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杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研
数学学科试卷 2018.12.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．设全集，若集合，则 ▲ ．
2．已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积为 ▲ ．
3．已知双曲线，则其两条渐近线的夹角为 ．
4. 若展开式的二项式系数之和为，则 ．
5. 若实数 满足 ，则的取值范围是．
6. 若圆锥的母线长，高，则这个圆锥的体积等于.
7. 在无穷等比数列中，，则的取值范围是．
8. 若函数的定义域为集合，集合. 且，
则实数的取值范围为．
9. 在行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作，
则的零点是
10. 已知复数， ，i为虚数单位）．在复平面上，设复数对应的点分别为，若，其中是坐标原点，则函数的最小正周期 ．
11. 当时，不等式恒成立，则实数的最大值为 ．
12. 设为等差数列的公差，数列的前项和，满足，且. 若实数，则称具有性质. 若是数列的前项和，对任意的，都具有性质，则所有满足条件的的值为.
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是 ………( )
. .
. .
14. 某象棋俱乐部有队员人，其中女队员人. 现随机选派人参加一个象棋比赛，
则选出的人中恰有人是女队员的概率为 ………( )
. . . .
15. 已知，，
设，，则的大小关系是 ………( )
.. ..
.. ..
16. 已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是………( )
. .
. .
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动.
（1）求三棱锥的体积；
（2）证明：无论点在边的何处，都有.
18. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
在中，角所对的边分别为，且．
（1）若，求；
（2）若，求证：．
19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
上海某工厂以千克/小时的速度匀速生产一种产品，每一小时可获得的利润是元，其中.
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.
20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，满足的中点均在抛物线上.
（1）求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）设中点为，且，证明：；
（3）若是曲线上的动点，求面积的最小值.
21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分）
记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，其中.
(1) 若，请写出的值；
(2) 求证：“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件；
(3) 若对任意，有, 且，请问：是否存在，使得对于任意不小于的正整数，有 成立？请说明理由．
杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研
数学学科试卷评分标准 2018.12.
考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并核对后的条形码贴在指定位置上.
2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．
一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.
1． ；2． ；3． ； 4. 3 ；5. ；6. ；
7. ；8. ；9. ； 10. ；11. 2 ；12. 3或4
二、 选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. ；14. ；15. ；16.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1） …… 6分
（2）只需证明
因为，故，又，
故，所以； ……10分
中，，点是的中点，故 ……12分
所以，，故无论点在边的何处，都有. ……14分
（用向量证明类似评分）
22. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
解：（1）在中，由得，．
．故为锐角． ……3分
．∴．……7分
（2）由余弦定理得，
，
当且仅当时等号成立．．
∴． ……14分
23. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1）根据题意，，得 ……2分
解得或 ……4分
又，可得 ……6分
（2）设利润为元，则， ……8分
， ……12分
故时， ……14分
24. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
解：（1）焦点到准线的距离2； ……4分
（2）设，
则 ……6分
整理得，，
同理，， ……8分
所以，是关于的方程的两根，
故的纵坐标为，即； ……9分
（3）若直线轴，则的纵坐标为0，
因此，，
则两点的纵坐标满足，
故，； ……10分
若直线的斜率存在，方程为，
即，整理得，，
将代入得，直线， ……12分
故，
而点到直线的距离为， ……14分
故，
而，
故， ……15分
由得，，
综上，的面积的最小值为. ……16分
25. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分）
解：(1)因为 ……2分
所以 ……4分
(2) （必要性）当数列是等差数列时，设其公差为
当 时， ，所以，所以，，
当 时， ，所以，所以，，
当 时， ，所以，所以，
综上，总有
所以 ，所以数列是等差数列 ……6分
（充分性） 当数列是等差数列时，设其公差为
因为，
根据的定义，有以下结论：
，且两个不等式中至少有一个取等号
当时，则必有，所以，
所以是一个单调递增数列，所以，，
所以
所以，即为等差数列
当时，则必有，所以
所以是一个单调递减数列，所以，，
所以
所以，即为等差数列
当时，
因为中必有一个为0，
根据上式，一个为0，则另一个亦为0，
所以 所以为常数数列，所以为等差数列
综上，结论得证. ……9分
(3)存在 ……10分
假设不存在，
因为，即 或者，
所以对任意，一定存在，使得符号相反 ……12分
所以在数列中存在，其中
且 ，
……14分
因为，即
注意到，且有且仅有一个等号成立，
所以必有 ……16分
所以，所以
因为，所以 ，所以
所以
所以
所以
所以
……
所以
所以
所以，
这与矛盾，所以假设错误， ……18分
所以存在，使得任意，，有.
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