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必修一数学练习题及解析
第一章练习
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．集合{1,2,3}的所有真子集的个数为(　　)
A．3 B．6
C．7 D．8
解析：含一个元素的有{1}，{2}，{3}，共3个；含两个元素的有{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3个；空集是任何非空集合的真子集，故有7个．
答案：C
2．下列五个写法，其中错误写法的个数为(　　)
①{0}∈{0,2,3}；②Ø{0}；③{0,1,2}⊆{1,2,0}；④0∈Ø；⑤0∩Ø＝Ø
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：②③正确．
答案：C
3．使根式与分别有意义的x的允许值集合依次为M、F，则使根式＋有意义的x的允许值集合可表示为(　　)
A．M∪F B．M∩F C．∁MF D．∁FM
解析：根式＋有意义，必须与同时有意义才可．
答案：B
4．已知M＝{x|y＝x2－2}，N＝{y|y＝x2－2}，则M∩N等于(　　)
A．N B．M C．R D．Ø
解析：M＝{x|y＝x2－2}＝R，N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，故M∩N＝N.
答案：A
5．函数y＝x2＋2x＋3(x≥0)的值域为(　　)
A．R B．[0，＋∞) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∴函数在区间[0，＋∞)上为增函数，故y≥(0＋1)2＋2＝3.
答案：D
6．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰的长x的函数，则y等于(　　)
A．20－2x(0<x≤10) B．20－2x(0<x<10)
C．20－2x(5≤x≤10) D．20－2x(5<x<10)
解析：C＝20＝y＋2x，由三角形两边之和大于第三边可知2x>y＝20－2x，x>5.
答案：D
7．用固定的速度向图1甲形状的瓶子注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是图1乙中的(　　)
甲
　乙

图1
解析：水面升高的速度由慢逐渐加快．
答案：B
8．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)
①y＝f(|x|) ②y＝f(－x) ③y＝xf(x) ④y＝f(x)＋x
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
解析：因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．①y＝f(|x|)为偶函数；②y＝f(－x)为奇函数；③令F(x)＝xf(x)，所以F(－x)＝(－x)f(－x)＝(－x)·[－f(x)]＝xf(x)．所以F(－x)＝F(x)．所以y＝xf(x)为偶函数；④令F(x)＝f(x)＋x，所以F(－x)＝f(－x)＋(－x)＝－f(x)－x＝－[f(x)＋x]．所以F(－x)＝－F(x)．所以y＝f(x)＋x为奇函数．
答案：D
9．已知0≤x≤，则函数f(x)＝x2＋x＋1(　　)
A．有最小值－，无最大值 B．有最小值，最大值1
C．有最小值1，最大值 D．无最小值和最大值
解析：f(x)＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋，画出该函数的图象知，f(x)在区间[0，]上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝1，f(x)max＝f()＝.
答案：C
10．已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图象如图2甲所示，则函数f(|x|)的图象是图2乙中的(　　)
甲
　乙

