成都四七九自主招生试卷及答案.doc

成都石室中学2012年外地生入学考试数学试卷
注意：全卷分I卷和Ⅱ卷,全卷满分150分，120分钟完成．
第I卷(共50分）
一、选择题（本大题共10个小题，每题5分，共50分）
1．已知实数x，y满足以+(y+1）=0，则x-y等于（ ）
A．1 B．—3 C．3 D．-1
2．若实数a、b、c满足a+b+c =0，且a〈b<c，则函数y=ax +c的图象可能是()
A． B． C． D．
3．下列四个多项式：①—a +b;②—x一y;③1—(a—l)；④m —2mn +n，其中能用平方差公式分解因式的有（ )
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
4．若不等式组的解集是x>3，则m的取值范围是（ )
A．m>3 B．m≤3 C．m≥3 D．m<3
5．如图，表示阴影区域的不等式组为 （ )
6．已知抛物线C:y =x+3x —10，将抛物线C平移得到抛物线C’，若两条抛物线C，C’关于直线x=l对称,则下列平移方法中，正确的是( ）
A．将抛物线C向右平移个单位 B．将抛物线C向右平移3个单位
C．将抛物线C向右平移5个单位 D．将抛物线C向右平移6个单位
7．假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给50个同学,假设每通知一个同学需要1分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为( ）
A。5分钟 B．6分钟 C．7分钟 D．8分钟
8．已知y=+（x，y均为实数）,则y的最大值与最小值的差为（）
A．2—2 B．4—2 C．—2 D．2—1
9．如图，用邻边长分别为a，b（a〈b）的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再截除与矩形的两个半圆均相切的两个小圆,把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a与b满足的关系式是
10.如果关于x的方程x —ax +a-3 =0至少有一个正根,则实数a的取值范围是
A。 —2 〈a <2 B．〈a 2 C．—〈a≤2 D．—≤a≤2
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分)
11．函数y=+有意义，则x的取值范围是。
12。已知一组数据24，27，19,13，x,12的中位数是21，那么x的值等于.
13．已知x—x -1=0，那么代数式x—2x+l的值是。
14。如图,E,F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点,AF与DE相交于点P,BF与于点Q，若S =15 cm，S =25 cm，则阴影部分的面积为cm。
15.已知直线l经过正方形ABCD的顶点A，过点B和点D分别作直线l的垂线BM和DN，为点M,点N，如果BM=5,DN =3，那么MN=。
16．已知x，y，z是三个非负实数，满足3x+2y+z=5，x+y—z=2，若S=2x+y—z，则S的最小值的和为。
三、解答题（本大题共7小题,计64分,写出必要的推算或演算步骤．）
17．（7分)根据题意回答下列问题：
（1）如果(a一2)+b+3=0，其中a，b为有理数，那么a=___ _，b=___ _；
（2)如果(2+）a一(l一）b=5,其中a，b为有理数，求a+2b的值.
18．（8分）逸夫楼前石室水景广场园林及道路改造项目是我校2012年校园文化一一环境文化建设的重点项目之一，该项目2012年2月11日正式动工，经过四个多月的紧张施工,于2012年6月5日竣工。若该工程拆除旧设施每平方米需80元，建造新设施每平方米需要800元,计划拆除旧设施与建造新设施共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建设施只完成了计划的90％而拆除旧设施则超过了计划的10％，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积．
(1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？
（2）若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米?
19。（8分）已知y=m+m+4，若m为整数，在使得y为完全平方数的所有m的值中,设m的最大值为a，最小值为b，次小值为c．(注:一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．）
(1）求a，b，c的值;
(2）对a，b,c进行如下操作：任取两个求其和再除，同时求其差再除以,剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作,问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2012？证明你的结论。
20.（9_分）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D,过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE.
（1）求证：BE与⊙O相切；
(2)连结AD并延长交BE于点F,若OB=9，sinABC=，求BF的长．
21。（12分）已知：在Rt△ABC中，C= 90°，AC=4,A =60°。，CD是边AB上的中线，直线BM //AC,E是边CA延长线上一点，ED交直线BM于点F,将△EDC沿CD翻折得△E'DC，射线DE交直线BM于点G．
(1）如图1，当CD⊥EF时,求BF的值；
（2）如图2，当点G在点F的右侧时；
①求证：△BDF∽△BGD；
②设AE =x,△DFG的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围；
(3）如果△DFG的面积为6，求AE的长，
22。（8分)如图,AB∥CD，AD∥CE，F,G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB,AD,CD，CE于点M，N，P,Q，求证：MN +PQ=2PN.
