初二数学主要模型训练.doc

初二数学主要模型训练
1（半角模型）.已知：如图,在正方形ABCD中,AD=AB,∠D=∠ABC=∠BAD=90∘,E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF=45∘，连接EF，求证：1）EF=BF+DE.
2）∠BFA=∠AFE

2.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：　 　；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）

3.(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90∘,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD.求证：EF=BE+FD.
(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180∘,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明。

4. (1)问题背景：
如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120∘,∠B=∠ADC=90∘，E. F分别是BC，CD上的点且∠EAF=
60∘，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系。
小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是___；

(2)探索延伸：如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180∘.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)实际应用：如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30∘的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70∘的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进,同时舰艇乙沿北偏东50∘的方向以60海里/小时的速度前进,2小时后,指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E. F处,且两舰艇之间的夹角为70∘，试求此时两舰艇之间的距离。

5（一线三等角）. 在△ABC中,∠ACB=90∘，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD−BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明。

6. CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE=CF；EF |BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，且∠α+∠BCA=180°，请说明①中的两个结论仍然成立；

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

7.如图所示,在△ABC中,∠A=70°，∠B=∠C，BD=CF，BE=CD，则∠EDF的度数是______.

8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数；
（3）若∠A=∠DEF，判断△DEF是否为等腰直角三角形．

9（手拉手模型）．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，AD和BE相交于点F.
(1)在图①中，点B、C、D三点在同一直线上，则AD和BE的大小关系是________，它们所成的锐角
∠AFB=________；
(2)当△CDE绕点C沿逆时针方向旋转到图②时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由.

10. 【问题情境】如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由。
【变式思考】如图2,四边形ABCD中,AB=5,BC=2,∠ABC=∠ACD=∠ADC=45∘，求BD的长。
【深入探究】如图3,在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧是，求BD的长。

11（中线倍长）．在△ABC中，AB=5，AC=7，AD是BC边上的中线．求中线AD的取值范围．

12.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.
(1)求证：BG=CF；
(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由。