图2
解析：因为y＝f(|x|)是偶函数，所以y＝f(|x|)的图象是由y＝f(x)把x≥0的图象保留，再关于y轴对称得到的．
答案：B
11．若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　)
A．f(－)<f(－1)<f(2) B．f(－1)<f(－)<f(2)
C．f(2)<f(－1)<f(－) D．f(2)<f(－)<f(－1)
解析：由f(x)是偶函数，得f(2)＝f(－2)，又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－<－1，则f(2)<f(－)<f(－1)．
答案：D
12.已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f的值是(　　)
A．0 B. C．1 D.
解析：令x＝－，则－f()＝f(－)，又∵f()＝f(－)，∴f()＝0；令x＝，f()＝f()，得f()＝0；令x＝，f()＝f()，得f()＝0；而0·f(1)＝f(0)＝0，∴f＝f(0)＝0，故选A.
答案：A
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．设全集U＝{a，b，c，d，e}，A＝{a，c，d}，B＝{b，d，e}，则∁UA∩∁UB＝________.
解析：∁UA∩∁UB＝∁U(A∪B)，而A∪B＝{a，b，c，d，e}＝U.
答案：Ø
14．设全集U＝R，A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1≤x<2}，则∁U(A∩B)＝________.
解析：A∩B＝{x|1≤x<2}，∴∁R(A∩B)＝{x|x<1或x≥2}．
答案：{x|x<1或x≥2}
15．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上为减函数，求实数a的取值范围为________．
解析：函数f(x)的对称轴为x＝1－a，则由题知：1－a≥3即a≤－2.
答案：a≤－2
16．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)、f(1)、f(－2)从小到大的顺序是__________．
解析：∵f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，∴m＝0.
∴f(x)＝－x2＋2.∴f(0)＝2，f(1)＝1，f(－2)＝－2，∴f(－2)<f(1)<f(0)．
答案：f(－2)<f(1)<f(0)
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)设A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，
(1)当x∈N*时，求A的子集的个数；
(2)当x∈R且A∩B＝Ø时，求m的取值范围．
解：(1)∵x∈N*且A＝{x|－2≤x≤5}，
∴A＝{1,2,3,4,5}．故A的子集个数为25＝32个．
(2)∵A∩B＝Ø，
∴m－1>2m＋1或2m＋1<－2或m－1>5，
∴m<－2或m>6.
18．(12分)已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠Ø且B⊆A，求a，b的值．
解：(1)当B＝A＝{－1,1}时，易得a＝0，b＝－1；
(2)当B含有一个元素时，由Δ＝0得a2＝b，
当B＝{1}时，由1－2a＋b＝0，得a＝1，b＝1
当B＝{－1}时，由1＋2a＋b＝0，得a＝－1，b＝1.
19．(12分)已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)，满足f(2)＝1，方程f(x)＝x有唯一实数解，求函数f(x)的解析式和f[f(－4)]的值．
解：∵f(x)＝且f(2)＝1，∴2＝2a＋b.
又∵方程f(x)＝x有唯一实数解．
∴ax2＋(b－1)x＝0(a≠0)有唯一实数解．
故(b－1)2－4a×0＝0，即b＝1，又上式2a＋b＝2，可得：a＝，从而f(x)＝＝，
∴f(－4)＝＝4，f(4)＝＝，即f[f(－4)]＝.
20．(12分)已知函数f(x)＝4x2－4ax＋(a2－2a＋2)在闭区间[0,2]上有最小值3，求实数a的值．
解：f(x)＝42＋2－2a.
(1)当<0即a<0时，f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2＝3，解得：a＝1－.
(2)0≤≤2即0≤a≤4时，f(x)min＝f＝2－2a＝3，解得：a＝－(舍去)．
(3)>2即a>4时，f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18＝3，解得：a＝5＋，
综上可知：a的值为1－或5＋.
21．(12分)某公司需将一批货物从甲地运到乙地，现有汽车、火车两种运输工具可供选择．若该货物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为300元/小时，其他主要参考数据如下：
运输工具
途中速度(千米/小时)
途中费用(元/千米)
装卸时间(小时)
装卸费用(元)
汽车
50
8
2
1000
火车
100
4
4
1800
问：如何根据运输距离的远近选择运输工具，使运输过程中的费用与损耗之和最小？
解：设甲、乙两地距离为x千米(x>0)，选用汽车、火车运输时的总支出分别为y1和y2.
由题意得两种工具在运输过程中(含装卸)的费用与时间如下表：
运输工具
途中及装卸费用
途中时间
汽车
8x＋1000
＋2
火车
4x＋1800
＋4
于是y1＝8x＋1000＋(＋2)×300＝14x＋1600，
y2＝4x＋1800＋(＋4)×300＝7x＋3000.
令y1－y2<0得x<200.
①当0<x<200时，y1<y2，此时应选用汽车；
②当x＝200时，y1＝y2，此时选用汽车或火车均可；
③当x>200时，y1>y2，此时应选用火车．
故当距离小于200千米时，选用汽车较好；当距离等于200千米时，选用汽车或火车均可；当距离大于200千米时，选用火车较好．
22．(12分)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又当x2>x1>0时，f(x2)>f(x1)．
(1)求f(1)、f(4)、f(8)的值；
(2)若有f(x)＋f(x－2)≤3成立，求x的取值范围．
解：(1)f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0，f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，f(8)＝f(2)＋f(4)＝2＋1＝3.
(2)∵f(x)＋f(x－2)≤3，∴f[x(x－2)]≤f(8)，又∵对于函数f(x)有x2>x1>0时f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
∴⇒2<x≤4.∴x的取值范围为(2,4]．