23．(12分）如图，已知抛物线y=x— （b +1）x+（b是实数且b>2)与x轴正半轴分别交于点A,B（点A位于点B的左侧)，与y轴正半轴交于点C．
(1)求B，C两点的坐标（用含b的代数式表示）;
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由．
成都石室中学2012年外地生入学考试数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每题5分，共50分）
1.C 2。A 3。B 4.B 5.D 6。C 7。B 8.A 9.D10。C
二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，共36分）
11。x≥2且x≠3 12。 23 13.2 14. 40 15.2或8 16.5
三、解答题（本大题共7小题，计64分,写出必要的推算或演算步骤．)
17.解：(1）2，一3;……………………………………………………（2分）
(2）整理,得（a+6） +（2a一6—5）=0．…………………………（3分）
∵a、b为有理数，∴…………………………………(5分)
解得…………………………………………………………（6分）
∴a+2b=－……………………………………………………………(7分）
18.解：（1）由题意可设拆除旧设施T平方米，建造新设施y平方米，
则
答：原计划拆、建各4500平方米．…………………（4分)
（2）计划资金y=4500×80+4500 x800=3960000(元)
实用资金y=1.1×4500×80+0.9×4500×800=4950 X80+4050×800
=396000+3240000 =3636000(元）
∴节余资金：3960000 - 3636000=324000(元）
∴可建绿化面积==1620（平方米）
答：可绿化面积1620平方米．……………………………………（8分）
19。解：(1）设m+m+4 =k（k为非负整数）,则有m+m+4 —k=0，由m为整数知其△为完全平方数（也可以由△的公式直接推出），即1 —4（4 —k）=p （p为非负整数）
得(2k +p）(2k –p)=15,显然:2k+p〉2k-p．…………………………(2分）
所以或……，解得P=7或P=1，………………………（4分)
所以m=，得：m=3，m=—4,m=0， m=—1, 所以a=3,b=—4,c= —1. ……（5分）
(2）因为（)+（）+c=a+b+c，
即操作前后,这三个数的平方和不变………………………………………(7分）
而3+（-4）十（-1）≠2012。
所以，对a,b,c进行若干次操作后，不能得到2012．……………………（8分）
20．（1）证明:连结OC.
∵EC与⊙O相切,C为切点．
∴ECO= 90°．
∵OB=OC,
∴OCB=OBC.
∵OD ⊥DC。
∴DB =DC.
∵直线OE是线段BC的垂直平分线．
∴EB=EC。
∴ECB=EBC.
∴ECO=EBO。
∴EBO=90°．
∵AB是⊙O的直径．
∴BE与⊙O相切………………………………………………………………（3分）
（2)解：过点D作DM⊥AB于点M，则DM∥FB。
在Rt△ODB中，
∵ODB =90°，OB=9,sinABC=,∴OD=OB．sinABC =6．
由勾股定理得BD==3。………（5分)
在Rt△DMB中,同理得
DM =BD·sinABC=2 BM==5……………………（6分）
∵O是AB的中点，∴AB =18．∴AM=AB—BM=13．
∵DM∥FB，∴△AMD∽△ABF。 ∴。 ∴BF==。………(9分)
21。（1)解：∵ACB=90°，AD=BD,
∴CD=AD=BD。………………………………………………（9分)
∵BAC=60°，∴ADC=ACD=60°，ABC=30°，AD=BD=AC。
∵AC=4。∴AD=BD=AC= 4. ………………………（2分）
∵BM∥AC，∴MBC=ACB=90°. 又∵CD⊥EF,∴CDF=90°。 ∴BDF=30°。 ∴BFD=30°.
∴BDF=BFD.
BF=BD=4。 ………………………………………………（3分)
(2)①证明:由翻折，得E’CD=ACD=60°，∴ADC=E'CD
∴CE’∥AB。 ∴CE’D=BDG. ………………………………………………（4分）
∵BM∥AC,∴CED=BFD。
又∵CE'D=CED，∴BDG=BFD。
∵DBF=GBD, ∴△BDF∽△BGD…………………………………………（6分）
②解:由△BDF∽△BGD，得=。
由AE=x，可得BF=x。 ∴=. ∴BG=。
又∵点D到直线BM的距离为2,∴y=（—x）·2，即y=—3x.
x的取值范围为：0＜x＜4。 ………………………………………………………（8分）
（3）解：①当点G在点F的右侧时,由题意,得6=-3x.
