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上海市浦东新区2019届高三一模数学试卷
2018.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知全集，集合，则
2. 抛物线的焦点坐标为
3. 不等式的解为
4. 已知复数满足（为虚数单位），则的模为
5. 若函数的图像恒过点，则函数的图像一定经过定点
6. 已知数列为等差数列，其前项和为. 若，则
7. 在中，角A、B、C对边是a、b、c. 若，，则
8. 已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为
9. 已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为，则展开式中的第
五项为
10. 已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为
11. 已知数列满足：，，，
若，则
12. 已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. “”是“一元二次方程有实数解”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
14. 下列命题正确的是（ ）
A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
B. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
C. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
D. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
15. 将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案
有（ ）种
A. 72 B. 36 C. 64 D. 81
16. 已知点，，为曲线上任意一点，则的取值范
围为（ ）
A. B. C. D.
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 已知直三棱柱中，，.
（1）求异面直线与所成角；
（2）求点到平面的距离.
18. 已知函数.
（1）若角的终边与单位圆交于点，求的值；
（2）当时，求的单调递增区间和值域.
19. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：
① 3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E
（单位：）与游玩时间（小时）满足关系式：；
② 3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0
（即累积经验值不变）；
③ 超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成
正比例关系，比例系数为50.
（1）当时，写出累积经验值E与游玩时间的函数关系式，并求出游玩6小时的累积经验值；
（2）该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记作；
若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，
求实数的取值范围.
20. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，左、右两顶点
分别是、，弦 和所在直线分别平行于轴与 轴，线段的延长线与线段相交于点 P（如图）.
（1）若是的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的夹角；
（2）若， ，，，试求双曲线的方程；
（3）在（1）的条件下，且，点与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点和，试问：以线段为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由.
21. 已知平面直角坐标系，在轴的正半轴上，依次取点（），
并在第一象限内的抛物线上依次取点（），使得
（）都为等边三角形，其中为坐标原点，设第个三角形的边长为.
（1）求，，并猜想；（不要求证明）
（2）令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列
的前项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，
求出的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）已知数列满足：，，数列满足：
，，求证：.
参考答案
一. 填空题
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
12. 解：当时，. 当时，
（1）若，则在上是单调递增函数，所以.若满足题目要求，则，所以.又，所以.
（2）若，则，在上是单调递增函数，此时；在上是单调递减函数，此时.若满足题目要求，则，又，所以.
综上，.
二. 选择题
13. A 14. D 15. B 16. A
三. 解答题
17．解：（1）在直三棱柱中，，
,
所以，．…………………………2分
因为，，所以，为异面直线与所成的角或补角．……4分
在中，因为，，
所以，异面直线与所成角为．…………………………7分
（2）设点到平面的距离为，
由（1）得，…………………………9分
，…………………………11分
因为，，…………………………12分
所以，，解得，．
所以，点到平面的距离为．…………………………14分
或者用空间向量：
（1） 设异面直线与所成角为，如图建系，则，，…………4分
因为，
所以，异面直线与所成角为．…………7分
（2）设平面的法向量为，
则．又，，……………9分
所以，由，得．…………12分
所以，点到平面的距离．…………………………14分
18．解：（1）∵角的终边与单位圆交于点，
∴ ……2分
…4分
（2）
…………………………6分
…………………………8分
由得，
又，所以的单调递增区间是； ………………10分
∵，∴ …………………………12分
∴，的值域是. ………………14分
19．解：（1） （写对一段得1分，共3分）
时， （6分）
（2）时， （8分）
① （10分）
② （12分）
综上， （14分）
20． 解：（1）双曲线的渐近线方程为：
即，所以，…………2分
从而，，
所以．……………………………..4分
（2）设 ，则由条件知：
，
，即．…………6分
所以， ，………………………………7分
代入双曲线方程知：……9分
……………………………………………….. 10分
（3）因为，所以，由（1）知，，所以的方程为: ，
令，所以，
，令，所以，
，令，所以， …………12分
故以为直径的圆的方程为：，
即，
即，…………………………….14分
若以为直径的圆恒经过定点
于是
所以圆过轴上两个定点和……………………………16分
21．解：（1）， （2分）
猜想 （2分）
（2） （5分）
由
（6分）
（7分）
（9分）
对任意恒成立（10分）.
（3）记，则
（12分）
记，则
（14分）
当时，可知：
（18分）
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