第二章 练习
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．计算log225·log32·log59的结果为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：原式＝··＝··＝6.
答案：D
2．设f(x)＝则f(f(2))的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：f(2)＝log3(22－1)＝1，f(f(2))＝2e1－1＝2e0＝2.
答案：C
3．如果logx>0成立，则x应满足的条件是(　　)
A．x> B.<x<1
C．x<1 D．0<x<1
解析：由对数函数的图象可得．
答案：D
4．函数f(x)＝log3(2－x)在定义域区间上是(　　)
A．增函数 B．减函数
C．有时是增函数有时是减函数 D．无法确定其单调
解析：由复合函数的单调性可以判断，内外两层单调性相同则为增函数，内外两层的单调性相反则为减函数．
答案：B
5．某种放射性元素，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下(　　)
A．0.015克 B．(1－0.5%)3克
C．0.925克 D.克
解析：设该放射性元素满足y＝ax(a>0且a≠1)，则有＝a100得a＝().
可得放射性元素满足y＝[()]x＝().当x＝3时，y＝()＝＝.
答案：D
6．函数y＝log2x与y＝logx的图象(　　)
A．关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．关于y＝x对称
解析：据图象和代入式判定都可以做出判断，故选B.
答案：B
7．函数y＝lg(－1)的图象关于(　　)
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．y＝x对称
解析：f(x)＝lg(－1)＝lg，f(－x)＝lg＝－f(x)，所以y＝lg(－1)关于原点对称，故选C.
答案：C
8．设a>b>c>1，则下列不等式中不正确的是(　　)
A．ac>bc B．logab>logac
C．ca>cb D．logbc<logac
解析：y＝xc在(0，＋∞)上递增，因为a>b，则ac>bc；y＝logax在(0，＋∞)上递增，因为b>c，则logab>logac；y＝cx在(－∞，＋∞)上递增，因为a>b，则ca>cb.故选D.
答案：D
9．已知f(x)＝loga(x＋1)(a>0且a≠1)，若当x∈(－1,0)时，f(x)<0，则f(x)是(　　)
A．增函数 B．减函数
C．常数函数 D．不单调的函数
解析：由于x∈(－1,0)，则x＋1∈(0,1)，所以a>1.因而f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．
答案：A
10．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．b<c<a
C．b>c>a D．a<b<c
解析：a＝＝，b＝，c＝＝.∵243<124<66，
∴<<，即a<b<c.
答案：D
11．若方程ax＝x＋a有两解，则a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C．(0，＋∞) D．Ø
解析：分别作出当a>1与0<a<1时的图象．
(1)当a>1时，图象如下图1，满足题意．

