上海市杨浦区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案).doc

杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研 数学学科试卷 2018.12.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1设全集，若集合，则 2已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积为 3已知双曲线，则其两条渐近线的夹角为 4. 若展开式的二项式系数之和为，则 5. 若实数 满足 ，则的取值范围是6. 若圆锥的母线长，高，则这个圆锥的体积等于.7. 在无穷等比数列中，则的取值范围是8. 若函数的定义域为集合，集合. 且，则实数的取值范围为9. 在行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作，则的零点是10. 已知复数， ，i为虚数单位）在复平面上，设复数对应的点分别为，若，其中是坐标原点，则函数的最小正周期 11. 当时，不等式恒成立，则实数的最大值为 12. 设为等差数列的公差，数列的前项和，满足，且. 若实数，则称具有性质. 若是数列的前项和，对任意的，都具有性质，则所有满足条件的的值为.二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是 ( ). . . . 14. 某象棋俱乐部有队员人，其中女队员人. 现随机选派人参加一个象棋比赛， 则选出的人中恰有人是女队员的概率为 ( ). . . .15. 已知， 设，则的大小关系是 ( ) . . .16. 已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是( ). . . . 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，平面，四边形为矩形，点是的中点，点在边上移动.（1）求三棱锥的体积；（2）证明：无论点在边的何处，都有.18. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）在中，角所对的边分别为，且（1）若，求；（2）若，求证：19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 上海某工厂以千克/小时的速度匀速生产一种产品，每一小时可获得的利润是元，其中.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，满足的中点均在抛物线上.（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）设中点为，且，证明：；（3）若是曲线上的动点，求面积的最小值.21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分）记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，其中.(1) 若，请写出的值；(2) 求证：“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件；(3) 若对任意，有, 且，请问：是否存在，使得对于任意不小于的正整数，有 成立？请说明理由 杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研 数学学科试卷评分标准 2018.12.考生注意： 1答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并核对后的条形码贴在指定位置上.2本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1 ；2 ；3 ； 4. 3 ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ； 10. ；11. 2 ；12. 3或4二、 选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. ；14. ；15. ；16. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1） 6分（2）只需证明因为，故，又，故，所以；10分中，点是的中点，故12分所以，故无论点在边的何处，都有.14分（用向量证明类似评分）22. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）解：（1）在中，由得，故为锐角 3分7分（2）由余弦定理得，当且仅当时等号成立 14分23. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）根据题意，得 2分解得或 4分又，可得 6分（2）设利润为元，则， 8分， 12分 故时， 14分24. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）解：（1）焦点到准线的距离2； 4分（2）设，则 6分 整理得，同理， 8分所以，是关于的方程的两根，故的纵坐标为，即； 9分（3）若直线轴，则的纵坐标为0，因此，则两点的纵坐标满足，故，； 10分 若直线的斜率存在，方程为，即，整理得，将代入得，直线， 12分故，而点到直线的距离为， 14分故，而，故， 15分由得，综上，的面积的最小值为. 16分25. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分）解：(1)因为 2分 所以 4分 (2) （必要性）当数列是等差数列时，设其公差为 当 时， ，所以，所以，当 时， ，所以，所以， 当 时， ，所以，所以，综上，总有 所以 ，所以数列是等差数列 6分 （充分性） 当数列是等差数列时，设其公差为因为，根据的定义，有以下结论：，且两个不等式中至少有一个取等号当时，则必有，所以，所以是一个单调递增数列，所以，所以所以，即为等差数列当时，则必有，所以 所以是一个单调递减数列，所以，所以所以，即为等差数列当时，因为中必有一个为0，根据上式，一个为0，则另一个亦为0，所以 所以为常数数列，所以为等差数列 综上，结论得证. 9分(3)存在 10分 假设不存在，因为，即 或者，所以对任意，一定存在，使得符号相反 12分所以在数列中存在，其中且 ， 14分因为，即注意到，且有且仅有一个等号成立，所以必有 16分所以，所以 因为，所以 ，所以 所以所以所以所以 所以 所以 所以， 这与矛盾，所以假设错误， 18分所以存在，使得任意，有. 9