数列通项公式、前n项和求法总结(全).doc

一.数列通项公式求法总结：
1。定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。
特征:适应于已知数列类型（等差或者等比）．
例1．等差数列是递增数列,前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式。
变式练习：
1。等差数列中，求的通项公式
2. 在等比数列中,,且为和的等差中项，求数列的首项、公比及前项和.
2.公式法
求数列的通项可用公式求解。
特征：已知数列的前项和与的关系
例2.已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式.
(1）。 （2)
变式练习：
1。 已知数列的前n项和为，且=2n2+n，n∈N﹡，数列满足=4log2+3，n∈N﹡.求,。
2。已知数列的前n项和（），且Sn的最大值为8,试确定常数k并求。
3。 已知数列的前项和。求数列的通项公式。
3。由递推式求数列通项法
类型1 特征：递推公式为
对策:把原递推公式转化为,利用累加法求解.
例3. 已知数列满足，，求.
变式练习：
1。 已知数列满足，求数列的通项公式.
2。已知数列：求通项公式
类型2 特征:递推公式为
对策：把原递推公式转化为，利用累乘法求解。
例4. 已知数列满足，,求。
变式练习：
1.已知数列中，，，求通项公式。
2.设是首项为1的正项数列，且(=1，2，3，…)，求数列的通项公式是
类型3 特征：递推公式为（其中p,q均为常数）
对策:（利用构造法消去q)把原递推公式转化为由得两式相减并整理得构成数列以为首项,以为公比的等比数列。求出的通项再转化为类型1（累加法)便可求出
例5。 已知数列中，,，求。
变式练习:
1. 数列｛a｝满足a=1，，求数列{a｝的通项公式。
2。 已知数列满足=1，.证明是等比数列，并求的通项公式。
类型4特征：递推公式为（其中p为常数）
对策：（利用构造法消去p)两边同时除以可得到，令，则，再转化为类型1(累加法），求出之后得
例6．已知数列满足，求数列的通项公式.
变式练习:已知数列满足，，求．
二.数列的前n项和的求法总结
1。公式法
(1）等差数列前n项和：
(2）等比数列前n项和：
q=1时,
例1。 已知，求的前n项和.
变式练习:
1.设等比数列的前项和为。已知求和。
2。设是等差数列，是各项均为正数的等比数列,且，,。
(1）求，；
(2）求数列的前n项和.
2。错位相减法
①若数列为等差数列，数列为等比数列，则数列的求和就要采用此法。
②将数列的每一项分别乘以的公比，然后在错位相减，进而可得到数列的前项和。
例2.求的和
变式练习：
1。已知数列的前n项和为,且=,n∈N﹡，数列满足n∈N﹡。
（1）求,；
(2）求数列的前n项和。
2.若公比为c的等比数列的首项为，且满足。
（1）求c的值;（2）求数列的前n项和
3.倒序相加法
如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
例3.
变式练习：
1. 求的和．
2。 求的值。
4。裂项相消法
一般地，当数列的通项时,往往可将变成两项的差，采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项：
设,通分整理后与原式相比较,根据对应项系数相等得，从而可得
常用裂项形式有：
①； ②;
③,;
④ ；
⑤
例4。求数列，,,…，，…的前n项和S.
变式练习：
1.在数列｛an}中，,又，求数列｛bn｝的前n项的和。
2。等比数列的各项均为正数,且
（I）求数列的通项公式。
(II）设求数列的前项和。
5。分组求和法
有一类数列,既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
例5。求数列，的前项和．
变式练习：
1。求数列的前n项和
2.若数列的通项公式，求的前n项和
6。记住常见数列的前项和:
①
②
③
例6。求的和．
变式练习:求数列的前n项和.
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