(2)当0<a<1时，图象如上图2，不满足题意．
答案：A
12．已知f(x)是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数，若f(lgx)>f(1)，则x的取值范围是(　　)
A．(，1) B．(0，)∪(1，＋∞)
C．(，10) D．(0,1)∪(0，＋∞)
解析：由于f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，所以f(－1)＝f(1)，且f(x)在(－∞，0)上是增函数，应有解得<x<10.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(2，－1)，则a＝________.
解析：由互为反函数关系知，f(x)过点(－1,2)，代入得a－1＝2⇒a＝.
答案：
14．方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．
解析：log2(x－1)＝2－log2(x＋1)⇔log2(x－1)＝log2，即x－1＝，解得x＝±(负值舍去)，∴x＝.
答案：
15．设函数f1(x)＝x，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2007)))＝________.
解析：f1(f2(f3(2007)))＝f1(f2(20072))＝f1((20072)－1)＝[(20072)－1]＝2007－1.
答案：
16．设0≤x≤2，则函数y＝4x－－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________．
解析：设2x＝t(1≤t≤4)，则y＝·4x－3·2x＋5＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋.
当t＝3时，ymin＝；当t＝1时，ymax＝×4＋＝.
答案：　
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知a＝(2＋)－1，b＝(2－)－1，求(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值．
解：(a＋1)－2＋(b＋1)－2＝(＋1)－2＋(＋1)－2＝()－2＋()－2＝(＋)＝[(7＋4)(2－)＋(7－4)(2＋)]＝×4＝.
18．(12分)已知关于x的方程4x·a－(8＋)·2x＋4＝0有一个根为2，求a的值和方程其余的根．
解：将x＝2代入方程中，
得42·a－(8＋)·22＋4＝0，解得a＝2.
当a＝2时，原方程为
4x·2－(8＋)2x＋4＝0，
将此方程变形化为2·(2x)2－(8＋)·2x＋4＝0.
令2x＝y，得2y2－(8＋)y＋4＝0.
解得y＝4或y＝.
当y＝4时，即2x＝4，解得x＝2；
当y＝时，2x＝，解得x＝－.
综上，a＝2，方程其余的根为－.
19．(12分)已知f(x)＝，证明：f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．
证明：设任意x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝－＝＝＝.∵x1<x2，∴2x1<2x2，即2x1－2x2<0.∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．
20．(12分)已知偶函数f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，求不等式f(logax)>0(a>0，且a≠1)的解集．
解：f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上递增，f()＝0，
∴f(x)在(－∞，0)上递减，f(－)＝0，则有logax>，或logax<－.
(1)当a>1时，logax>，或logax<－，可得x>，或0<x<；
(2)当0<a<1时，logax>，或logax<－，可得0<x<，或x>.
综上可知，当a>1时，f(logax)>0的解集为(0，)∪(，＋∞)；
当0<a<1时，f(logax)>0的解集为(0，)∪(，＋∞)．
21．(12分)已知函数f(x)对一切实数x，y都满足f(x＋y)＝f(y)＋(x＋2y＋1)x，且f(1)＝0，
(1)求f(0)的值；
(2)求f(x)的解析式；
(3)当x∈[0，]时，f(x)＋3<2x＋a恒成立，求a的范围．
解：(1)令x＝1，y＝0，则f(1)＝f(0)＋(1＋1)×1，∴f(0)＝f(1)－2＝－2.
(2)令y＝0，则f(x)＝f(0)＋(x＋1)x，∴f(x)＝x2＋x－2.
(3)由f(x)＋3<2x＋a，得a>x2－x＋1.设y＝x2－x＋1，则y＝x2－x＋1在(－∞，]上是减函数，所以y＝x2－x＋1在[0，]上的范围为≤y≤1，从而可得a>1.
22．(12分)设函数f(x)＝loga(1－)，其中0<a<1.
(1)求证：f(x)是(a，＋∞)上的减函数；
(2)解不等式f(x)>1.
解：(1)证明：设任意x1，x2∈(a，＋∞)且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝loga(1－)－loga(1－)＝loga＝loga＝loga＝loga(1＋)＝loga[1＋]．∵x1，x2∈(a，＋∞)且x1<x2，∴x1－x2<0,0<a<x1<x2，x2－a>0.∴<0，∴1＋<1，又∵0<a<1，∴loga[1＋]>0，∴f(x1)>f(x2)，所以f(x)＝loga(1－)在(a，＋∞)上为减函数．
(2)因为0<a<1，所以f(x)>1⇔loga(1－)>logaa⇔解不等式①，得x>a或x<0.解不等式②，得0<x<.因为0<a<1，故x<，所以原不等式的解集为{x|a<x<}．

