1、初二数学经典题型练习1已知:如图,P是正方形ABCD内点,PADPDA150求证:PBC是正三角形 证明如下。APCDB首先,PA=PD,PAD=PDA=(180-150)2=15,PAB=90-15=75。在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ, 连接PQ, 则PDQ=60+15=75,同样PAQ=75,又AQ=DQ,,PA=PD,所以PAQPDQ, 那么PQA=PQD=602=30,在PQA中,APQ=180-30-75=75=PAQ=PAB,于是PQ=AQ=AB,显然PAQPAB,得PBA=PQA=30,PB=PQ=AB=BC,PBC=90-30=60,所以PBC是正三角形。A
2、NFECDMB2.已知:如图,在四边形ABCD中,ADBC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F求证:DENF证明:连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM.又点N为CD的中点,则GN=AD/2;GNAD,GNM=DEM;(1)同理:GM=BC/2;GMBC,GMN=CFN;(2)又AD=BC,则:GN=GM,GNM=GMN.故:DEM=CFN.3、如图,分别以ABC的AC和BC为一边,在ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点求证:点P到边AB的距离等于AB的一半证明:分别过E、C、F作直线AB的垂线,垂足分别为M、O、N,在梯形MEFN中,
3、WE平行NF因为P为EF中点,PQ平行于两底PCGFBQADE所以PQ为梯形MEFN中位线,所以PQ(MENF)/2又因为,角0CB角OBC90角NBF角CBO所以角OCB=角NBF而角C0B角Rt角BNFCB=BF所以OCB全等于NBFMEA全等于OAC(同理)所以EMAO,0BNF所以PQ=AB/2.4、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且PBAPDA求证:PABPCB过点P作DA的平行线,过点A作DP的平行线,两者相交于点E;连接BE 因为DP/AE,AD/PE PADCB所以,四边形AEPD为平行四边形 所以,PDA=AEP 已知,PDA=PBA 所以,PBA=AEP 所以,A、E、
4、B、P四点共圆 所以,PAB=PEB 因为四边形AEPD为平行四边形,所以:PE/AD,且PE=AD 而,四边形ABCD为平行四边形,所以:AD/BC,且AD=BC 所以,PE/BC,且PE=BC 即,四边形EBCP也是平行四边形 所以,PEB=PCB 所以,PAB=PCB5.P为正方形ABCD内的一点,并且PAa,PB2a,PC=3a正方形的边长解:将BAP绕B点旋转90使BA与BC重合,P点旋转后到Q点,连接PQ因为BAPBCQ所以APCQ,BPBQ,ABPCBQ,BPABQCACBPD因为四边形DCBA是正方形所以CBA90,所以ABPCBP90,所以CBQCBP90即PBQ90,所以B
5、PQ是等腰直角三角形所以PQ2*BP,BQP45因为PA=a,PB=2a,PC=3a所以PQ22a,CQa,所以CP29a2,PQ2CQ28a2a29a2所以CP2PQ2CQ2,所以CPQ是直角三角形且CQA90所以BQC9045135,所以BPABQC135作BMPQ则BPM是等腰直角三角形所以PMBMPB/22a/22a所以根据勾股定理得:AB2AM2BM2(2aa)2(2a)2522a2所以AB(522)a6.一个圆柱形容器的容积为V立方米,开始用一根小水管向容器内注水,水面高度达到容器高度一半后,改用一根口径为小水管倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水
6、的速度。解:设小水管进水速度为x,则大水管进水速度为4x。由题意得:解之得:经检验得:是原方程解。小口径水管速度为,大口径水管速度为。7如图11,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(2,),且P(,2)为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于x轴,QB垂直于y轴,垂足分别是A、B (1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;(2)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上是否存在这样的点Q,使得OBQ与OAP面积相等?如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由; (3)如图12,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ,求平行四边形OPCQ周
7、长的最小值图12图11解:(1)设正比例函数解析式为,将点M(,)坐标代入得,所以正比例函数解析式为 同样可得,反比例函数解析式为 (2)当点Q在直线DO上运动时,设点Q的坐标为, 于是,而,所以有,解得 所以点Q的坐标为和 (3)因为四边形OPCQ是平行四边形,所以OPCQ,OQPC,而点P(,)是定点,所以OP的长也是定长,所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值因为点Q在第一象限中双曲线上,所以可设点Q的坐标为,由勾股定理可得,所以当即时,有最小值4,又因为OQ为正值,所以OQ与同时取得最小值,所以OQ有最小值2 由勾股定理得OP,所以平行四边形OPCQ周长的最小值是8
8、.如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,且PE=PB.(1)求证: PE=PD ; PEPD;(2)设AP=x, PBE的面积为y. 求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围; 当x取何值时,y取得最大值,并求出这个最大值. 解:(1)证法一: 四边形ABCD是正方形,AC为对角线, BC=DC, BCP=DCP=45. PC=PC,ABCDPE12H PBCPDC (SAS). PB= PD, PBC=PDC. 又 PB= PE , PE=PD. (i)当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时, PB=PE, PBE=PEB, PEB
9、=PDC, PEB+PEC=PDC+PEC=180, DPE=360-(BCD+PDC+PEC)=90, PEPD. )(ii)当点E与点C重合时,点P恰好在AC中点处,此时,PEPD.(iii)当点E在BC的延长线上时,如图. PEC=PDC,1=2, DPE=DCE=90, PEPD.综合(i)(ii)(iii), PEPD. ABCPDEF(2) 过点P作PFBC,垂足为F,则BF=FE. AP=x,AC=, PC=- x,PF=FC=. BF=FE=1-FC=1-()=. SPBE=BFPF=(). 即 (0x). . 0, 当时,y最大值. (1)证法二: 过点P作GFAB,分别交A
10、D、BC于G、F. 如图所示. 四边形ABCD是正方形,ABCPDEFG123 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形,AGP和PFC都是等腰直角三角形. GD=FC=FP,GP=AG=BF,PGD=PFE=90. 又 PB=PE, BF=FE, GP=FE, EFPPGD (SAS). PE=PD. 1=2. 1+3=2+3=90. DPE=90. PEPD. (2) AP=x, BF=PG=,PF=1-. SPBE=BFPF=(). 即 (0x). . 0, 当时,y最大值. 9、如图,直线y=k1x+b与反比例函数 y=k2x的图象交于A(1,6),B(a,3)两点(1)求k1、k2的值(2)直接写出 k1x+b-k2x0时x的取值范围;(3)如图,等腰梯形OBCD中,BCOD,OB=CD,OD边在x轴上,过点C作CEOD于点E,CE和反比例函数的图象交于点P,当梯形OBCD的面积为12时,请判断PC和PE的大小关系,并说明理由10、如图12,已知直线与双曲线交于两点,且点的横坐标为(1)求的值;(2)若双曲线上一点的纵坐标为8,求的面积;(3)过原点的另一条直线交双曲线于两点(点在第一象限),若由点为顶点组成的四边形面积为,求点的坐标图12