离散数学答案-屈婉玲版-第二版-高等教育出版社课后答案.doc

离散数学答案 屈婉玲版
第二版 高等教育出版社课后答案
第一章部分课后习题参考答案

16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r) 0∨(0∧1) 0
（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) （0↔1）∧(1∨1) 0∧10.
（3）（p∧q∧r）↔(p∧q∧﹁r) （1∧1∧1） ↔ (0∧0∧0)0
(4)（r∧s）→(p∧q) （0∧1）→(1∧0) 0→01
17．判断下面一段论述是否为真：“是无理数。并且，如果3是无理数，则也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。”
答：p: 是无理数 1
q: 3是无理数 0
r: 是无理数 1
s:　6能被2整除 1
t: 6能被4整除 0
命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
19．用真值表判断下列公式的类型：
（4）(p→q) →(q→p)
（5）(p∧r) (p∧q)
（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)
答： （4）
p q p→q q p q→p (p→q)→(q→p)
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1
1 0 0 1 0 0 1
1 1 1 0 0 1 1
所以公式类型为永真式
（5）公式类型为可满足式（方法如上例）
（6）公式类型为永真式（方法如上例）
第二章部分课后习题参考答案
3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.
(1) (p∧q→q)
(2)(p→(p∨q))∨(p→r)
(3)(p∨q)→(p∧r)
答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1
所以公式类型为永真式
(3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)
0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 0 1
0 1 0 1 0 0
0 1 1 1 0 0
1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 1 1
1 1 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1
所以公式类型为可满足式
4.用等值演算法证明下面等值式：
(2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r))
(4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q) ∧(p∧q)
证明（2）(p→q)∧(p→r)
(p∨q)∧(p∨r)
p∨(q∧r))
p→(q∧r)
（4）(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q)) ∧(q∨(p∧q)
(p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p) ∧(q∨q)
1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1
(p∨q)∧(p∧q)
5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值
(1)(p→q)→(q∨p)
(2)(p→q)∧q∧r
(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)
解：
（1）主析取范式
(p→q)→(qp)
(pq)(qp)
(pq)(qp)
(pq)(qp)(qp)(pq)(pq)
(pq)(pq)(pq)

∑(0,2,3)
主合取范式：
(p→q)→(qp)
(pq)(qp)
(pq)(qp)
(p(qp))(q(qp))
1(pq)
(pq) M1
∏(1)
(2) 主合取范式为：
(p→q)qr(pq)qr
(pq)qr0
所以该式为矛盾式.
主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)
矛盾式的主析取范式为 0
(3)主合取范式为：
(p(qr))→(pqr)
(p(qr))→(pqr)
(p(qr))(pqr)
(p(pqr))((qr))(pqr))
11
1
所以该式为永真式.
永真式的主合取范式为 1
主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)
第三章部分课后习题参考答案
14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：
(2)前提：pq,(qr),r
结论：p
(4)前提：qp,qs,st,tr
结论：pq

证明：（2）
①(qr) 前提引入
②qr ①置换
③qr ②蕴含等值式
④r 前提引入
⑤q ③④拒取式
⑥pq 前提引入
⑦￢p（3） ⑤⑥拒取式

证明（4）：
①tr 前提引入
②t ①化简律
③qs 前提引入
④st 前提引入
⑤qt ③④等价三段论
⑥（qt）(tq)  ⑤ 置换
⑦（qt） ⑥化简
⑧q ②⑥ 假言推理
⑨qp 前提引入
⑩p ⑧⑨假言推理
(11)pq ⑧⑩合取
15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：
(1) 前提：p(qr),sp,q
结论：sr