第三章 练习
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：∵Δ＝b2＋4×2×3＝b2＋24>0，
∴函数图象与x轴有两个不同的交点，从而函数有2个零点．
答案：C
2．函数y＝1＋的零点是(　　)
A．(－1,0) B．－1
C．1 D．0
解析：令1＋＝0，得x＝－1，即为函数零点．
答案：B
3．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是(　　)

解析：把y＝f(x)的图象向下平移1个单位后，只有C图中图象与x轴无交点．
答案：C
4．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值(　　)
A．大于0 B．小于0
C．无法判断 D．等于零
解析：由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．
答案：C
5．函数f(x)＝ex－的零点所在的区间是(　　)
A．(0，) B．(，1)
C．(1，) D．(，2)
解析：f()＝－2<0，　f(1)＝e－1>0，∵f()·f(1)<0，∴f(x)的零点在区间(，1)内．
答案：B
6．方程logx＝2x－1的实根个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．无穷多个
解析：方程logx＝2x－1的实根个数只有一个，可以画出f(x)＝logx及g(x)＝2x－1的图象，两曲线仅一个交点，故应选B.
答案：B
7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x2－11x＋3000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于(　　)
A．55台 B．120台
C．150台 D．180台
解析：设产量为x台，利润为S万元，则S＝25x－y＝25x－(0.1x2－11x＋3000)
＝－0.1x2＋36x－3000
＝－0.1(x－180)2＋240，则当x＝180时，生产者的利润取得最大值．
答案：D
8．已知α是函数f(x)的一个零点，且x1<α<x2，则(　　)
A．f(x1)f(x2)>0 B．f(x1)f(x2)<0
C．f(x1)f(x2)≥0 D．以上答案都不对
解析：定理的逆定理不成立，故f(x1)f(x2)的值不确定．
答案：D
9．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水(　　)
A．10吨 B．13吨
C．11吨 D．9吨
解析：设该职工该月实际用水为x吨，易知x>8.
则水费y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，
∴x＝9.
答案：D
10．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象为(　　)

答案：A
11．函数f(x)＝|x2－6x＋8|－k只有两个零点，则(　　)
A．k＝0 B．k>1
C．0≤k<1 D．k>1，或k＝0
解析：令y1＝|x2－6x＋8|，y2＝k，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思想，作出两函数图象可得选D.
答案：D
12．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程2x＝x2的一个根所在区间为(　　)
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
解析：设f(x)＝2x－x2，由表格观察出x＝1.8时，2x>x2，即f(1.8)>0；
在x＝2.2时，2x<x2，即f(2.2)<0.
综上知f(1.8)·f(2.2)<0，所以方程2x＝x2的一个根位于区间(1.8,2.2)内．
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是__________．
解析：设f(x)＝x3－2x－5，则f(2)<0，f(3)>0，f(4)>0，有f(2)f(3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．
答案：(2,3)
14．已知函数f(x)＝ax2－bx＋1的零点为－，，则a＝__________，b＝__________.
解析：由韦达定理得－＋＝，且－×＝.解得a＝－6，b＝1.
答案：－6　1
15．以墙为一边，用篱笆围成一长方形的场地，如图1.已知篱笆的总长为定值l，则这块场地面积y与场地一边长x的关系为________．