整理，得x+6x-16=0。 解得x=2,x=—8（不合题意，舍去）. ………………(10分）
②当点G再点F的左侧时，由题意，得6=x—。整理得x-6x—16=0.
解得x=8， x=—2(不合题意,舍去）。 ………………………………………………（12分）
综合所述AE的值为2或8。
22.证明：延长BA、EC.设交点为O，则四边形OADC为平行四边形.
∵F是AC的中点，∴DF的延长线必过O点,且=。………（2分）
∵AB∥CD，∴=. ∵AD∥CE，
∴。…………………………………………………………（4分）
∴+=+=. 又==， ∴OQ=3DN。 ………(6分）
∴CQ=OQ-OC=3DN—OC=3DN—AD,AN=AD—DN，于是，AN+CQ=2DN,
∴+==2，即MN+PQ=2PN。 ………………………………………(8分)
23.解：（1）B（b,0），C(0，)；………………………………………………………(2分）
（2）假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形.设点P坐标（x，y),连接OP，
则S=S+S=··x+·b·y=2b,∴x+4y=16.
过P作PD⊥x轴,PE⊥y轴,垂足分别为D、E，∴PEO=EOD=ODP=90°,
∴四边形PEOD是矩形,∴EPD=90°.
∵△PBC是等腰直角三角形,∴PC=PB,BPC=90°。 ∴EPC=BPD。
∴△PEC△PDB。 ∴PE=PD，即x=y。 ………………………………………（4分）
由,解得。
由△PEC△PDB得EC=DB，即—=b-，解得b=＞2符合题意。
∴点P坐标为（，）。 ………………………………………………（6分）
（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB种的任意两个三角形均相似。
2013成都石室中学外地生初升高入学考试数学试题
姓名：_________________ 得分：______________
考试时间：120分钟满分:150分
一、选择题:（每小题5分，共50分）。
1．某产商品降价20％后，欲恢复原价,则提价的百分数为（ C ）。
A．18% B．20％ C．25％ D．30％
2．小于1000既不能被5整除，又不能被7整除的正整数的个数为（ C )。
A．658 B．648 C．686 D．688
3．三角形三条高的长度分别为3、4、5,则三边长都取最小整数时,最短边的长度为（ D ）.
A．60 B．20 C．15 D．12
4．方程的全体实数根之积为（ A )。
A．60 B．－60 C．10 D．－10
5．若则的值为（ B ）。
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知抛物线的图象经过（1,4),(2,7）两点,对称轴是，则的取值范围是(A ）。
A． B． C． D．
7．已知是完全平方数，则自然数（ B ）.
A．不存在 B．仅有一个 C．不只一个，但有有限个 D．有无穷多个
8．满足且的值为(D )。
A．1 B．3 C．－3 D．10
9．实数满足方程（ B )。
A． B． C． D．不存在
10．抛物线轴交于不同两点，且
=，则的所有可能值的乘积为（ A )。
A． B． C． D．
二、填空题(每小题5分,共25分)。
11．设为正整数,且则________ 。
12．已知轴交点的横坐标，
的结果为___________ .
13. 已知则的最大值为___________ .
14。 已知点在坐标轴上有一点，使的坐标为__________ 。
15．在___________ 。
10
三、解答题:(共75分）
16.(本题满分10分）已知的大小关系如何？
17。（本题满分10分）实数求+的值.
18。（本题满分12分)若关于的方程只有一个解，求的值与方程的解。
19。(本题满分12分)某新建储油罐装满油后，发现底部向外漏油,为安全并减少损失，需将油抽干后进行维修. 现有同样功率的小型抽油泵若干台,若5台一起抽需10个小时抽干,7台一起抽需8小时抽干，要在3小时内将油罐抽干,至少需要多少台油泵一起抽？
20.（本题满分15分）已知开口向下的抛物线两点（点在点的左侧),抛物线上在第一象限另有一点,且使∽
（1)求；
（2)设直线点,当的中点时，求直线和抛物线的解析式。
21。（本题满分16分)已知延长到，使过点求证:点的内心.