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全国通用高中数学第七章复数(四十七)

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单选题
1、设iz=4+3i，则z=（    ）
A．–3−4iB．−3+4iC．3−4iD．3+4i
答案：C
分析：由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.
由题意可得：z=4+3ii=4+3iii2=4i−3−1=3−4i.
故选：C.
2、设复数z满足1+iz=4i，则z=（   ）
A．12B．22C．2D．22
答案：D
分析：由(1+i)z=4i，得z=4i1+i，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．
解：由(1+i)z=4i，
得z=4i1+i=4i(1−i)(1−i)(1+i)=2+2i，
则|z|=22+22=22．
故选：D．
3、在复平面内,复数2−i1−3i对应的点位于（    ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：A
分析：根据复数的运算法则，求得2−i1−3i=12+12i，结合复数的几何意义，即可求解.
由题意，复数2−i1−3i=2−i1+3i1−3i1+3i=5+5i10=12+12i，
所以该复数在复平面内对应的点为12,12，在第一象限.
故选：A.
4、复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足|z−3|=|z−i|，则动点Z的轨迹为（    ）
A．直线B．线段C．两条射线D．圆
答案：A
分析：设出动点Z坐标为x,y，根据题意列出方程，求出结果.
设动点Z坐标为x,y，则z=x+yi，所以|x+yi−3|=|x+yi−i|，即x−32+y2=x2+y−12，化简得：3x−y−4=0，故动点Z的轨迹为直线.
故选：A
5、若复数z满足z−2−3i=5，则复数z的共轭复数不可能为（    ）
A．2+8iB．−2−6iC．5+iD．5−7i
答案：A
分析：设复数z=a+bi，根据z−2−3i=5求出参数a,b满足的表达式，将选项代入判断是否成立即可
设复数z=a+bi，则z−2−3i=a−2+b−3i，所以
z−2−3i=a−22+b−32=5，选项A中，a=2,b=−8，不满足等式，错误；选项B中，a=−2,b=6，满足等式，正确；选项C中，a=5,b=−1，满足等式，正确；选项D中，a=5,b=7，满足等式，正确；
故选：A
6、已知复数z1=21+i与z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，则z1z2=（    ）
A．−4iB．−2iC．2iD．4i
答案：C
分析：利用复数的除法运算法则化简复数z1，求出其在复平面内对应的点，再求出该点关于直线y=x对称的点，得到复数z2，最后利用复数的乘法运算法则即可求得z1z2．
因为z1=21+i=21−i1+i1−i=1−i，所以复数z1在复平面内对应的点为1,−1，
其关于直线y=x对称的点为−1,1，所以z2=−1+i，
所以z1z2=1−i−1+i=2i，
故选：C．
7、z=(2+i)2−4在复平面内对应的点位于（    ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：B
分析：将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.
z=(2+i)2−4=−1+4i，
则z在复平面内对应的点位于第二象限，
故选：B.
8、已知复数z满足z⋅z+4iz=5+ai，则实数a的取值范围为（    ）
A．[−4,4]B．[−6,6]C．[−8,8]D．[−12,12]
答案：D
分析：设z=x+yi,x,y∈R，由复数相等，得出x,y,a的关系式，消去x得到关于y的一元二次方程有实数解，利用Δ≥0，求解即可得出答案.
设z=x+yi,x,y∈R，则x2+y2+4ix−yi=5+ai，
整理得：x2+y2+4y+4xi=5+ai,
所以x2+y2+4y=54x=a，消去x得y2+4y−5+a216=0,
因为方程有解，所以Δ=16−4a216−5≥0，解得：−12≤a≤12.
故选：D.
多选题
9、意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：
第一步，把方程x3+a2x2+a1x+a0=0中的x用x−a23来替换，得到方程x3+px+q=0；
第二步，利用公式x3+y3+z3−3xyz=x+y+zx+ωy+ω2zx+ω2y+ωz将x3+px+q因式分解；
第三步，求得y，z的一组值，得到方程x3+px+q=0的三个根：−y−z，−ωy−ω2z，−ω2y−ωz（其中ω=−1+3i2，i为虚数单位）；
第四步，写出方程x3+a2x2+a1x+a0=0的根：x1=−a23−y−z，x2=−a23−ωy−ω2z，x3=−a23−ω2y−ωz.
某同学利用上述方法解方程8x3−12x2−42x+55=0时，得到y的一个值：−1+i，则下列说法正确的是（    ）
A．a2=−32B．yz=2C．x2=−12+3D．x3=−1−3
答案：ABC
分析：根据三次方程的代数解法对选项进行分析，由此确定正确选项.
8x3−12x2−42x+55=0⇒x3−32x2−214x+558=0
依题意可知a2是2次项系数，所以a2=−32，A选项正确.
第一步，把方程x3−32x2−214x+558=0中的x，用x+12来替换，
得x+123−32x+122−214x+12+558=x3−6x+4=0，
第二步，对比x3−6x+4=0与x3+y3+z3−3xyz=0，
可得y3+z3=4−3yz=−6y=−1+i，解得yz=2,z=−1−i，B选项正确.
所以x2=−a23−ωy−ω2z=12−−1+3i2−1+i+−1+3i221+i=−12+3，C选项正确.
x3=−a23−ω2y−ωz=12−−1+3i22−1+i+−1+3i21+i=−12−3，D选项错误.
