第十一讲--两角和与差的正弦、余弦和正切公式-经典难题复习巩固复习进程.doc

DSE金牌化学专题系列精典专题系列 第11讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、 导入： 难解的结 古罗马时代，一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结，并且预言，将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者。长久以来，虽然许多人勇敢尝试，但是依然无人能解开这个结。当时身为马其顿将军的亚历山大，也听说了关于这个结的预言，于是趁着驻兵这个城市之时，试着去打开这个结。亚历山大连续尝试了好几个月，用尽了各种方法都无法打开这个结，真是又急又气。有一天，他试着解开这个结又失败后，恨恨地说：“我再也不要看到这个结了。”当他强迫自己转移注意力，不再去想这个结时，忽然脑筋一转，他抽出了身上的佩剑，一剑将结砍成了两半儿结打开了。大道理：勇敢地跳出思想的绳索，打开心结。过后会发现，事情实际上没有看到的和想象中的那么困难。积极一点，什么都会给你让路。 二、知识点回顾：1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin() ； cos() ； tan() .2二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2 ； cos2 ； tan2 .三、专题训练：考点一三角函数式的化简、求值(1)化简：；(2)若f(x)(0x)，求f()自主解答(1)sin50(1tan10)sin50sin501，cos80sin10sin210.(2)f(x)因为0x，所以00，所以f(x)cosxf()cos.变式训练：化简：sin(x)cos(x)解：原式2sin(x)cos(x)2cossin(x)sincos(x)2sin(x)2sin(x)考点二三角函数的给值求值已知角A、B、C为ABC的三个内角，(sinBcosB，cosC)，(sinC，sinBcosB)，.(1)求tan2A的值；(2)求的值自主解答(1)(sinBcosB)sinCcosC(sinBcosB)sin(BC)cos(BC)，sinAcosA， 两边平方并整理得：2sinAcosA，0，A(，)，sinAcosA 联立得：sinA，cosA，tanA，tan2A.(2)tanA，13.变式训练：已知向量a(sin，2)与b(1，cos)互相垂直，其中(0，)(1)求sin和cos的值；(2)若sin()，0，求cos的值解：(1)ab，sin2cos0，又(0，)，sin，cos.(2)sin()，cos()或.当cos()时，coscos()coscos()sinsin().当cos()时，coscos()coscos()sinsin()0.(0，)，不合题意，舍去cos的值等于.考点三三角函数的给值求角已知0，tan，cos().(1)求sin的值；(2)求的值自主解答(1)tan，sinsin(2)2sincos.(2)0，sin，cos.又0，0.由cos()，得0.sin()，sinsin()sin()coscos()sin.由得.(或求cos，得)思考：若将条件改为“0，cos，cos()”，如何求解？sin() .由()，得coscos()coscos()sinsin().变式训练：已知0，且cos，sin，求的值解：因为0，所以0，又cos，sin，所以sin，cos，所以cos()，所以. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查，而该公式与三角形问题相结合更能体现其解题功能，且能考查学生灵活运用公式及三角恒等变换的能力，是高考的一种重要考向考题印证(2010重庆高考)(13分)设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b23c23a24bc.(1)求sinA的值；(2)求的值规范解答(1)由余弦定理得cosA，(3分)又0A，故sinA.(6分)(2)原式(9分).(13分)四、技法巧点：1公式常见变形及应用技巧(1)对公式的掌握，既要能正用，还要能逆用及变形应用记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连结符号“”“”的变化特点，要掌握一些常见的变形使用，如tan()变形为tantantan()(1tantan)，cos22cos2112sin2变形为cos2，sin2等(2)要注意从整体上把握公式的结构特点，根据公式的整体特点采用代数变形(如平方相加、平方相减)，有利于简化复杂的三角运算2常见角的变换明确变形目标，重视角的变换，注意角的范围确定变形的目标和方向很重要，根据所求目标及条件常可对角进行一些变换，如2()()，2()()，()，()()，2等等，再根据条件确定其范围，计算有关函数值五、 巩固练习：一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1(2010全国卷)已知sin ，则cos(2)()A BC. D.