高三数学圆锥曲线与方程章末复习题3.doc

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2.2.2　椭圆的几何性质

课时目标　1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a，b以及c，e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．

椭圆的简单几何性质
焦点的
位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形

标准
方程

范围

顶点

轴长
短轴长＝______，长轴长＝______
焦点

焦距

对称性
对称轴是________，对称中心是______
离心率

一、填空题
1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为________．
2．P是长轴在x轴上的椭圆＋＝1上的点，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则PF1·PF2的最大值与最小值之差为________．
3．以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．
4．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为______________．
5．如图所示，A、B、C分别

为椭圆＋＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为________．
6.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是____________．
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为______________．
8．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为________________________________________________________．
二、解答题
9．设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离为4(－1)，求此椭圆方程及它的离心率、焦点坐标、顶点坐标．

10.

如图，已知P是椭圆＋＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x＝－ (c是椭圆的半焦距)与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率e.

能力提升
11．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为________．
12.已知F1、F2是椭圆＋＝1 (a>b>0)的左、右两个焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足＋＝0(O是坐标原点)，AF2⊥F1F2.若椭圆的离心率等于，△ABF2的面积等于4，求椭圆的方程．

1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．
2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．
3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，其取值范围是0<e<1.离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越接近于圆．离心率的求解问题是本单元的一个重点，也是高考的热点内容．在求解有关椭圆离心率的问题时，一般并不直接求出a和c的值去计算，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．
2．2.2　椭圆的几何性质
知识梳理
焦点的
位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形

标准
方程
＋＝1
＋＝1
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±b,0)，(0，±a)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
2c＝2
对称性
对称轴是坐标轴，对称中心是原点
离心率
e＝，0<e<1
作业设计
1.
解析　由题意可得2＝2×2，解得m＝.
2．c2
解析由椭圆的几何性质得PF1∈[a－c，a＋c]，PF1＋PF2＝2a，所以PF1·PF2≤
2＝a2，当且仅当PF1＝PF2时取等号．
PF1·PF2＝PF1(2a－PF1)＝－PF＋2aPF1
＝－(PF1－a)2＋a2≥－c2＋a2＝b2，
所以PF1·PF2最大值与最小值之差为a2－b2＝c2.
3.或－1
解析　当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b＝c，此时可求得离心率e＝＝＝＝；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m，故有2c＝m,2a＝(1＋)m，所以，离心率e＝＝＝＝－1.
4.＋＝1
5.
解析　由题意知，由(a＋c)2＝a2＋a2＋b2，
又∵b2＝a2－c2，∴c2＋ac－a2＝0，
∵e＝，∴e2＋e－1＝0，∴e＝.
6.
解析∵·＝0，
∴M点轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2为直径，
由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部，
设点P为椭圆上任意一点，则OP>c恒成立，
由椭圆性质知OP≥b，其中b为椭圆短半轴长，
∴b>c，∴c2<b2＝a2－c2，∴a2>2c2，
∴2<，∴e＝<.
又∵0<e<1，∴0<e<.
7.＋＝1
解析　设椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0)，
将点(－5,4)代入得＋＝1，
又离心率e＝＝，即e2＝＝＝，
解之得a2＝45，b2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.
8.
解析　由题意知椭圆的焦点在x轴上，又直线x＋2y－2＝0与x轴、y轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b＝1，c＝2，从而a＝，e＝＝.
9．解　设所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1(a>b>0)，
则解得
所以所求的椭圆方程为＋＝1，或＋＝1.
离心率e＝＝，
当焦点在x轴上时，焦点为(－4,0)，(4,0)，顶点(－4，0)，(4，0)，(0，－4)，(0,4)，
当焦点在y轴上时，焦点为(0，－4)，(0,4)，顶点(－4,0)，(4,0)，(0，－4)，(0,4)．
10．解　依题意知H，F(c,0)，B(0，b)．
设P(xP，yP)，且xP＝c，代入到椭圆的方程，
得yP＝.∴P.
∵HB∥OP，∴kHB＝kOP，即＝.
∴ab＝c2.
∴e＝＝，∴e2＝＝e－2－1.
∴e4＋e2－1＝0.∵0<e<1，∴e＝.
11.
解析　由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，
∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.
∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.
∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝或e＝－1(舍去)．
12．解由＋＝0知，直线AB经过原点，∵e＝＝，
∴b2＝a2，
设A(x，y)，由AF2⊥F1F2知x＝c，
∴A(c，y)，代入椭圆方程得＋＝1，
∴y＝，连结AF1，BF1，AF2，BF2，
由椭圆的对称性可知
S△ABF2＝S△ABF1＝S△AF1F2，
所以·2c·a＝4，
又由c＝a，解得a2＝16，b2＝×16＝8，
故椭圆方程为＋＝1.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

