第十一讲--两角和与差的正弦、余弦和正切公式-经典难题复习巩固复习进程.doc

DSE金牌化学专题系列
精典专题系列 第11讲
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、 导入： 难解的结
古罗马时代，一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结，并且预言，将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者。长久以来，虽然许多人勇敢尝试，但是依然无人能解开这个结。
当时身为马其顿将军的亚历山大，也听说了关于这个结的预言，于是趁着驻兵这个城市之时，试着去打开这个结。
亚历山大连续尝试了好几个月，用尽了各种方法都无法打开这个结，真是又急又气。
有一天，他试着解开这个结又失败后，恨恨地说：“我再也不要看到这个结了。”
当他强迫自己转移注意力，不再去想这个结时，忽然脑筋一转，他抽出了身上的佩剑，一剑将结砍成了两半儿–结打开了。
大道理：勇敢地跳出思想的绳索，打开心结。过后会发现，事情实际上没有看到的和想象中的那么困难。积极一点，什么都会给你让路。
二、知识点回顾：
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)＝ ；
cos(α±β)＝ ；
tan(α±β)＝ .
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α＝ ；
cos2α＝ ＝ ＝ ；
tan2α＝ .
三、专题训练：

考点一
三角函数式的化简、求值
(1)化简：；
(2)若f(x)＝(0<x<π)，求f()．
[自主解答]　(1)∵sin50°(1＋tan10°)
＝sin50°·
＝sin50°·＝1，
cos80°＝sin10°＝sin210°.
∴＝＝.
(2)f(x)＝
＝＝
因为0<x<π，所以0<<，
所以cos>0，
所以f(x)＝－cosx
∴f()＝－cos＝－.
变式训练：
化简：sin(－x)＋cos(－x)．
解：原式＝2[sin(－x)＋cos(－x)]
＝2[cossin(－x)＋sincos(－x)]
＝2sin(－x＋)
＝2sin(－x)．
考点二
三角函数的给值求值
已知角A、B、C为△ABC的三个内角，＝(sinB＋cosB，cosC)，＝(sinC，sinB－cosB)，·＝－.
(1)求tan2A的值；
(2)求的值．
[自主解答]　(1)∵·＝(sinB＋cosB)sinC＋cosC(sinB－cosB)＝sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－，∴sinA＋cosA＝－， ①
两边平方并整理得：2sinAcosA＝－，
∵－<0，∴A∈(，π)，
∴sinA－cosA＝＝ ②
联立①②得：sinA＝，cosA＝－，
∴tanA＝－，
∴tan2A＝＝＝－.
(2)∵tanA＝－，
∴＝＝＝＝13.
变式训练：
已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，)．
(1)求sinθ和cosθ的值；
(2)若sin(θ－φ)＝，0<φ<，求cosφ的值．
解：(1)∵a⊥b，∴sinθ－2cosθ＝0，
又∵θ∈(0，)，∴sinθ＝，cosθ＝.
(2)∵sin(θ－φ)＝，
∴cos(θ－φ)＝或－.
当cos(θ－φ)＝时，
cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cosθ·cos(θ－φ)＋sinθ·sin(θ－φ)
＝×＋×＝.
当cos(θ－φ)＝－时，
cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cosθ·cos(θ－φ)＋sinθ·sin(θ－φ)
＝－×＋×＝－<0.
∵φ∈(0，)，不合题意，舍去．
∴cosφ的值等于.
考点三
三角函数的给值求角
已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.
(1)求sinα的值；(2)求β的值．
[自主解答]　(1)∵tan＝，
∴sinα＝sin(2·)＝2sincos
＝＝
＝＝.
(2)∵0<α<，sinα＝，
∴cosα＝.
又0<α<<β<π，
∴0<β－α<π.
由cos(β－α)＝，得0<β－α<.
∴sin(β－α)＝＝，
∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα
＝×＋×
＝＝.
由<β<π得β＝π.
(或求cosβ＝－，得β＝π)
思考：若将条件改为“0<β<α<，cosα＝，cos(α－β)＝”，如何求解？

∴sin(α－β)＝＝ ＝.
由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝×＋×＝.
∴β＝.
变式训练：
已知0<α<，<β<π，且cosα＝，sinβ＝，求β－α的值．
解：因为0<α<，<β<π，所以0<β－α<π，
又cosα＝，sinβ＝，
所以sinα＝，cosβ＝－，
所以cos(β－α)＝，所以β－α＝.

