2019届杨浦区高三二模数学Word版(附解析).doc

上海市杨浦区2019届高三二模数学试卷
2019.4

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 函数的最小正周期是
2. 方程组的增广矩阵为
3. 若幂函数的图像过点，则
4. 若的二项展开式中项的系数是54，则
5. 若复数满足（i为虚数单位，），则
6. 函数（且）的反函数为，则
7. 函数的值域是
8. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如，在不超
过13的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是 （用分数表示）
9. 若定义域为的函数是奇函数，则实数的值为

10. 古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面
上给定两点，，动点满足（其中和是正常数，且），
则的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为
11. 若△的内角、、，其中为△的重心，且，则的
最小值为
12. 定义域为集合上的函数满足：①；②（）；③、、成等比数列；
这样的不同函数的个数为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 若、满足，则目标函数的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
14. 已知命题：“双曲线的方程为（）”和命题：“双曲线的两条渐
近线夹角为”，则是的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
15. 对于正三角形，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的过程称为一次“镂空操作“，设是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作，设是第次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），是前次挖去的所有三角形的面积之和，则（ ）

A. B. C. D.
16. 已知△的内角、、的对边分别为、、，且，为△内
部的一点，且，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 已知函数.
（1）求的定义域；
（2）求函数在区间内的零点.

18. 上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔（单位：分字）满足：，，经测算，地铁载客量与发车时间间隔满足，其中.
（1）请你说明的实际意义；
（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多
少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益.

19. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，堑堵指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.
（1）某堑堵的三视图，如图1，网格中的每个小正方形的边长为1，求该堑堵的体积；
（2）在堑堵中，如图2，，若，当阳马的体积最大时，求二面角的大小.

20. 已知椭圆的左右两焦点分别为、.
（1）若矩形的边在轴上，点、均在上，求该矩形绕轴旋转一周所得圆柱侧面积的取值范围；
（2）设斜率为的直线与交于、两点，线段的中点为（），
求证：；
（3）过上一动点作直线，其中，过作直线的垂线交轴于点，问是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

21. 已知数列满足：，，其中，.
（1）若、、成等差数列，求的值；
（2）若，求数列的通项；
（3）若对任意正整数，都有，求的最大值.

参考答案

一. 填空题
1. 2. 3. 4. 4
5. 5 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.

二. 选择题
13. C 14. A 15. A 16. D

三. 解答题
17.（1）；（2）.
18.（1）发车间隔为5，载客量为950；（2），.
19.（1）2；（2），（或）.
20.（1）；（2）略；（3）1.
21.（1）；（2）；（3）2.