2017年高考全国二卷文科数学试卷.doc

2017.6
2017年普通高等学校招生全国统一考试（II卷）
文科数学
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1. 设集合A = {1，2，3}，B = {2，3，4}，则A∪B =
A. {1，2，3，4} B. {1，2，3} C. {2，3，4} D. {1，3，4}
2. (1 + i)(2 + i) =
A. 1 - i B. 1 + 3i C. 3 + i D. 3 + 3i
3. 函数的最小正周期为
A. B. C. D.
4. 设非零向量a、b满足| a + b | = | a - b |，则
A. a⊥b B. | a | = | b | C. a // b D. | a | > | b |
5. 若a > 1，则双曲线的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体
由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A. B.
C. D.
7. 设x、y满足约束条件则z = 2x + y的最小值是
A. -15 B. -9 C. 1 D. 9
8. 函数f (x) = ln(x2 - 2x - 8)的单调递增区间是
A. (-∞,-2) B. (-∞,1) C. (1,+∞) D. (4,+∞)
9. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中
有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲
的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则
A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩
C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩
10. 执行右面的程序框图，如果输入的a = -1，则输出的S =
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
11. 从分别写有1、2、3、4、5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取一张，则
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
A. B.
C. D.
12. 过抛物线C：y2 = 4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴的上方），l为C的准线，点N在l 上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为
A. B. C. D.
二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 函数f (x) = 2cos x + sin x的最大值为________。
14. 已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当时，f (x) = 2x3 + x2，则f (2) =_________。
15. 长方体的长、宽、高分别为3、2、1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________。
16. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2b cosB = a cosC + c cosA，则B =_________。
三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. （12分）
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1 = -1，b1 = 1，a2 + b2 = 2。
（1） 若a3 + b3 = 5，求{bn}的通项公式；
（2） 若T3 = 21，求S3.

D
C
B
A
P
18. （12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，
AB = BC =AD，∠BAD = ∠ABC = 90°。
（1） 证明：直线BC // 平面PAD；
（2） 若△PCD的面积为，求四棱锥P-ABCD的体积。

19. （12分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：

（1） 记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量< 50kg
箱产量≥ 50kg
旧养殖法

新养殖法

（3） 根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较。
附：

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
。

20. （12分）
设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。
（1） 求点P的轨迹方程；
（2） 设点Q在直线，证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

21. （12分）
设函数。
（1） 讨论f (x)的单调性；
（2） 当x ≥ 0时，，求a的取值范围。

（二） 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。
22. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为。
（1） M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足| OM |·| OP | = 16，求点P的轨迹C2的直角坐标方 程；
（2） 设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值。

23. [选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a > 0，b > 0，a3 + b3 = 2。证明：
（1） (a + b)(a5 +b5) ≥ 4；
（2） a + b ≤ 2。

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