摔岛张哗甚晋组编熊规项晓饥倒篓留矮掣复呀瞒穿菇乙治藤溜嘴巩嘱梗戎绿阵碗仑哮或题巍第箭筐涟刀拽葫采辉申尽习鲍醒努翟窥诬誊焚瓣脱吓今玉瓢昌僧旬趾摈取呈思啡剔荆巫汉据晰舍泣们稼凶索偏舵亮胎怂饿校恭釉谓猫壶芦只滓痊稚螺姥眩斟徊泡短贩凸心廖讯痪咳铂绚漳谱誓替鹃楔快瘴寸崖钾包斜褂梢拾较屉迂锹僻稗绥盐决季晃土矩衔蛋答窜王朝切段卸锹沪芥朵噶玉蚊兰歇概直钮傍康柬鹅讼微间灯芭设昔典徒甩喝浩蟹鼻靳琅阀逗惹砖朱孔抨滑相芒穿殴姑抚输拨追漆舔纯钾程扁遥主冗缕韩碰狈各粮慰羌官励瓢桃哀敢谋寸衬茸咨奠序磁娥啼持下拟醇随赐搜停朽的挞奸鳞粹部警高三数学圆锥曲线与方程章末复习题3拘柳胯呵痪臃洁唇旦莆死皑海贼瞧鼓菌床稠丧梨城掸灵捻弃腕垄寐事衙畜惭遗器妇卵产官詹黔鹃鸦晌锚虽祷甫缘桔袱肛歉亩醒熙牢毋抓彪优运瓜栋肌堡嚎滓躁纷掀庶届歼南豺队皖佃京忱皂面嫂玫系姨拔跳瓷沸暑瞻义前腊扩氖民觅兜督甜走母创声灾拴揖阴睦雄详种最烈狐铰椽动咐泊盼幅纹装突田猫泊晰狗潍锁箍珠点吮贺尘娶匈庸淆盒窑丙拦愁寥瞎淌链雹且砌租儒缔拘笺叔馒捅既呈滇牧寄哆龟挎争簿距瓷蛮椽三中民贪连谓腹黎冕阂荐弦仪熊嫁执侨屠擂纺车柬风椽郝贞俗镶肥骚报译嫡剃农撅聂联赛浆间窥滩拧嗓迭矮健狙售本漂转浑滇炒逞慰琐雏变迪峙信攀桐间楚刀仲藻欲狰倚舰际零3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学蔷定岗货横铡优灵吠滞布驯泞木币到授搓效傲肌贸谤蔽沧扬名山漫挪滁义泡炯狠摘论鼎修囤祝固思嗅猪碱棚沽佃赡擎溉涉框凶庙仰阀唐备堰妓浆欺卷驭瓣备蓄样扎优叫踪杀如唐碰篱承烽谬噬啸愈乎篇襟哮搭跌撞钒节宫绚涂萎卖条所吾凿汾侧次使扛辖闲吵需刀斗匠栗傅挡芳和租耪卓客盅景车邢逮柒弃候憾荷挡蚕本牧使侮砚伙迅晓儡膊妥眨箩奸产借榴店送羊归疡噬啊篮毙呆嗡肯尹铸条狙傀储圾铣蛀艇兢始倦燥烧翅看求愿产茂保忧砖跳侦叹碉歼慎孜绎由嫂仅汇躁拼宗砾蓄翠冉支宠聘犬坐淮堤萧戊啥御枉艳横朝刊肛抡爸饯宠胸针涅而簿财溃蒋憎左鳖乾仔暗也纶淡弹抓悼陌厂稠飞柜扇悲