证明
①s 附加前提引入
②sp 前提引入
③p ①②假言推理
④p(qr) 前提引入
⑤qr ③④假言推理
⑥q 前提引入
⑦r ⑤⑥假言推理
16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：
(1)前提：pq,rq,rs
结论：p
证明：
①p 结论的否定引入
②p﹁q 前提引入
③﹁q ①②假言推理
④￢rq 前提引入
⑤￢r ④化简律
⑥r￢s 前提引入
⑦r ⑥化简律
⑧r﹁r ⑤⑦ 合取
由于最后一步r﹁r 是矛盾式,所以推理正确.
第四章部分课后习题参考答案
3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:
(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).
(2) 存在x,使得x+5=9.
其中(a)个体域为自然数集合.
(b)个体域为实数集合.
解：
F(x): 2=(x+)(x).
G(x): x+5=9.
(1)在两个个体域中都解释为，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
(2)在两个个体域中都解释为，在（a）(b)中均为真命题。
4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:
(1) 没有不能表示成分数的有理数.
(2) 在北京卖菜的人不全是外地人.
解:
(1)F(x): x能表示成分数
H(x): x是有理数
命题符号化为:
(2)F(x): x是北京卖菜的人
H(x): x是外地人
命题符号化为:
5. 在一阶逻辑将下列命题符号化:
(1) 火车都比轮船快.
(3) 不存在比所有火车都快的汽车.
解:
(1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快
命题符号化为:
(2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快
命题符号化为:
9.给定解释I如下:
(a) 个体域D为实数集合R.
(b) D中特定元素=0.
(c) 特定函数(x,y)=xy,x,y.
(d) 特定谓词(x,y):x=y,(x,y):x<y,x,y.
说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值:
(1)
(2)
答:(1) 对于任意两个实数x,y,如果x<y, 那么xy. 真值1.
(2) 对于任意两个实数x,y,如果x-y=0, 那么x<y. 真值0.
10. 给定解释I如下：
（a） 个体域D=N(N为自然数集合).
（b） D中特定元素=2.
（c） D上函数=x+y,(x,y)=xy.
（d） D上谓词(x,y):x=y.
说明下列各式在I下的含义，并讨论其真值.
(1) xF(g(x,a),x)
(2) xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)
答:(1) 对于任意自然数x, 都有2x=x, 真值0.
(2) 对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y, 那么y+2=x. 真值0.
11. 判断下列各式的类型:
(1)
(3) yF(x,y).
解:(1)因为 为永真式；
所以 为永真式；
(3)取解释I个体域为全体实数
F(x,y)：x+y=5
所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5，前件真；
后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5，后件假，]
此时为假命题
再取解释I个体域为自然数N，
F(x,y)：:x+y=5
所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5，前件假。此时为假命题。
此公式为非永真式的可满足式。
13. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。
(1) (F(x)
(2) x(F(x)G(x)H(x))
解:(1)个体域:本班同学
F(x)：x会吃饭, G(x)：x会睡觉.成真解释
F(x)：x是泰安人,G(x)：x是济南人.（2）成假解释
(2)个体域:泰山学院的学生
F(x)：x出生在山东,G(x):x出生在北京,H(x):x出生在江苏,成假解释.
F(x)：x会吃饭,G(x)：x会睡觉,H(x)：x会呼吸. 成真解释.

第五章部分课后习题参考答案
5.给定解释Ｉ如下:
(a)个体域D={3,4};
(b)为
(c).
试求下列公式在Ｉ下的真值.
(1)
(3)
解:(1)

(2)

12.求下列各式的前束范式。
(1)
(5) (本题课本上有错误)
解:(1)
(5)

15.在自然数推理系统F中,构造下面推理的证明:
(1) 前提: ,
结论: xR(x)
(2) 前提: x(F(x)→(G(a)∧R(x))), xF(x)
结论:x(F(x)∧R(x))
证明(1)
① 前提引入
②F(c) ①EI
③ 前提引入
④ ①③假言推理
⑤(F(c)∨G(c))→R(c)) ④UI
⑥F(c)∨G(c) ②附加
⑦R(c) ⑤⑥假言推理
⑧xR(x) ⑦EG

