立体几何体表面积与体积.doc

立体几何体的表面积和体积
一．【要点归纳】
1．多面体的面积和体积公式
名称
侧面积(S侧）
全面积(S全）
体 积（V)
棱
柱
棱柱
直截面周长×l
S侧+2S底
S底·h=S直截面·h
直棱柱
ch
S底·h
棱
锥
棱锥
各侧面积之和
S侧+S底
S底·h
正棱锥
ch′
棱
台
棱台
各侧面面积之和
S侧+S上底+S下底
h(S上底+S下底+)
正棱台
（c+c′)h′
表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长.
2．旋转体的面积和体积公式
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
S侧
2πrl
πrl
π（r1+r2)l

S全
2πr（l+r）
πr（l+r）
π（r1+r2）l+π(r21+r22)
4πR2
V
πr2h（即πr2l）
πr2h
πh（r21+r1r2+r22)
πR3
表中l、h分别表示母线、高,r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径
二．【典例解析】
题型1：柱体的体积和表面积
例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长。
点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察.我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。
例2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3,AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=.
（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积
题型2：柱体的表面积、体积综合问题
例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
点评:解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。
例4．如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2= ____ _。
2
2
2
正(主)视图
2
2
侧(左)视图
点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可
题型3:锥体的体积和表面积
例5．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ）.
A. B. C. D.
【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,
由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.
例6、设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于，则球O的表面积等于
例7．ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点,GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？
点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点，△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算.
例8．已知三个球的半径,,满足，则它们的表面积,，，满足的等量关系是______.
例11．如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。
点评：本题也可用补形法求解.将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a,下略
题型4：球的面积、体积综合问题
例9．(1）表面积为的球，其内接正四棱柱的高是,求这个正四棱柱的表面积。
（2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球,球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球,求球O1的体积.
题型5：球面距离问题
例10．在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为（为地球半径），求两点间的球面距离
点评：要求两点的球面距离,必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离
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