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第二章 §2
一、选择题
1．袋中有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中任取2个，那么下列事件中发生的概率为的是( )
A．都不是白球 B．恰有1个白球
C．至少有1个白球 D．至多有1个白球
[答案] D
[解析] P(都不是白球)＝＝，P(恰有1个白球)＝＝，P(至少有1个白球)＝＝，
P(至多有1个白球)＝＝故选D.
2．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是( )
A. B.
C. D．以上均不对
[答案] D
[解析] 至少有一个是一等品的概率是
.
3．某电视台有一次对收看新闻节目观众的抽样调查中， 随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2人，则恰有1名观众的年龄在20至40岁的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由于是分层抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有×5＝2人．设随机变量X表示20至40岁的人数，则X服从参数为N＝5，M＝2，n＝2的超几何分布，故P(X＝1)＝＝.
二、填空题
4．在3名女生和2名男生中任选2人参加一项交流活动，其中至少有1名男生的概率为________．
[答案] 0.7
[解析] 5名学生中抽取2人的方法有C种，至少有1名男生参加的可能结果有CC＋C种，所以概率为＝0.7.
5．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，至少有3张A的概率是________．
[答案] 0.001 8
[解析] 因为一副扑克牌中有4张A，所以根据题意，抽到扑克牌A的张数X为离散型随机变量，且X服从参数为N＝52，M＝5，n＝4的超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3,4，根据超几何分布的公式得至少有3张A的概率为
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)
＝＋
＝＋≈0.001 8.
故至少有3张A的概率约为0.001 8.
三、解答题
6．盒中有16个白球和4个黑球，从中任意取出3个，设ξ表示其中黑球的个数，求出ξ的分布列．
[分析] 显然这是一个超几何分布的例子．
N＝20，M＝4，n＝3.利用P(ξ＝m)＝求出概率值，则分布列可得．
[解析] ξ可能取的值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
[点评] 超几何分布是离散型随机变量的分布列中较常见的一种模型，要理解P(ξ＝m)＝的意义，然后求出的相应的概率，列出分布列即可.
一、选择题
1．10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，则恰抽取1名女生的概率是，则a＝( )
A．1 B．2或8
C．2 D．8
[答案] B
[解析] 设X表示抽取的女生人数，则X服从超几何分布，P(X＝1)＝＝＝，解得a＝2或a＝8.
2．一个盒子里装有除颜色外完全相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列算式中等于的是( )
A．P(0<X≤2) B．P(X≤1)
C．P(X＝1) D．P(X＝2)
[答案] B
[解析] 由CC＋C可知，是从22个元素中取1个与从4个元素中取1个的可能取法种数之积，加上从22个元素中取2个元素的可能取法种数，即4个白球中至多取1个，故选B.
3．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球．今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于的是( )
A．P(X＝0) B．P(X≤2)
C．P(X＝1) D．P(X＝2)
[答案] C
[解析] 当X＝1时，有甲袋内取出的是白球，乙袋内取出的是红球或甲袋内取出的是红球，乙袋内取出的是白球个数是X＝1时，有P(X＝1)＝.
4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于( )
A. B.
C. D．1
[答案] C
[解析] 由题意，知X取0,1,2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
5．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么等于( )
A．恰有1个是坏的概率
B．恰有2个是好的概率
C．4个全是好的概率
D．至多有2个是坏的概率
[答案] B
[解析] A中“恰有1个是坏的概率”为P1＝＝＝；B中“恰有2个是好的概率”为P2＝＝；C中“4个全是好的概率”为P3＝＝；D中“至多有2个是坏的概率”为P4＝P1＋P2＋P3＝，故选B.
二、填空题
6．某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．
[答案]
[解析] 将50名学生看做一批产品，其中选修A课程为不合格品，选修B课程为合格品，随机抽取两名学生，X表示选修A课程的学生数，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝15，n＝2.依题意所求概率为P(X＝1)＝＝.
7．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽两件，则其中出现次品的概率为________．
[答案]
[解析] 设抽到次品的件数为X，则X服从参数为N＝50，M＝5，n＝2的超几何分布，于是出现次品的概率为
P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝＋＝＋＝.
即出现次品的概率为.
三、解答题
8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．
(1)求X的分布列；
(2)求“所选3人中女生人数不大于1”的概率．
[分析] 这个问题与取产品的问题类似，从中发现两个问题在本质上的一致性，从而可用超几何分布来解决此问题．
[解析] (1)X的可能取值为0,1,2，P(X＝k)＝，k＝0,1,2.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
(2)P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
[点评] 本题考查超几何分布及分布列等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力．解此类题首先要分析题意，确定所给问题是否是超几何分布问题，若是，则写出参数N，M，n的取值，然后利用超几何分布的概率公式求出相应的概率，写出其分布列．
9．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．
求：(1)甲答对试题数X的分布列；
(2)乙所得分数Y的分布列．
[解析] (1)X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以甲答对试题数X的分布列为
X＝k
0
1
2
3
P(X＝k)
(2)乙答对试题数可能为1,2,3，所以乙所得分数Y＝5,10,15.
P(Y＝5)＝＝，
P(X＝10)＝＝，
P(Y＝15)＝＝.
所以乙所得分数Y的分布列为
Y
5
10
15
P
[点评] 此题两问都属于典型的超几何分布，关键是根据计数原理，完成随机变量各取值的概率计算．在分析第(2)问随机变量的可能取值时，极容易忽视已知条件“乙能答对8道题”，而错误地认为“Y＝0,5,10,15”，可见分析随机变量的可能取值一定要正确．同时应注意，在求解分布列时可运用分布列的性质来检验答案是否正确．
10．(2014·天津理，16)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
[解析] (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则
P(A)＝＝.
所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.
(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)
所以，随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
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