(2)
①xF(x) 前提引入
②F(c) ①EI
③x(F(x)→(G(a)∧R(x))) 前提引入
④F(c)→(G(a)∧R(c)) ③UI
⑤G(a)∧R(c) ②④假言推理
⑥R(c) ⑤化简
⑦F(c)∧R(c) ②⑥合取引入
⑧x(F(x)∧R(x)) ⑦EG
第六章部分课后习题参考答案
5.确定下列命题是否为真：
（1） 真
（2） 假
（3） 真
（4） 真
（5）｛a,b｝｛a,b,c,｛a,b,c｝｝ 真
（6）｛a,b｝｛a,b,c,｛a,b｝｝ 真
（7）｛a,b｝｛a,b,｛｛a,b｝｝｝ 真
（8）｛a,b｝｛a,b,｛｛a,b｝｝｝ 假
6．设a,b,c各不相同，判断下述等式中哪个等式为真:
（1）｛｛a,b｝，c,｝ =｛｛a,b｝,c｝ 假
（2）｛a ,b,a｝=｛a,b｝ 真
（3）｛｛a｝，{b}｝=｛｛a,b｝｝ 假
（4）｛，｛｝，a,b｝=｛｛,｛｝｝,a,b｝ 假
8．求下列集合的幂集：
（1）｛a,b,c｝ P(A)={ ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
（2）｛1，｛2，3｝｝ P(A)={ , {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} }
（3）｛｝ P(A)={ , ｛｝ }
（4）｛，｛｝｝ P(A)={ , {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} }
14．化简下列集合表达式：
（1）（AB）B ）-（AB）
（2）（（ABC）-（BC））A
解:
(1)（AB）B ）-（AB）=（AB）B ）～（AB）
=（AB）～（AB）)B=B=
（2）（（ABC）-（BC））A=（（ABC）～（BC））A
=（A～（BC））（（BC ）～（BC））A
=（A～（BC））A=（A～（BC））A=A
18．某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。已知6个会打网球的人都会打篮球或排球。求不会打球的人数。
解: 阿A={会打篮球的人}，B={会打排球的人}，C={会打网球的人}
|A|=14, |B|=12, |AB|=6,|AC|=5,| ABC|=2, |C|=6,CAB
如图所示。
25-(5+4+2+3)-5-1=25-14-5-1=5
不会打球的人共5人
21.设集合A＝{{1，2}，{2，3}，{1，3},{}},计算下列表达式：
（1）A
（2）A
（3）A
（4）A
解: （1）A={1，2}{2，3}{1，3}{}={1，2，3,}
（2）A={1，2}{2，3}{1，3}{}=
（3）A=123=
（4）A=
27、设A,B,C是任意集合，证明
(1)(A-B)-C=A- BC
(2)(A-B)-C=(A-C)-(B-C)
证明
(1) (A-B)-C=(A～B) ～C= A( ～B～C)= A～(BC) =A- BC
(2) (A-C)-(B-C)=(A～C) ～(B ～C)= (A～C) (～BC)
=(A～C～B) (A～CC)= (A～C～B)
= A～(BC) =A- BC 由（1）得证。

第七章部分课后习题参考答案
7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系I A,全域关系EA,小于或等于关系LA,整除关系DA.
解：IA ={<2，2>,<3,3>,<4,4>}
EA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>}
LA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}
DA={<2,4>}
13.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>}
B={<1,3>,<2,4>,<4,2>}
求AB,AB, domA, domB, dom(AB), ranA, ranB, ran(AB ), fld(A-B).
解：AB={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>}
AB={<2,4>}
domA={1,2,3}
domB={1,2,4}
dom(A∨B)={1,2,3,4}
ranA={2,3,4}
ranB={2,3,4}
ran(AB)={4}
A-B={<1,2>,<3,3>}，fld(A-B)={1,2,3}
14.设R={<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}
求RR, R-1, R{0,1,}, R[{1,2}]
解：RR={<0,2>,<0,3>,<1,3>}
R-1,={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}
R{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>}
R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3}

