椭圆的经典知识总结.doc

椭圆知识总结班级姓名
椭圆的定义:平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意:若，则动点的轨迹为线段；
　　　　　若,则动点的轨迹无图形。
知识点二:椭圆的标准方程
1．当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:，其中
2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程:,其中；
注意:1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，
才能得到椭圆的标准方程；
2．在椭圆的两种标准方程中，都有和;
3．椭圆的焦点总在长轴上。当焦点在轴上时椭圆的焦点坐标为，;
当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，
知识点三:椭圆的简单几何性质　椭圆:的简单几何性质
(1）对称性：对于椭圆标准方程：
说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变,所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心.
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足,。
(3）顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为,，,③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴,,.和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
（4)离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用表示,记作.
②因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近,从而越小,因此椭圆越扁;反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意椭圆的图像中线段的几何特征(如下图）:
(1）；;；
(2）；;；
（3）;；;
知识点四：椭圆与的区别和联系
标准方程

图形

性质
焦点
，
,
焦距

范围
，
,
对称性
关于轴、轴和原点对称
顶点
，
，
轴长
长轴长=，短轴长=
离心率

准线方程

注意：椭圆，的相同点:形状、大小都相同；参数间的关系都有和，；
不同点:两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同。
规律方法：1．如何确定椭圆的标准方程？
任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上.
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件;一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型.
2．椭圆标准方程中的三个量的几何意义
椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为:,，且。可借助右图理解记忆:显然：恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、c为两条直角边.
3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置
　　椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
4．方程是表示椭圆的条件
方程可化为，即，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆.当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。
5．求椭圆标准方程的常用方法：①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值.其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。
7．判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据：①若把曲线方程中的换成,方程不变，则曲线关于轴对称;
②若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；
③若把曲线方程中的、同时换成、，方程不变，则曲线关于原点对称。
8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？
思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。
将有关线段，有关角()结合起来，建立、之间的关系。
9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率,因为,,用表示为。显然:当越小时,越大，椭圆形状越扁；当越大，越小,椭圆形状越趋近于圆。
1.椭圆的定义：（1）椭圆:焦点在轴上时（)（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）.方程表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0，且A，B,C同号，A≠B）。
2。 椭圆的几何性质：（1)椭圆（以（）为例)：①范围:；②焦点:两个焦点；③对称性:两条对称轴,一个对称中心（0,0）,四个顶点,其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小,椭圆越圆；越大，椭圆越扁。⑥通径
2.点与椭圆的位置关系:（1）点在椭圆外;（2)点在椭圆上＝1;(3）点在椭圆内
3．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交:直线与椭圆相交；（2）相切：直线与椭圆相切； (3）相离:直线与椭圆相离；如：直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_______(答:［1，5）∪（5,+∞)）；
4、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径,其中表示P到与F所对应的准线的距离.
如(1）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答:10/3）;
（2)椭圆内有一点,F为右焦点，在椭圆上有一点M,使之值最小,则点M的坐标为_______（答:）；
5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题：,当即为短轴端点时，的最大值为bc；
6、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标,则＝，若分别为A、B的纵坐标,则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝.特别地，焦点弦(过焦点的弦）:焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。
7、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理"或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－;
如（1)如果椭圆弦被点A(4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答:）；(2）已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上,则此椭圆的离心率为_______（答：）；(3)试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称（答:）;
特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验
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