立体几何基本方法总结.doc

立体几何基本方法总结一、平行问题判定定理证明方法几何法向量法线线平行中位线性质平行四边形性质平行线传递性线面平行性质面面平行性质中位线法平行四边形法平行线传递性法线面平行性质法面面平行性质法1、建系写点坐标2、求两直线方向向量3、证明两向量平行4、说明两直线不同5、得结论线面平行图形语言1、证明平面外的直线与平面内的一条直线平行(线线平行）2、列出一线在平面内和一线在平面外（必须列）两个条件3、得结论（线面平行）1、建系写点坐标2、求直线方向向量坐标和平面法向量坐标3、证明两向量垂直4、说明直线不在平面内5、得结论符号语言面面平行图形语言1、证明一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行(两个线面平行）2、列两直线相交条件3、得结论(面面平行）1、建系写点坐标2、求两平面的法向量3、证明两法向量平行4、说明两平面不同5、得结论符号语言三个平行互相转化图线面平行性质面面平行性质图形语言符号语言注意：二、垂直问题判定定理证明方法几何法向量法线面垂直图形语言1、证直线与平面内的两条相交直线垂直（两个线线垂直)2、列线线相交条件3、得结论（线面垂直）1、建系写点坐标2、求已知直线方向向量和平面内两条相交直线的方向向量3、证明已知直线的方向向量和平面内两相交直线的方向向量都垂直（数量积为零)4、列线线相交条件5、得结论符号语言面面垂直图形语言1、证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面(线面垂直)2、列出直线含于平面的条件3、得结论（面面垂直)1、建系写点坐标2、求两平面的法向量3、证明两法向量垂直4、得结论符号语言线线垂直1、勾股定理2、线面垂直定义3、三垂线定理及逆定理（用三垂线证明线线垂直的书写要点：1、证明线面垂直2、指出斜线面内射影3、证明平面内的直线和斜线垂直或和射影垂直4、说明直线在平面内5、得结论1、建系写点坐标2、求两直线方向向量3、证明两方向向量垂直4、得结论三个垂直互相转化及平行垂直转化线面垂直性质面面垂直性质图形语言符号语言注意:三、空间角求法几何法及其他方法向量法异面直线所成角范围：1、取点找平行2、证平行定角3、三角形求角4、取舍得结论1、建系写点坐标2、求两直线方向向量3、代入公式求角4、得结论公式：其中：、分别是两直线的方向向量。斜线与平面所成角：斜线与其在平面内的射影所成的锐角范围:1、看清线与面，2、取点找射影；3、证线面垂直，4、定角再求角1、建系写点和相关向量坐标2、求直线方向向量和平面法向量3、代入公式求角4、得结论公式：其中:为直线方向向量，为平面法向量二面角二面角平面角的作法：直接法：(略）三垂线法：如图，作PH，PEl连EH，由三垂线定理逆定理知EHl，故PEH为二面角的平面角；或作PH过H作HEl，连PE，由三垂线定理知，PEl，故PEH为二面角的平面角。垂面法：若平面垂直于二面角-l-的棱l，（或与、都垂直）且与、分别交于OA、OB则AOB即为二面角-l的平面角。范围：几何法：1、认准两面和一棱，2、取点找棱两垂线，3、注意分别在两面;4、证两个线线垂直，5、即可定出平面角，6、之后求角得结论。射影面积法:cos=S射 表示一个面内某多边形在另一个面内的射影多边形面积；S表示原多边形的面积1、建系写点和相关向量坐标2、求两平面的法向量3、代入公式求角4、根据图形判断是锐二面角还是钝二面角，从而取值。公式:其中：为直线方向向量,为平面法向量四、空间距离求法几何法及其他方法向量法两点间距离通常在三角形中求相应线段长，常用余弦定理和勾股定理|AB=点面距(过点作平面的垂线，点与垂足连线的线段长度即为点面距离）找点在面内的射影的方法：1、利用两个结论找射影(1）P是平面外一点，A、B是平面内的两点，若PA=PB，则，P在平面内的射影在线段AB的垂直平分线上。（2）AOB在平面内,直线OP在平面外，若POA=POB，则，P在平面内的射影一定在角AOB的角平分线上。2、利用面面垂直找射影：一、几何法：1、观察点在面内的射影，作出相关垂线2、证明线面垂直,从而确定距离3、在三角形中求出距离二、等体积法：求P到平面ABC的距离dVPABC =VA-PBC=VBAPC =VC-APB从而有：SABCd=SPBChA=.（SABC 、SPBC 、hA易求）1、建系写点坐标2、求平面内任一点与已知点连线的方向和平面法向量3、代入公式求点面距公式：其中：已知点与平面内一点连线的方向向量,为平面法向量。线面距(直线与平面平行)转化为点面距转化为点面距面面距(两平面平行）转化为点面距转化为点面距点线距（过点作与直线垂直相交的直线，点与垂足连线的线段长度）转化为两点间距离线线距平行线间距离转化为两点间距离转化为两点间距离异面直线间距离（异面直线公垂线段的长度）公垂线：与两异面直线都垂直相交的直线.1、作出公垂线段2、求公垂线段长（可转化为点面距）公式:其中：A、B分别是两条异面直线上得点，为与两直线都垂直的向量(及公垂线的方向向量）