解析：cos(2)cos2(12sin2)2()21.答案：B2设asin14cos14，bsin16cos16，c，则a、b、c的大小关系是()Aabc BacbCbca Dba0，b0，c0，acb.答案：B3已知tan()，tan()，那么tan()等于()A. B.C. D.解析：因为，所以()()所以tan()tan()().答案：D4(2011潮州模拟)sin2，0，则cos()的值为()A. BC. D解析：cos()sincos，cos()2(sincos)21sin21.00，cos().答案：C5.的值是()A. B.C. D.解析：原式.答案：C6已知A、B均为钝角，且sinA，sinB，则AB等于()A. B.C.或 D.解析：由已知可得cosA，cosB，cos(AB)cosAcosBsinAsinB，又A，B，AB2，AB.答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7.2的化简结果是_解析：原式22|cos4|2|sin4cos4|4cos40，且sin4cos4原式2cos42(sin4cos4)2sin4.8(2011东城模拟)若sin()，(0，)，则sin2cos2的值等于_解析：sin()，sin，又(0，)，cossin2cos22sincos2.9若f(sinx)3cos2x，则f(cosx)_.解析：f(sinx)3cos2x3(12sin2x)2sin2x2，所以f(x)2x22，因此f(cosx)2cos2x2(2cos2x1)33cos2x.三、解答题(共3小题，满分35分)10.如图，以Ox为始边作角与(0)，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为(，)(1)求的值；(2)若0，求sin()解：(1)由三角函数定义得cos，sin，则原式2cos22()2.(2)0，sinsin()cos，coscos()sin.sin()sincoscossin().11已知锐角ABC中，三个内角为A，B，C，两向量p(22sinA，cosAsinA)，q(sinAcosA,1sinA)，若p与q是共线向量(1)求角A的大小；(2)求函数y2sin2Bcos()取最大值时角B的大小解：(1)p(22sinA，cosAsinA)，q(sinAcosA,1sinA)，pq，(22sinA)(1sinA)(cosAsinA)(sinAcosA)0，化简得：sin2A，ABC为锐角三角形，sinA，A60.(2)y2sin2Bcos()2sin2Bcos()2sin2Bcos(2B60)1cos2Bcos(2B60)1sin(2B30)，当B60时函数取得最大值2.12已知向量a(，)，b(cosx，sinx)，x(0，)(1)若ab，求sinx和cos2x的值；(2)若ab2cos(x)(kZ)，求tan(x)的值解：(1)ab，sinxcosx.于是sinxcosx，又sin2xcos2x1，cos2x，又x(0，)，sinx .cos2x2cos2x11.(2)abcosxsinxcossinxsincosxsin(x)，而2cos(x)2cos(2kx2)2cos(x)(kZ)，于是sin(x)2cos(x)，即tan(x)2.tan(x)tan(x)3.六、反思总结： 当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1(2010全国新课标)若cos，是第三象限的角，则sin() ()A B.C D.解析：由题知，cos，是第三象限的角，所以sin，由两角和的正弦公式可得sin()sin coscossin()().2(2011厦门模拟) ()A. B.C2 D.解析：2.3已知cos()sin，则sin()的值是 ()A B.CD.解析：cos()sin，sincossin()，sin()sin().4设sin()，tan()，则tan(2)的值为_解析：由sin()，得cos，tan.又tan()，tan，故tan2，于是tan(2).5当0x时，函数f(x)的最小值为_6已知、为锐角，向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，c(，)若ab，ac，求角2的值解：ab(cos，sin)(cos，sin)coscossinsincos()， ac(cos，sin)(，)cossin. 又0，0，.由得，由得.由、为锐角，得.从而2.