高等数学复习习题答案(全).doc

1、设在连续，在内可导，，且在内，证明：在内有且只有一个数，使得。
证明：先证其存在性。作辅助函数，则在连续，在内可导，注意到，故由零点存在定理知，存在，使得，即有。
最后证明唯一性。用反证法。假设还有一个，使得，则在与之间的区间对用罗尔定理，知存在使得，即，这与题设矛盾，所以唯一性得证。
2、设在连续，在内可导，，且，证明：在必存在，使得。
证明：因为在连续，设其在取得最小值m和最大值M。又因为，故由介值定理知，存在，使得，又，由罗尔定理得，使得。
3、设在上具有二阶导数，且，令，证明必存在，使得。
证明：由题设，在上具有二阶导数，且。
注意到，由罗尔定理，知存在，使得。又，故由罗尔定理，知存在，使得。
4、见课件
5、见课件
6、设在上可导，且，证明存在，使得。
证明：先不妨设，则由函数极限保号性质，知存在，使得
，
，
故在内取到最小值，设在取得最小值，则由费尔马引理知，。
同理，如果，则在内取到最大值，设在取得最大值，则由费尔马引理知，。
7.证明：令，利用第6题的结论即可得到。
8、设在上可导，且，证明方程在内至少有两个根。
证明：因为，所以由函数极限的保号性知，存在，使得，故由零点存在定理，存在，使得。又，在区间和对分别用罗尔定理，即可知方程在内至少有两个根。
9、设在上连续，在内可导，证明存在，使得。
证明：由朗格朗日中值定理和柯西中值定理，得存在，使得
，故证得。
10、设在上连续，在内可导，且，证明：对于任意给定的整数a, b, 在内存在不同的，使得。
证明：注意到，由介值定理知，存在，使得，在区间和分别用朗格朗日中值定理，存在，使得

从而，得证。
11、设在上连续，在内可导，且，证明：存在，使得。
证明：作辅助函数，则在上连续，在内可导，且。在区间和分别用朗格朗日中值定理，存在，使得

因此即有。
12、设在上连续，在内可导，且，试证：
（1）存在，使得；
（2）存在不同的，使得。
证明：（1）作辅助函数，则在连续，在内可导，注意到，故由零点存在定理知，存在，使得，即有。
（2）在区间和分别用朗格朗日中值定理，可得，存在，
使得

因此，得证。
13、设在内可导，且证明在内有界。
证明：由朗格朗日中值定理，存在在和x之间，使得
，
从而，得证。
14、设函数在可导，且证明
证明：对任意给定的，由朗格朗日中值定理，存在在和x之间，使得

从而
15、见课件。
16、见第三章的习题。（用泰勒公式，把中点分别在端点处展开，最后用介值定理就可证得）
17、设在上二阶可导，且，证明在内有且仅有一个实根。
证明：先证存在性。对于任意给定的由泰勒公式，存在，使得

因为，故，由此知存在，使得，又，由零点存在定理，在内有一个实根。又由，知，从而在上单调递减，因此在内的根只能有一个。
18、设函数在上二阶可导，且证明：。
证明：对于任意给定的，由泰勒公式，存在，使得

从而，进而有
。
19、已知非负函数在上可导，且，
证明：（1）存在常数M，使得当时，；
（2）若则A=0。
证明：（1）取，对于任意给定的，则总存在自然数n,使得，现由，得

（2）注意到 又当时，
，从而由夹逼准则，知，即有A=0.

1、求下列极限：

方法二：（其中）
所以。

2、（1）解：由归纳假设，可知。注意到函数为单调增加的，又由，故可知数列为单调减少数列，由单调有界准则，此数列极限存在。令，则。又由，令，得，解得，即。
（2）解：

3. 设，讨论函数在点处的连续性和可导性。
解：先讨论连续性。由，
当时，，从而故在点处连续；
当时， 不存在（取序列验证），故此时在点处不连续。
最后讨论可导性。由，
当时，，从而故在点处可导；
当时， 不存在，故此时在点处不可导。
4、设函数由所确定，求。
解：对方程两边取微分，得

把x=0,y=1代入上式，得，从而

5、设函数由参数方程（a>0）所确定，求及在的曲率。
解：，
。
从而。
由曲率，从而。
6、已知，求。
解： 本题可以用莱布尼兹公式解得，也可以用直接求导并利用的导数公式解得。

当时
利用相应的公式即可得。
7、证明当x>0时，
证明：利用最值。
作辅助函数，则

从而在单调减少，在单调增加。因此在x=1取得最小值，即有，进而在是单调增加的，又注意到，这样，当时，，当时，，因此在x=1取得最小值，即有，得证。
注：本题也可以分两个不等式来证：
当时，
当时，
利用单调性就可证得。
8、设b>a>0，证明。
证明：利用单调性（注意本题的辅助函数构造）
作辅助函数，则当x>a时，

这里。
从而，即有，得证。
9、证明不等式：其中p为大于1的常数。
证明：本题可利用凹凸性，也可利用求最值的方法。考虑函数，
注意到，故在【0,1】为向上凹的，因此，即得。又得证。
10、见泰勒公式那一章的课件。

选择填空题：
1、C 2、D （水平渐近线 y=0,铅直渐近线 x=0, 斜渐近线 y=x）3、36
3、解：