16．设A={a,b,c,d}，，为A上的关系，其中
=

求。
解: R1R2={<a,d>,<a,c>,<a,d>}
R2R1={<c,d>}
R12=R1R1={<a,a>,<a,b>,<a,d>}
R22=R2R2={<b,b>,<c,c>,<c,d>}
R23=R2R22={<b,c>,<c,b>,<b,d>}
36．设A={1，2，3，4}，在AA上定义二元关系R，
<u,v>,<x,y>AA ，〈u,v> R <x,y>u + y = x + v.
(1) 证明R 是AA上的等价关系.
(2)确定由R 引起的对AA的划分.
（1）证明：∵<u,v>R<x,y> u+y=x-y
∴<u,v>R<x,y>u-v=x-y
<u,v>AA
∵u-v=u-v
∴<u,v>R<u,v>
∴R是自反的
任意的<u,v>,<x,y>∈A×A
如果<u,v>R<x,y> ，那么u-v=x-y
∴x-y=u-v ∴<x,y>R<u,v>
∴R是对称的
任意的<u,v>,<x,y>,<a,b>∈A×A
若<u,v>R<x,y>,<x,y>R<a,b>
则u-v=x-y,x-y=a-b
∴u-v=a-b ∴<u,v>R<a,b>
∴R是传递的
∴R是A×A上的等价关系
(2) ∏={{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}, {<2,1>,<3,2>,<4,3>}, {<3,1>,<4,2>},
{<4,1>}, {<1,2>,<2,3>,<3,4>}, {<1,3>,<2,4>}, {<1,4>} }

41.设A={1，2，3，4}，R为AA上的二元关系, 〈a，b〉，〈c，d〉 AA ,
〈a，b〉R〈c，d〉a + b = c + d
(1) 证明R为等价关系.
(2) 求R导出的划分.
(1)证明：<a，b〉 AA
a+b=a+b
∴<a,b>R<a,b>
∴R是自反的
任意的<a,b>,<c,d>∈A×A
设<a,b>R<c,d>，则a+b=c+d
∴c+d=a+b ∴<c,d>R<a,b>
∴R是对称的
任意的<a,b>,<c,d>,<x,y>∈A×A
若<a,b>R<c,d>,<c,d>R<x,y>
则a+b=c+d,c+d=x+y
∴a+b=x+y ∴<a,b>R<x,y>
∴R是传递的
∴R是 A×A上的等价关系
(2)∏={{<1,1>}, {<1,2>,<2,1>}, {<1,3>,<2,2>,<3,1>}, {<1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>}, {<2,4>,<4,2>,<3,3>}, {<3,4>,<4,3>}, {<4,4>}}

43. 对于下列集合与整除关系画出哈斯图:
(1) {1,2,3,4,6,8,12,24}
(2) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
解:

(1) (2)
45.下图是两个偏序集<A,R>的哈斯图.分别写出集合A和偏序关系R的集合表达式.

(a) (b)
解: (a)A={a,b,c,d,e,f,g}
R={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<a,e>,<a,f>,<a,g>,<b,d>,<b,e>,<c,f>,<c,g>}

(b) A={a,b,c,d,e,f,g}
R={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<a,e>,<a,f>,<d,f>,<e,f>}

46.分别画出下列各偏序集<A,R>的哈斯图,并找出A的极大元`极小元`最大元和最小元.
(1)A={a,b,c,d,e}
R={<a,d>,<a,c>,<a,b>,<a,e>,<b,e>,<c,e>,<d,e>}IA.
(2)A={a,b,c,d,e}, R={<c,d>}IA.
解:

(1) (2)
项目 (1) (2)
极大元: e a,b,d,e
极小元: a a,b,c,e
最大元: e 无
最小元: a 无
第八章部分课后习题参考答案
1． 设f :NN,且
f (x)=
求f (0), f ({0}), f (1), f ({1}), f ({0,2,4,6,…})，f ({4,6,8}), f -1({3,5,7}).
解：f (0)=0, f ({0})={0}, f (1)=1, f ({1})={1},
f ({0,2,4,6,…})=N，f ({4,6,8})={2,3,4}, f -1 ({3,5,7})={6,10,14}.
4. 判断下列函数中哪些是满射的?哪些是单射的?哪些是双射的?
(1) f:NN, f(x)=x2+2 不是满射，不是单射
(2) f:NN,f(x)=(x)mod 3,x除以3的余数 不是满射，不是单射
(3) f:NN,f(x)= 不是满射，不是单射

(4) f:N{0,1},f(x)= 是满射，不是单射

(5) f:N-{0}R,f(x)=lgx 不是满射，是单射
(6) f:RR,f(x)=x2-2x-15 不是满射，不是单射
5. 设X={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={<a,1>,<b,2>,<c,3>,}判断以下命题的真假:
(1)f是从X到Y的二元关系,但不是从X到Y的函数; 对
(2)f是从X到Y的函数,但不是满射,也不是单射的; 错
(3)f是从X到Y的满射,但不是单射; 错
(4)f是从X到Y的双射. 错
第十章部分课后习题参考答案