两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形
式考查，而该公式与三角形问题相结合更能体现其解题
功能，且能考查学生灵活运用公式及三角恒等变换的能力，是高考的一种重要考向．
[考题印证]　(2010·重庆高考)(13分)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b2＋3c2－3a2＝4bc.
(1)求sinA的值；
(2)求的值．
[规范解答]　(1)由余弦定理得
cosA＝＝，……………………………………(3分)
又0<A<π，故sinA＝＝.…………………………(6分)
(2)原式＝………………………(9分)
＝＝＝－.…………………(13分)
四、技法巧点：
1．公式常见变形及应用技巧
(1)对公式的掌握，既要能正用，还要能逆用及变形应用．记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连结符号“＋”“－”的变化特点，要掌握一些常见的变形使用，如tan(α＋β)＝变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α变形为cos2α＝，sin2α＝等．
(2)要注意从整体上把握公式的结构特点，根据公式的整体特点采用代数变形(如平方相加、平方相减)，有利于简化复杂的三角运算．
2．常见角的变换
明确变形目标，重视角的变换，注意角的范围．确定变形的目标和方向很重要，根据所求目标及条件常可对角进行一些变换，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＋＝(α＋β)－(β－)，α＝2·等等，再根据条件确定其范围，计算有关函数值．
五、 巩固练习：
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．(2010·全国卷Ⅱ)已知sinα ＝，则cos(π－2α)＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2×()2－1＝－.
答案：B
2．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a、b、c的大小关系是(　　)
A．a<b<c B．a<c<b
C．b<c<a D．b<a<c
解析：∵a2＝1＋2sin14°cos14°＝1＋sin28°∈(1，)，b2＝1＋2sin16°cos16°＝1＋sin32°∈(，2)，c2＝，且a>0，b>0，c>0，∴a<c<b.
答案：B
3．已知tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，那么tan(α＋)等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：因为α＋＋β－＝α＋β，所以α＋＝(α＋β)－(β－)．所以tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]＝＝.
答案：D
4．(2011·潮州模拟)sin2α＝，0<α<，则cos(－α)的值为(　　)
A. B．－
C. D．±
解析：∵cos(－α)＝sinα＋cosα，
∴[cos(－α)]2＝(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α
＝1＋＝.
∵0<α<.
∴cos(－α)>0，∴cos(－α)＝.
答案：C
5.的值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：原式＝
＝
＝＝.
答案：C
6．已知A、B均为钝角，且sinA＝，sinB＝，则A＋B等于(　　)
A. B.
C.或 D.
解析：由已知可得cosA＝－，cosB＝－，
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝，
又∵＜A＜π，＜B＜π，
∴π＜A＋B＜2π，∴A＋B＝.
答案：A
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7.＋2的化简结果是________．
解析：原式＝＋2
＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|
∵π<4<π
∴cos4<0，且sin4<cos4
∴原式＝－2cos4－2(sin4－cos4)
＝－2sin4.
8．(2011·东城模拟)若sin(π－α)＝，α∈(0，)，则sin2α－cos2的值等于________．
解析：∵sin(π－α)＝，∴sinα＝，又∵α∈(0，)，
∴cosα＝
∴sin2α－cos2＝2sinαcosα－＝2××－＝.
9．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝________.
解析：f(sinx)＝3－cos2x＝3－(1－2sin2x)＝2sin2x＋2，
所以f(x)＝2x2＋2，因此f(cosx)＝2cos2x＋2＝(2cos2x－1)＋3＝3＋cos2x.
三、解答题(共3小题，满分35分)
10.如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为(－，)．
(1)求的值；
(2)若·＝0，求sin(α＋β)．
解：(1)由三角函数定义得cosα＝－，sinα＝，则原式＝＝

＝2cos2α
＝2×(－)2＝.
(2)∵·＝0，
∴α－β＝，∴β＝α－，
∴sinβ＝sin(α－)＝－cosα＝，
cosβ＝cos(α－)＝sinα＝.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝×＋(－)×＝.
11．已知锐角△ABC中，三个内角为A，B，C，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，若p与q是共线向量．
(1)求角A的大小；
(2)求函数y＝2sin2B＋cos()取最大值时角B的大小．
解：(1)p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，∵p∥q，∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)(sinA－cosA)＝0，化简得：sin2A＝，∵△ABC为锐角三角形，
∴sinA＝，∴A＝60°.
(2)y＝2sin2B＋cos()
＝2sin2B＋cos()
＝2sin2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos(2B－60°)
＝1＋sin(2B－30°)，当B＝60°时函数取得最大值2.
12．已知向量a＝(，)，b＝(cosx，sinx)，x∈(0，)．
(1)若a∥b，求sinx和cos2x的值；
(2)若a·b＝2cos(＋x)(k∈Z)，求tan(x＋)的值．
解：(1)∵a∥b，∴sinx＝cosx.
于是sinx＝cosx，又∵sin2x＋cos2x＝1，
∴cos2x＝，
又∵x∈(0，)，∴sinx＝＝ ＝.
cos2x＝2cos2x－1＝－1＝－.
(2)∵a·b＝cosx＋sinx＝cossinx＋sincosx＝sin(x＋)，
而2cos(x＋)＝2cos(2kπ＋x＋＋2π)
＝2cos(x＋)(k∈Z)，
于是sin(x＋)＝2cos(x＋)，即tan(x＋)＝2.
∴tan(x＋)＝tan[(x＋)＋]
＝
＝＝－3.

六、反思总结：

当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）
1．(2010·全国新课标)若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)＝ (　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：由题知，cosα＝－，α是第三象限的角，所以sinα＝－，由两角和的正弦公式可得sin(α＋)＝sin αcos＋cosαsin＝(－)×＋(－)×＝－.

2．(2011·厦门模拟)＝ (　　)
A. B.
C．2 D.
解析：＝＝＝2.

3．已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是 (　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：∵cos(α－)＋sinα＝，
∴sinα＋cosα＝
∴sin(α＋)＝，
∴sin(α＋π)＝－sin(α＋)＝－.
4．设sinα＝(<α<π)，tan(π－β)＝，则tan(α－2β)的值为________．
解析：由sinα＝(<α<π)，
得cosα＝－，
∴tanα＝－.
又tan(π－β)＝，

∴tanβ＝－，
故tan2β＝＝－，
于是tan(α－2β)＝＝.
5．当0<x<时，函数f(x)＝的最小值为______．
6．已知α、β为锐角，向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(，－)．若a·b＝，a·c＝，求角2β－α的值．
解：∵a·b＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)
＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝， ①
a·c＝(cosα，sinα)·(，－)
＝cosα－sinα＝. ②
又∵0<α<，0<β<，∴－<α－β<.
由①得α－β＝±，
由②得α＝.由α、β为锐角，得β＝.
从而2β－α＝π.