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2018学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷
2018.12
1. 函数的定义域为 .
2. 若，则 .
3. 设，若为偶函数，则 .
4. 若直线经过抛物线：的焦点且其一个方向向量为，则直线的方程为 .
5. 若一个球的体积是其半径的倍，则该球的表面积为 .
6. 在一个袋中装有大小、质地均相同的只球，其中红色、黑色、白色各只，若从袋中随机取出
两个球，则至少有一个红球的概率为 （结果用最简分数表示）.
7. 设，则 （结果用数值表示）.
8. 设且，若，则 .
9. 如图，正四棱柱的底面边长为，记,
，若，则此棱柱的体积为 .
10.某人的月工资由基础工资和绩效工资组成.2010年每月的基础工资为元、绩效工资为元.从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的.照此推算，此人2019年的年薪为 万元（结果精确到）.
11. 已知点，设、是圆:上的两个不同的动点，且向量（其中为实数），则 .
12. 设为整数，记函数（且，）的反函数为，
则 .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 下列关于双曲线：的判断，正确的是………………………………………（ ）
渐近线方程为 焦点坐标为
实轴长为 顶点坐标为
14.函数的图像………………………………………………………………（ ）
关于原点对称 关于点对称
关于轴对称 关于直线对称
15.若、、表示直线，、表示平面，则“”成立的一个充分非必要条件是（ ）
， ，
， ，
16.设是定义在上的周期为的函数.且.记，
若，则函数在区间上零点的个数是………………………………（ ）
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在△中，三个内角,,所对的边依次为,,,且.
（1）求的值；
（2）设，求的取值范围.
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知曲线：的左、右顶点分别为,，设是曲线上的任意一点.
（1）当异于,时，记直线、的斜率分别为、，求证：是定值；
（2）设点满足（），且的最大值为，求的值.
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上. 并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为,钉尖为（）.
（1）设（），当在同一水平面内时，求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）若该“钉”的三个端尖所确定的三角形的面积为，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？
20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设数列满足，（）.
（1）求、的值；
（2）求证：是等比数列，并求的值；
（3）记的前项和为，是否存在正整数，使得对于任意的（且）均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数（），记.
（1）解不等式：；
（2）设为实数，若存在实数，使得成立，求的取值范围；
（3）记（其中、均为实数），若对于任意的，均有，求、的值.
2018学年第一学期普陀区质量调研卷参考答案及评分标准
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）填对1-6得4分、7-12得5分.
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. 10. 11. 12.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.
题号
13
14
15
16
答案
B
B
C
D
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
【解】（1）由，得……1分，由得,
故……2分
……4分
……5分
……6分
（2）在△中，由余弦定理，得……8分
即……9分
（当且仅当时，等号成立）……11分
所以，即……12分，又因为，故……14分
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
【解】根据题设条件，可得，设……1分
（1），则，，所以…3分
其中………4分；
故（定值）6分
（2）由（），得点为线段的内分点（不含两个端点）
可设（）…………7分
根据（1）可得……8分
所以（）……9分
（1）若，则当时，，
即，解得或，只有，此时……11分
（2）若，则当时，
即，解得或，只有，此时 ……13分
综上所述或。……14分
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
【解】（1）根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，两两联结，后得到的四面体为正四面体……2分
延长交平面于,则平面，连接，
则是在平面上的射影，所以即为与平
面所成角。……3分
设，则在中，,
即，所以，故…4分
（其中），所以……5分
故与平面所成角的大小为……6分
（2） ……8分 根据（1）可得，所以cm……11分
m…13分.答：复制100枚这种“钉”，共需材料米…14分
20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
【解】（1）由已知条件，可得，；…………4分
（2），……5分即…6分 必有，
所以（常数）……7分 所以是以为首项，公比为的等比数列。…8分
，10分
（3）根据（2），可得，即（）……11分
……12分
假设存在这样的正整数，使得对于任意的（且）都成立。
，，由，得，故……14分，所以时，是递增数列，于是当时，的最小值为，
所以……15分，又因为为正整数，所以。……16分
21（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
【解】（1）由，得，代入，得，……2分
即，又因为，所以，即 ……3分
故原不等式的解集为 ……4分
（2），，
代入，得……6分
，所以……7分
由，得，所以，设，则，
由于函数在区间上是增函数，所以……9分
所以，故……10分
（3），
即…………10分
由，得…………11分
令，则，所以任意的，均有（*）
只有，所以……13分
此时（*）变为对于任意的均成立
记（），则函数需满足：……15分
由，得……①……16分
再由,得……②……17分
由①②得，故…………18分
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