图1
解析：由题意知场地的另一边长为l－2x，
则y＝x(l－2x)，且l－2x>0，即0<x<.
答案：y＝x(l－2x)(0<x<)
16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求？(已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)
解析：设过滤n次才能达到市场要求，则2%(1－)n≤0.1%
即()n≤，∴nlg≤－1－lg2，
∴n≥7.39，∴n＝8.
答案：8
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x＝2，且f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．
解：设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意知：c＝3，－＝2.
设x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则x＋x＝10，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝10，∴(－)2－＝10，∴16－＝10，
∴a＝1.代入－＝2中，得b＝－4.∴f(x)＝x2－4x＋3.
18．(12分)求方程x2＋2x＝5(x>0)的近似解(精确度0.1)．
解：令f(x)＝x2＋2x－5(x>0)．
∵f(1)＝－2，f(2)＝3，
∴函数f(x)的正零点在区间(1,2)内．
取(1,2)中点x1＝1.5，f(1.5)>0.取(1,1.5)中点x2＝1.25，f(1.25)<0.
取(1.25,1.5)中点x3＝1.375，f(1.375)<0.
取(1.375,1.5)中点x4＝1.4375，f(1.4375)<0.取(1.4375,1.5)．
∵|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，
∴方程x2＋2x＝5(x>0)的近似解为x＝1.5(或1.4375)．
19．(12分)要挖一个面积为800 m2的矩形鱼池，并在四周修出宽分别为1 m,2 m的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值．
解：设所建矩形鱼池的长为x m，则宽为m，于是鱼池与路的占地面积为
y＝(x＋2)(＋4)＝808＋4x＋＝808＋4(x＋)＝808＋4[(－)2＋40]．
当＝，即x＝20时，y取最小值为968 m2.
答：鱼池与路的占地最小面积是968 m2.
20．(12分)某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产的年利润分别为P和Q(万元)，这两项利润与投入的资金x(万元)的关系是P＝，Q＝，该集团今年计划对这两项生产共投入资金60万元，其中投入养殖业为x万元，获得总利润y(万元)，写出y关于x的函数关系式及其定义域．
解：投入养殖加工生产业为60－x万元．由题意可得，y＝P＋Q＝＋，
由60－x≥0得x≤60，∴0≤x≤60，即函数的定义域是[0,60]．
21．(12分)已知某种产品的数量x(百件)与其成本y(千元)之间的函数关系可以近似用y＝ax2＋bx＋c表示，其中a，b，c为待定常数，今有实际统计数据如下表：
产品数量x(百件)
6
10
20
成本合计y(千元)
104
160
370
(1)试确定成本函数y＝f(x)；
(2)已知每件这种产品的销售价为200元，求利润函数p＝p(x)；
(3)据利润函数p＝p(x)确定盈亏转折时的产品数量．(即产品数量等于多少时，能扭亏为盈或由盈转亏)
解：(1)将表格中相关数据代入y＝ax2＋bx＋c，
得解得a＝，b＝6，c＝50.所以y＝f(x)＝x2＋6x＋50(x≥0)．
(2)p＝p(x)＝－x2＋14x－50(x≥0)．
(3)令p(x)＝0，即－x2＋14x－50＝0，
解得x＝14±4，即x1＝4.2，x2＝23.8，
故4.2<x<23.8时，p(x)>0；x<4.2或x>23.8时，p(x)<0，
所以当产品数量为420件时，能扭亏为盈；
当产品数量为2380件时由盈变亏．
22．(12分)某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平衡增长．已知2000年为第一年，头4年年产量f(x)(万件)如表所示：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
(1)画出2000～2003年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之．
(3)2006年(即x＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？
解：

图2
(1)散点图如图2：
(2)设f(x)＝ax＋b.由已知得，
解得a＝，b＝，
∴f(x)＝x＋.
检验：f(2)＝5.5，|5.58－5.5|＝0.08<0.1；
f(4)＝8.5，|8.44－8.5|＝0.06<0.1.
∴模型f(x)＝x＋能基本反映产量变化．
(3)f(7)＝×7＋＝13，
由题意知，2006年的年产量约为13×70%＝9.1(万件)，即2006年的年产量应约为9.1万件．
全册书综合练习题及解析
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝(　　)
A．{1,2,3} B．{1,2,4}
C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}
解析：∵A∩B＝{1,2}，∴(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}．
答案：D
2．如图1所示，U表示全集，用A，B表示阴影部分正确的是(　　)