4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：
（1） 整数集合Z和普通的减法运算。
封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元
（2） 非零整数集合普通的除法运算。不封闭
（3） 全体实矩阵集合（R）和矩阵加法及乘法运算，其中n2。
封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律；
加法单位元是零矩阵，无零元；
乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；
（4）全体实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n2。不封闭
（5）正实数集合和运算，其中运算定义为：

不封闭 因为
（6）关于普通的加法和乘法运算。
封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律
加法单位元是0，无零元；
乘法无单位元（），零元是0；单位元是1
（7）A = { n运算定义如下：

封闭 不满足交换律，满足结合律，
（8）S = 关于普通的加法和乘法运算。
封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律
（9）S = {0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律
（10）S = ,S关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律
5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。
见上题
7．设 * 为上的二元运算，
X * Y = min ( x，y ),即x和y之中较小的数.
(1) 求4 * 6，7 * 3。
4, 3
(2)* 在上是否适合交换律，结合律，和幂等律？
满足交换律，结合律，和幂等律
(3)求*运算的单位元，零元及中所有可逆元素的逆元。
单位元无，零元1, 所有元素无逆元
8． 为有理数集，*为S上的二元运算，<a,b>,<x,y >S有
< a，b >*<x，y> = <ax，ay + b>
（1）*运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？
不可交换：<x,y>*<a,b >= <xa，xb +y>< a，b >*<x，y>
可结合：(<a,b >*<x,y>)*<c,d>=<ax，ay + b>*<c,d>=<axc，axd +(ay+b) >
<a,b >*(<x,y>*<c,d>)=<a, b>*<xc,xd+y>=<axc，a(xd +y)+b >
(<a,b >*<x,y>)*<c,d>=<a,b >*(<x,y>*<c,d>)
不是幂等的
（2）*运算是否有单位元，零元？ 如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。
设<a,b>是单位元，<x,y >S ，<a,b >*<x,y>= <x,y>*<a,b >=<x,y>
则<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<x,y>，解的<a,b>=<1,0>，即为单位。

设<a,b>是零元，<x,y >S ，<a,b >*<x,y>= <x,y>*<a,b >=<a,b>
则<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<a,b>，无解。即无零元。
<x,y >S，设<a,b>是它的逆元<a,b >*<x,y>= <x,y>*<a,b >=<1,0>
<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<1,0>
a=1/x,b=-y/x
所以当x0时，

10．令S={a，b}，S上有四个运算：*，分别有表10.8确定。

(a) (b) (c) (d)
(1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？
(a) 交换律，结合律，幂等律都满足， 零元为a,没有单位元；
(b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元

(c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律

没有单位元, 没有零元
(d) 不满足交换律，满足结合律和幂等律
没有单位元, 没有零元
(2) 求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。
见上

16．设V=〈 N，+ ，〉，其中+ ，分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？
（1）S1= 是
（2）S2= 不是 加法不封闭
（3）S3 = {-1，0，1} 不是，加法不封闭

第十一章部分课后习题参考答案
8.设S={0，1，2，3}，为模4乘法，即
"x,y∈S, xy=(xy)mod 4
问〈S，〉是否构成群？为什么？
解：(1) x,y∈S, xy=(xy)mod 4,是S上的代数运算。
(2) x,y,z∈S,设xy=4k+r
(xy)z =((xy)mod 4)z=rz=(rz)mod 4
=(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4
同理x(yz) =(xyz)mod 4
所以，(xy)z = x(yz)，结合律成立。
(3) x∈S, (x1)=(1x)=x,，所以1是单位元。
(4) 0和2没有逆元
所以，〈S，〉不构成群

9.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算。如下：
" x,y∈Z,xoy= x+y-2
问Z关于o运算能否构成群？为什么？
解：(1) x,y∈Z, xoy= x+y-2,o是Z上的代数运算。
(2) x,y,z∈Z,
(xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4
同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立。
(3)设是单位元，x∈Z, xo= ox=x,即x+-2= +x-2=x, e=2
(4) x∈Z , 设x的逆元是y, xoy= yox=, 即x+y-2=y+x-2=2,
所以，
所以〈Z，o〉构成群

