高等数学复习习题答案(全).doc

1、设在连续，在内可导，且在内，证明：在内有且只有一个数，使得。证明：先证其存在性。作辅助函数，则在连续，在内可导，注意到，故由零点存在定理知，存在，使得，即有。最后证明唯一性。用反证法。假设还有一个，使得，则在与之间的区间对用罗尔定理，知存在使得，即，这与题设矛盾，所以唯一性得证。2、设在连续，在内可导，且，证明：在必存在，使得。证明：因为在连续，设其在取得最小值m和最大值M。又因为，故由介值定理知，存在，使得，又，由罗尔定理得，使得。3、设在上具有二阶导数，且，令，证明必存在，使得。证明：由题设，在上具有二阶导数，且。注意到，由罗尔定理，知存在，使得。又，故由罗尔定理，知存在，使得。4、见课件5、见课件6、设在上可导，且，证明存在，使得。证明：先不妨设，则由函数极限保号性质，知存在，使得 ， ，故在内取到最小值，设在取得最小值，则由费尔马引理知，。同理，如果，则在内取到最大值，设在取得最大值，则由费尔马引理知，。7.证明：令，利用第6题的结论即可得到。8、设在上可导，且，证明方程在内至少有两个根。证明：因为，所以由函数极限的保号性知，存在，使得，故由零点存在定理，存在，使得。又，在区间和对分别用罗尔定理，即可知方程在内至少有两个根。9、设在上连续，在内可导，证明存在，使得。证明：由朗格朗日中值定理和柯西中值定理，得存在，使得，故证得。10、设在上连续，在内可导，且，证明：对于任意给定的整数a, b, 在内存在不同的，使得。证明：注意到，由介值定理知，存在，使得，在区间和分别用朗格朗日中值定理，存在，使得 从而，得证。11、设在上连续，在内可导，且，证明：存在，使得。证明：作辅助函数，则在上连续，在内可导，且。在区间和分别用朗格朗日中值定理，存在，使得 因此即有。12、设在上连续，在内可导，且，试证：（1）存在，使得；（2）存在不同的，使得。证明：（1）作辅助函数，则在连续，在内可导，注意到，故由零点存在定理知，存在，使得，即有。（2）在区间和分别用朗格朗日中值定理，可得，存在，使得 因此，得证。13、设在内可导，且证明在内有界。证明：由朗格朗日中值定理，存在在和x之间，使得，从而，得证。14、设函数在可导，且证明证明：对任意给定的，由朗格朗日中值定理，存在在和x之间，使得从而15、见课件。16、见第三章的习题。（用泰勒公式，把中点分别在端点处展开，最后用介值定理就可证得）17、设在上二阶可导，且，证明在内有且仅有一个实根。证明：先证存在性。对于任意给定的由泰勒公式，存在，使得 因为，故，由此知存在，使得，又，由零点存在定理，在内有一个实根。又由，知，从而在上单调递减，因此在内的根只能有一个。18、设函数在上二阶可导，且证明：。证明：对于任意给定的，由泰勒公式，存在，使得 从而，进而有。19、已知非负函数在上可导，且，证明：（1）存在常数M，使得当时，； （2）若则A=0。证明：（1）取，对于任意给定的，则总存在自然数n,使得，现由，得 （2）注意到 又当时，从而由夹逼准则，知，即有A=0.1、求下列极限： 方法二：（其中）所以。2、（1）解：由归纳假设，可知。注意到函数为单调增加的，又由，故可知数列为单调减少数列，由单调有界准则，此数列极限存在。令，则。又由，令，得，解得，即。（2）解：3. 设，讨论函数在点处的连续性和可导性。解：先讨论连续性。由， 当时，从而故在点处连续；当时， 不存在（取序列验证），故此时在点处不连续。最后讨论可导性。由，当时，从而故在点处可导；当时， 不存在，故此时在点处不可导。4、设函数由所确定，求。解：对方程两边取微分，得把x=0,y=1代入上式，得，从而5、设函数由参数方程（a0）所确定，求及在的曲率。解：，。从而。由曲率，从而。6、已知，求。解： 本题可以用莱布尼兹公式解得，也可以用直接求导并利用的导数公式解得。当时利用相应的公式即可得。7、证明当x0时，证明：利用最值。作辅助函数，则 从而在单调减少，在单调增加。因此在x=1取得最小值，即有，进而在是单调增加的，又注意到，这样，当时，当时，因此在x=1取得最小值，即有，得证。注：本题也可以分两个不等式来证：当时，当时，利用单调性就可证得。8、设ba0，证明。证明：利用单调性（注意本题的辅助函数构造）作辅助函数，则当xa时，这里。从而，即有，得证。9、证明不等式：其中p为大于1的常数。证明：本题可利用凹凸性，也可利用求最值的方法。考虑函数，注意到，故在【0,1】为向上凹的，因此，即得。又得证。10、见泰勒公式那一章的课件。选择填空题：1、C 2、D （水平渐近线 y=0,铅直渐近线 x=0, 斜渐近线 y=x）3、363、解：