高数数学极限总结.doc

函数极限总结
一．极限的产生
极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。
极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N定义）。
从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1]
二．极限知识点总结
1. 极限定义
函数极限：设函数f(x)在点的x0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x满足不等式时，对应的函数值 都满足不等式：
那么常数A就叫做函数f(x) 当x→x0时的极限，记作。[2]
单侧极限：.左极限：或
‚.右极限：或
定理：

函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相等 即。
2. 极限概念
函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x0以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式时，对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。
函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2]
3. 存在准则
有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。
准则Ⅰ.如果数列，及满足以下条件：
（1） 从某项起，即，当时，有；
（2） ；，
那么数列的极限存在，且
准则Ⅰ＇如果（1）当（或）时，
（2），，
那么存在，且等于。
夹逼定理：（1）当时，有  成立
（2） ,那么，极限存在，且等于A
【准则Ⅰ，准则Ⅰ´合称夹逼定理】
准则Ⅱ： 单调有界数列必有极限
准则Ⅱ＇ ：设函数在点的某个左(右)邻域内单调并且有界，则在的左(右)极限必定存在[3]
单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。
柯西准则：数列收敛的充分必要条件是任给,存在,使得当,时，有成立。[2]
极限运算相关法则、定理及推论
（1） .设α、β为同一极限过程下的无穷小
（无穷小）
（2） .穷小之积为无穷小
（无穷小）
推论：.常数与无穷小之积为无穷小
‚.有限个无穷小之积为无穷小
（3） .有界函数与无穷小之积为无穷小

（4） .函数极限运算法则
定理：设，则

‚
ƒ若，则
推论1.如果存在，而c为常数那么
推论2. 则
定理（复合函数求极限法则）
设函数是由函数与函数复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，且存在，当时，有，则。
两个重要极限：.
‚.即若，
则
常用等价无穷小：当时，
，，，

计算极限方法总结
（1） 直接带入求极限
例1.
【解】
（2）约零因子求极限
例2.求极限
【说明】x→1表明x与1无限接近，但。所以x-1这一零因子可以约去。
【解】
（3）分子分母同除求极限（公式法）
例3.求极限
【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限，可通过分子分母同除来求。
【解】
【注】（1）一般分子分母同除x的最高次方
（2）
(4)分子(分母)有理化求极限
例4.求极限
【说明】分子分母有理化求极限，是通过有理化去除无理式
【解】
例5.求极限
【解】
【注】本题除使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。

(5)应用两个重要极限求极限
【说明】两个重要极限是和
例6.求极限
【说明】用第二个重要极限时主要搞清楚步骤：先凑出1，在凑，最后凑指数部分。
【解】

(6)用等价无穷小两代换求极限
【说明】(1）常见的等价无穷小有:
当x→0时，x=sinx=tanx=arcsinx=arctanx=ln(1+x）=ex-1，
1-cosx=,，，
。
（2）等价无穷小量代换，只能代换极限式中的因式；
（3）此方法在各种求极限的方法中应作为首选。
例7.求极限
【解】
例8.求极限
【解】
(7)用洛必达法则求极限
例9.求极限
【说明】和型的极限，可通过洛必达法则来求。
【解】

【注】有许多变动上限的积分表示的极限，常用洛必达法则求解。
例10.设函数连续，且，求极限
【解】由于，于是

(8)用对数恒等式求极限
例11.求极限
【解】
【注】对于形势的未定式，也可用公式
因为
例12.求极限
【解1】原式=

【解2】原式=[4]
四．参考文献
[1]极限理论 https://baike.baidu./item/%E6%9E%81%E9%99%90%E7%90%86%E8%AE%BA/5081808?fr=aladdin 2017.11.24
[2]函数极限 https://baike.baidu./item/函数极限/727083?fr=aladdin 2017.11.24
[3]同济大数学系 《高等数学 第七版 上册》北京 高等教育出版社 1987年
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