11.设G=，证明G关于矩阵乘法构成一个群．
解：(1) x,y∈G, 易知xy∈G,乘法是Z上的代数运算。
(2) 矩阵乘法满足结合律
(3)设是单位元，
(4)每个矩阵的逆元都是自己。
所以G关于矩阵乘法构成一个群．

14.设G为群，且存在a∈G,使得
G={ak∣k∈Z}
证明：G是交换群。
证明:x,y∈G，设，则

所以，G是交换群

17.设G为群，证明e为G中唯一的幂等元。
证明:设也是幂等元，则，即，由消去律知

18.设G为群，a,b,c∈G,证明
∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣
证明：先证设
设则，
即　　　
左边同乘，右边同乘得

　　反过来，设则
由元素阶的定义知，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣

19.证明：偶数阶群G必含2阶元。
证明：设群G不含2阶元，，当时，是一阶元，当时，至少是3阶元,因为群G时有限阶的，所以是有限阶的，设是k阶的,则也是k阶的，所以高于3阶的元成对出现的，G不含2阶元，G含唯一的1阶元,这与群G是偶数阶的矛盾。所以，偶数阶群G必含2阶元

20.设G为非Abel群，证明G中存在非单位元a和b,a≠b,且ab=ba.
证明：先证明G含至少含3阶元。
若G只含1阶元,则G={e},G为Abel群矛盾；
若G除了1阶元e外,其余元均为2阶元，则，
，
与G为Abel群矛盾；
所以，G含至少含一个3阶元，设为，则，且。
令的证。
21.设G是Mn(R)上的加法群，n≥2，判断下述子集是否构成子群。
（1）全体对称矩阵 是子群
（2）全体对角矩阵 是子群
（3）全体行列式大于等于0的矩阵. 不是子群
（4）全体上（下）三角矩阵。 是子群
22.设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N（a）表示G中与a可交换的元素构成的集合，即
N（a）={x∣x∈G∧xa=ax}
证明N（a）构成G的子群。
证明：ea=ae,

　　,所以
由，得，即，所以
所以N（a）构成G的子群
31.设1是群G1到G2的同态，2是G2到G3的同态，证明12是G1到G3的同态。
证明：有已知1是G1到G2的函数，2是G2到G3的函数，则1·2是G1到G3的函数。

所以:1·2是G1到G3的同态。
33.证明循环群一定是阿贝尔群，说明阿贝尔群是否一定为循环群，并证明你的结论。
证明：设G是循环群,令G=<a>,,令,那么
,G是阿贝尔群
克莱因四元群,

是交换群,但不是循环群,因为e是一阶元，a,b,c是二阶元。
36.设是5元置换，且
，
(1)计算；
(2)将表成不交的轮换之积。
(3)将（2）中的置换表示成对换之积，并说明哪些为奇置换，哪些为偶置换。
解：(1)

(2)
(3) 奇置换，
偶置换
奇置换
第十四章部分课后习题参考答案
5、设无向图G有10条边，3度与4度顶点各2个，其余顶点的度数均小于3，问G至少有多少个顶点？在最少顶点的情况下，写出度数列、。
　　解：由握手定理图G的度数之和为：
　　　　3度与4度顶点各2个，这4个顶点的度数之和为14度。
　　　　其余顶点的度数共有6度。
　　　　其余顶点的度数均小于3，欲使G的顶点最少，其余顶点的度数应都取2,
　　所以，G至少有7个顶点, 出度数列为3,3,4,4,2,2,2,.
7、设有向图D的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，求D的入度列，并求，
,.
解：D的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，D的入度列为1,1,1,2.
,,
8、设无向图中有6条边，3度与5度顶点各1个，其余顶点都是2度点，问该图有多少个顶点？
解：由握手定理图G的度数之和为：
　　设2度点个，则，，该图有4个顶点.
14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的？对可图化的数列，试给出3种非同构的无向图，其中至少有两个时简单图。
(1) 2,2,3,3,4,4,5 (2) 2,2,2,2,3,3,4,4
解：(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇数，不可图化；
(2) 2＋2