立体几何基本方法总结.doc

立体几何基本方法总结
一、平行问题

判定定理
证明方法
几何法
向量法
线线平行
中位线性质
平行四边形性质
平行线传递性
线面平行性质
面面平行性质
中位线法
平行四边形法
平行线传递性法
线面平行性质法
面面平行性质法
1、建系写点坐标
2、求两直线方向向量
3、证明两向量平行
4、说明两直线不同
5、得结论
线面平行
图形语言

1、证明平面外的直线与平面内的一条直线平行(线线平行）
2、列出一线在平面内和一线在平面外（必须列）两个条件
3、得结论（线面平行）
1、建系写点坐标
2、求直线方向向量坐标和平面法向量坐标
3、证明两向量垂直
4、说明直线不在平面内
5、得结论
符号语言

面面平行
图形语言

1、证明一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行(两个线面平行）
2、列两直线相交条件
3、得结论(面面平行）
1、建系写点坐标
2、求两平面的法向量
3、证明两法向量平行
4、说明两平面不同
5、得结论
符号语言

三个平行互相转化图

线面平行性质
面面平行性质
图形语言

符号语言

注意：
二、垂直问题

判定定理
证明方法
几何法
向量法
线面垂直
图形语言

1、证直线与平面内的两条相交直线垂直（两个线线垂直)
2、列线线相交条件
3、得结论（线面垂直）
1、建系写点坐标
2、求已知直线方向向量和平面内两条相交直线的方向向量
3、证明已知直线的方向向量和平面内两相交直线的方向向量都垂直（数量积为零)
4、列线线相交条件
5、得结论
符号语言

面面垂直
图形语言

1、证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面(线面垂直)
2、列出直线含于平面的条件
3、得结论（面面垂直)
1、建系写点坐标
2、求两平面的法向量
3、证明两法向量垂直
4、得结论
符号语言

线线垂直
1、勾股定理
2、线面垂直定义
3、三垂线定理及逆定理（

用三垂线证明线线垂直的书写要点：
1、证明线面垂直
2、指出斜线面内射影
3、证明平面内的直线和斜线垂直或和射影垂直
4、说明直线在平面内
5、得结论
1、建系写点坐标
2、求两直线方向向量
3、证明两方向向量垂直
4、得结论
三个垂直互相转化及平行垂直转化

线面垂直性质
面面垂直性质
图形语言

符号语言

注意:
三、空间角

求法
几何法及其他方法
向量法
异面直线所成角
范围：
1、取点找平行
2、证平行定角
3、三角形求角
4、取舍得结论

1、建系写点坐标
2、求两直线方向向量
3、代入公式求角
4、得结论
公式：
其中：、分别是两直线的方向向量。
斜线与平面所成角：
斜线与其在平面内的射影所成的锐角
范围:
1、看清线与面，
2、取点找射影；
3、证线面垂直，
4、定角再求角
1、建系写点和相关向量坐标
2、求直线方向向量和平面法向量
3、代入公式求角
4、得结论
公式：
其中:为直线方向向量，为平面法向量
二面角
二面角平面角的作法：
①直接法：(略）
②三垂线法：如图，作PH⊥β，PE⊥l连EH，由三垂线定理逆定理知EH⊥l，故∠PEH为二面角的平面角；或作PH⊥β过H作HE⊥l，连PE，由三垂线定理知，PE⊥l，故∠PEH为二面角的平面角。
③垂面法：若平面γ垂直于二面角α-l-β的棱l，（或γ与α、β都垂直）且与α、β分别交于OA、OB则∠AOB即为二面角α-l—β的平面角。
范围：
几何法：
1、认准两面和一棱，
2、取点找棱两垂线，
3、注意分别在两面;
4、证两个线线垂直，
5、即可定出平面角，
6、之后求角得结论。
射影面积法:cosθ=
S射 表示一个面内某多边形在另一个面内的射影多边形面积；
S表示原多边形的面积
1、建系写点和相关向量坐标
2、求两平面的法向量
3、代入公式求角
4、根据图形判断是锐二面角还是钝二面角，从而取值。
公式:
其中：为直线方向向量,为平面法向量
四、空间距离

求法
几何法及其他方法
向量法
两点间距离

通常在三角形中求相应线段长，常用余弦定理和勾股定理
|AB｜=｜｜=
点面距(过点作平面的垂线，点与垂足连线的线段长度即为点面距离）
找点在面内的射影的方法：
1、利用两个结论找射影
(1）P是平面外一点，A、B是平面内的两点，若PA=PB，则，P在平面内的射影在线段AB的垂直平分线上。
（2）∠AOB在平面α内,直线OP在平面α外，若∠POA=∠POB，则，P在平面α内的射影一定在角AOB的角平分线上。
2、利用面面垂直找射影：

一、几何法：
1、观察点在面内的射影，作出相关垂线
2、证明线面垂直,从而确定距离
3、在三角形中求出距离
二、等体积法：
求P到平面ABC的距离d
VP—ABC =VA-PBC
=VB—APC =VC-APB
从而有：
S△ABC·d=S△PBC·hA=…….
（S△ABC 、S△PBC 、hA易求）
1、建系写点坐标
2、求平面内任一点与已知点连线的方向和平面法向量
3、代入公式求点面距
公式：
其中：已知点与平面内一点连线的方向向量,为平面法向量。
线面距(直线与平面平行)

转化为点面距
转化为点面距
面面距(两平面平行）

转化为点面距
转化为点面距
点线距（过点作与直线垂直相交的直线，点与垂足连线的线段长度）

转化为两点间距离
线线距

平行线间距离
转化为两点间距离

转化为两点间距离
异面直线间距离（异面直线公垂线段的长度）
公垂线：与两异面直线都垂直相交的直线.
1、作出公垂线段
2、求公垂线段长
（可转化为点面距）

公式:
其中：A、B分别是两条异面直线上得点，为与两直线都垂直的向量(及公垂线的方向向量）