列火车行使旅程与时间关系请填下表：，这列火车行使旅程与时间关系请填下表：时间时间 1 2 3 4 5 6旅程第27页问题二问题二 一些矩形，长是宽一些矩形，长是宽3倍，请填写下表：倍，请填写下表：对于问题一，教师要引导学生能够得出表示对于问题一，教师要引导学生能够得出表示“90”，引导学生注意，引导学生注意“”表示是表示是“时时间间”这一类意义数；这一类意义数；对于问题二，让学生初步体会对于问题二，让学生初步体会“同类意义同类意义”数数表示各种关系。表示各种关系。宽宽 1 4 7.5 11 长长周长周长面积面积第28页（2）过程过程阶段，体验代数式中过程阶段，体验代数式中过程教师提出以下问题：教师提出以下问题：用字母符号代表用字母符号代表“”，如，如90t，与详细数有什，与详细数有什么样关系？么样关系？把各详细字母表示式子作为一个整体，含有把各详细字母表示式子作为一个整体，含有什么样特征和意义？（需经重复体验、反思、抽象什么样特征和意义？（需经重复体验、反思、抽象代数式特征：一个运算关系；字母表示一类数，代数式特征：一个运算关系；字母表示一类数，如如t和和90t）.这一阶段还包含列代数式和对代数式求值，如可计这一阶段还包含列代数式和对代数式求值，如可计算下题，让学生深入体会代数式中过程：算下题，让学生深入体会代数式中过程：第29页 设计问题：设计问题：每包书有每包书有12册，册，n包书有册；包书有册；温度由温度由t下降下降2后是后是，设一个正方形边长是设一个正方形边长是x，那么它面积是；，那么它面积是；假如买假如买x平方米地毯（每平方米平方米地毯（每平方米a元），又付元），又付y立方米自来水费（每立方米立方米自来水费（每立方米b元），共花了多少元），共花了多少钱？钱？（3）对象对象阶段，对代数式形式化表述阶段，对代数式形式化表述（4）图式图式阶段，建立综合心理图式阶段，建立综合心理图式 详细实例（直观）、运算过程、字母表示一类数数学详细实例（直观）、运算过程、字母表示一类数数学思想、代数式定义思想、代数式定义第30页