图1

A．A∪B B．(∁UA)∪(∁UB)
C．A∩B D．(∁UA)∩(∁UB)
解析：由集合之间的包含关系及补集的定义易得阴影部分为(∁UA)∩(∁UB)．
答案：D
3．若f(x)＝1－2x，g(1－2x)＝(x≠0)，则g的值为(　　)
A．1 B．3
C．15 D．30
解析：g(1－2x)＝，令＝1－2x，则x＝，∴g＝＝15，故选C.
答案：C
4．设函数f(x)＝则使得f(－1)＋f(m－1)＝1成立的m的值为(　　)
A．10 B．0，－2
C．0，－2,10 D．1，－1,11
解析：因为x<1时，f(x)＝(x＋1)2，所以f(－1)＝0.当m－1<1，即m<2时，f(m－1)＝m2＝1，m＝±1.当m－1≥1，即m≥2时，f(m－1)＝4－＝1，所以m＝11.
答案：D
5．若x＝6是不等式loga(x2－2x－15)>loga(x＋13)的一个解，则该不等式的解集为(　　)
A．(－4,7) B．(5,7)
C．(－4，－3)∪(5,7) D．(－∞，－4)∪(5，＋∞)
解析：将x＝6代入不等式，得loga9>loga19，所以a∈(0,1)．则解得x∈(－4，－3)∪(5,7)．
答案：C
6．若函数f(x)＝，则该函数在(－∞，＋∞)上是(　　)
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最大值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
解析：2x＋1在(－∞，＋∞)上递增，且2x＋1>0，
∴在(－∞，＋∞)上递减且无最小值．
答案：A
7．方程()x＝|log3x|的解的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：

图2
在平面坐标系中，画出函数y1＝()x和y2＝|log3x|的图象，如图2所示，可知方程有两个解．
答案：C
8．下列各式中，正确的是(　　)
A．(－)<(－) B．(－)<(－)
C．()>() D．(－)3>(－)3
解析：函数y＝x在(－∞，0)上是减函数，而－<－，∴(－)>(－)，故A错；
函数y＝x在(－∞，＋∞)上是增函数，而－>－，∴(－)>(－)，故B错，同理D错．
答案：C
9．生物学指出：生态系统在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在H1→H2→H3这个食物链中，若能使H3获得10 kJ的能量，则需H1提供的能量为(　　)
A．105 kJ B．104 kJ
C．103 kJ D．102 kJ
解析：H12＝10，∴H1＝103.
答案：C
10．如图3(1)所示，阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的图象是如图3(2)所示的(　　)

图3
解析：当h＝时，对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，且随着h的增大，S随之减小，故排除A，B，D.
答案：C
11．函数f(x)在(－1,1)上是奇函数，且在(－1,1)上是减函数，若f(1－m)＋f(－m)<0，则m的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(－1,1)
C．(－1，) D．(－1,0)∪(1，)
解析：f(1－m)<－f(－m)，
∵f(x)在(－1,1)上是奇函数，∴f(1－m)<f(m)，∴1>1－m>m>－1，
解得0<m<，即m∈(0，)．
答案：A
12．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝，则f(2009)的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：由题意可得：x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，从而f(x－1)＝f(x－2)－f(x－3)．
两式相加得f(x)＝－f(x－3)，f(x－6)＝f[(x－3)－3]＝－f(x－3)＝f(x)，
∴f(2009)＝f(2003)＝f(1997)＝…＝f(5)＝f(－1)＝log22＝1.
答案：C

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13.的值是________．
解析：＝＝.
答案：
14．若函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围为__________．
解析：kx2＋4kx＋3恒不为零．若k＝0，符合题意，k≠0，Δ<0，也符合题意．所以0≤k<.
答案：
15．已知全集U＝{x|x∈R}，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且(∁UA)∩B＝Ø，则实数k的取值范围是________．
解析：∁UA＝{x|1<x<3}，又(∁UA)∩B＝Ø，
∴k＋1≤1或k≥3，
∴k≤0或k≥3.
答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)
16．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于1986年，第一年(即1986年)只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物只数y(只)与时间x(年)的关系可近似地由关系式y＝alog2(x＋1)给出，则到2016年时，预测麋鹿的只数约为________．
解析：当x＝1时，y＝alog22＝a＝100，∴y＝100log2(x＋1)，
∵2016－1986＋1＝31，即2016年为第31年，
∴y＝100log2(31＋1)＝500，
∴2016年麋鹿的只数约为500.
答案：500
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)用定义证明：函数g(x)＝(k<0，k为常数