2019届数学选修2-2测试答案.doc

2019届数学选修2-2模块测试答案

一、选择题
1．i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则(　　)
A．i∈S　　　　B．i2∈S C．i3∈S　　　　 D.∈S
解析：　∵i2＝－1，而集合S＝{－1,0,1}，∴i2∈S.
答案：　B
2．下列求导运算正确的是(　　)
A.′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝2xsin x
解析：　∵′＝1－，
∴A错．
(log2x)′＝·＝，
∴B正确．故选B.
答案：　B
3．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N＋)个等式应为(　　)
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9
B．9(n－1)＋n＝10n－9
C．9n＋(n－1)＝10n－9
D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
解析：　分别观察乘数规律、加数规律和运算结果的规律，得出猜想结果．
答案：　B
4．由曲线y＝与x轴及x＝2所围成的图形绕x轴旋转一周后形成的几何体的体积为(　　)
A．π B．2π C．3π　　　D.
解析：　V＝πxdx＝πxdx＝x2|＝2π(如图所示)．

答案：　B
5．在用数学归纳法证明“已知f(n)＝1＋＋＋…＋，求证：f(2n)＜n＋1”的过程中，由k推导k＋1时，原式增加的项数是(　　)
A．1 B．k＋1 C．2k－1 D．2k
解析：　f(2k)＝1＋＋＋…＋，
f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋…＋，
∴f(2k＋1)－f(2k)＝2k.
答案：　D
6．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(　　)
A．2　　　　B. C．－ D．－2
解析：　∵y′＝′＝
＝＝－，
∴在点(3,2)处切线的斜率k＝－＝－.
∵·(－a)＝－1，∴a＝－2.
答案：　D
7．方程的实数根的个数为(    )
A.0个B.1个C.2个D.3个
答案： B
解析： 构造函数利用单调性.
,,
因为,所以,所以在上单调递增.
所以与轴有一个交点.只有一根.

8．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
解析：　设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2＞0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)＞0的解集为{x|x＞－1}，即f(x)＞2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
答案：　B
9．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝(　　)
A.　　　　B. C．1 D．2
解析：　∵z＝＝＝＝＝＝－＋i，
∴z·＝＝＋＝.故选A.
答案：　A
10.已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)．下面四个图像中y＝f(x)的图像大致是(　　)

解析：　当x＜－1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＞0，f(x)为增函数；
当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＜0，f(x)为减函数；
当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，f(x)为减函数；
当x＞1时，xf′(x)＞0，f′(x)＞0，f(x)为增函数．
答案：　C
二、填空题
11．函数y＝asin x＋sin 3x在x＝处取得极值，则a＝________.
解析：　y′＝acos x＋3cos 3x，
由题意知，y′＝0，
即acos＋3cos π＝0，∴a＝6.
答案：　6
12．若f(x)＝则f(x)dx＝____________.
解析：　因为f(x)dx＝(－x)dx＋(x2＋3)dx，
又因为′＝－x，′＝x2＋3，
所以f(x)dx＝－x2|＋＝.
答案：　
13．若三角形内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则三角形的面积S＝r(a＋b＋c)，运用类比思想，对于空间中的四面体的内切球，存在一个类似的结论为_______．
解析：　将三角形内切圆扩展到四面体的内切球，边长扩展为四面体的各面的面积，积扩展为四面体的体积，于是可得一个类似的结论．
答案：　若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积为V＝R(S1＋S2＋S3＋S4)
14．复数＋i2 010对应的点位于复平面的第______象限．
解析：　原式＝＋(i4)502·i2
＝＋i2＝－1－i.
其对应的点位于第三象限．
答案：　三
15．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A、B在抛物线上运动，C、D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________________．

解析：　设CD＝x，则点C坐标为.
点B坐标为，
∴矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·＝－＋x(x∈(0,2))．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)＞0，f(x)是递增的．
x∈时，f′(x)＜0，f(x)是递减的．
当x＝时，f(x)取最大值.
答案：　
三、解答题
16.已知实数a，b，c，d，满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
证明：　假设a，b，c，d都是非负实数．
∵a＋b＝c＋d＝1，∴a，b，c，d∈[0,1]，
∴ac≤≤，bd≤≤，
∴ac＋bd≤＋＝1，
这与已知ac＋bd>1相矛盾，所以原假设不成立，即证得a，b，c，d中至少有一个是负数．
17．若函数f(x)＝ax3－bx，当x＝2时，函数f(x)有极值－.
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．
(3)求曲线y＝f(x)与直线x＋y＝0所围图形的面积．
解析：　f′(x)＝3ax2－b.
(1)由题意可得，
解得.故所求的函数解析式为f(x)＝x3－4x.
(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，
当x＜－2或x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
因此，当x＝－2时，f(x)有极大值；
当x＝2时，f(x)有极小值－.
所以函数的大致图像如图所示．

故实数k的取值范围是－＜k＜.
(3)由得交点坐标为(－3,3)，(0,0)和(3，－3)．
∴所围图形的面积
S＝dx＋dx
＝2dx
＝2
＝.
18．已知A、B两地相距200千米，一只船从A地逆水而行到B地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为v千米/小时(8＜v≤v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比．当v＝12千米/小时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的静水速度为多少？
解析：　设每小时的燃料费为y1，比例系数为k，则y1＝kv2.当v＝12时，y1＝720，
∴720＝k·122，解得k＝5，
∴y1＝5v2.
∴全程的燃料费
y＝y1·＝(8＜v≤v0)．
y′＝
＝.
令y′＝0得v＝16或v＝0(舍去)．
所以函数在v＝16时取得极值，并且是极小值．
当v0≥16时，v＝16使y最小．
即全程燃料费最省．
当v0＜16时，
可得y＝在(8，v0]上递减，
即当v＝v0时，ymin＝.
综上，若v0≥16，则当v＝16千米/小时时，
全程燃料费最省；
若8＜v0＜16，则当v＝v0时，全程燃料费最省．
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