故选：ABC
10、设复数z=m3+i−2+i，i为虚数单位，m∈R，则下列结论正确的为（    ）
A．当23<m<1时，则复数z在复平面上对应的点位于第四象限
B．若复数z在复平面上对应的点位于直线x−2y+1=0上，则m=1
C．若复数z是纯虚数，则m=23
D．在复平面上，复数z−1对应的点为Zʹ，O为原点，若OZʹ=10，则m=2
答案：AC
分析：由z=m3+i−2+i，得z=(3m−2)+(m−1)i，然后逐个分析判断即可
由z=m3+i−2+i，得z=(3m−2)+(m−1)i，
对于A，当23<m<1时，0<3m−2<1，−13<m−1<0，所以复数z在复平面上对应的点位于第四象限，所以A正确，
对于B，若复数z在复平面上对应的点位于直线x−2y+1=0上，则3m−2−2(m−1)+1=0，解得m=−1，所以B错误，
对于C，若复数z是纯虚数，则3m−2=0且m−1≠0，解得m=23，所以C正确，
对于D，由z=(3m−2)+(m−1)i，得z−1=(3m−3)+(m−1)i，则Zʹ(3m−3,m−1)，由OZʹ=10，得(3m−3)2+(m−1)2=10，(m−1)2=1，得m=2或m=0，所以D错误，
故选：AC
11、已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ）
A．i+i2+i3+i4=0
B．复数z=3−i的虚部为−i
C．若z=(1+2i)2，则复平面内z对应的点位于第二象限
D．已知复数z满足z−1=z+1，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
答案：AD
分析：根据复数的概念、运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.
A选项，i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，故A选项正确.
B选项，z的虚部为−1，故B选项错误.
C选项，z=1+4i+4i2=−3+4i,z=−3−4i，对应坐标为−3,−4在第三象限，故C选项错误.
D选项，z−1=z+1=z−−1表示z到A1,0和B−1,0两点的距离相等，故z的轨迹是线段AB的垂直平分线，故D选项正确.
故选：AD
12、已知复数z1,z2,z3，z1是z1的共轭复数，则下列结论正确的是（    ）
A．若z1+z2=0，则z1=z2B．若z2=z1，则z1=z2
C．若z3=z1z2，则z3=z1z2D．若z1+1=z2+1，则z1=z2
答案：ABC
分析：若z=a+bi ，则z=a−bi，z=z=a2+b2 ，利用复数代数运算，可以判断AB；利用复数的三角运算，可以判断C；利用数形结合，可以判断D.
对于A：
若z1+z2=0 ，则z1=−z2，故z1=−z2=z2，
所以A正确；
对于B：
若z2=z1，则z1=z2，
所以B正确；
对于C：
设z1=r1(cosα+isinα) ，z2=r2(cosβ+isinβ)
则z3=z1z2=r1r2cos(α+β)+isinα+β ，故z3=z1z2 ，
所以C正确；
对于D：
如下图所示，若OA=z1+1 ，OB=z2+1，则OC=z1，OD=z2，故z1≠z2 ，
所以D错误.

故选：ABC
解答题
13、已知O为坐标原点，向量OZ1､OZ2分别对应复数z1，z2，且z1=3a+5+(10−a2)i，z2=21−a+(2a−5)i(a∈R)，若z1+z2是实数.
(1)求实数a的值；
(2)求以OZ1､OZ2为邻边的平行四边形的面积.
答案：(1)a=3
(2)118
分析：（1）由已知结合z1+z2为实数求得a的值，（2）求得OZ1、OZ2对应的点的坐标，再由OZ1OZ2的值计算夹角的正余弦，则可求面积．
（1）
由z1=3a+5+(10−a2)i，得
z1=3a+5−(10−a2)i，则z1+z2=3a+5+21−a+[(a2−10)+(2a−5)]i的虚部为0，
∴a2+2a−15=0．
解得：a=−5或a=3．
又∵a+5≠0，∴a=3．
（2）
由（1）可知z1=38+i，z2=−1+i．
OZ1=(38，1)，OZ2=(−1,1)．
∴OZ1OZ2=58．所以cosOZ1,OZ2=587364⋅2=5146，
所以sinOZ1,OZ2=11146，
所以以OZ1､OZ2为邻边的平行四边形的面积S=OZ1⋅OZ2⋅sinOZ1,OZ2=118
14、ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1+3i，2i，2+i，z，
（1）求复数z；
（2）z是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的一个根，求实数p，q的值.
答案：（1）z=3+2i；（2）p=12,q=26.
分析：（1）根据A、B、C对应的点坐标分别为（1，3），（0，2），（2，1），设D的坐标（x，y），利用AD=BC求解；
（2）根据3+5i是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的一个根，然后利用根与系数的关系求解.
（1）复平面内A、B、C对应的点坐标分别为（1，3），（0，2），（2，1），
设D的坐标（x，y），由于AD=BC，
∴（x﹣1，y﹣3）＝（2，﹣1），
∴x﹣1＝2，y﹣3＝﹣1，
解得x＝3，y＝2
，故D（3，2），
则点D对应的复数z＝3+2i；
（2）∵3+2i是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的一个根，
∴3﹣2i是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的另一个根，
则3+2i+3﹣2i＝p2，（3+2i）（3﹣2i）＝q2，
即p＝12，q＝26.
15、已知a，b∈R，且方程x2+ax+b=0的一个根为1－i，复数z1=a+bi．
(1)若复数12z1+m+m2−m−3i在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围；
(2)若z2=32，且满足z1z2>0，求复数z2．
答案：(1)−1,1；
(2)z2=−3+3i.
分析：（1）由题可得1−i2+a1−i+b=0，可得z1=−2+2i，然后利用条件可得m−1<0,m2−m−2<0,即得；
（2）设z2=x+yi，由题可得x2+y2=18，−2x+2y>02x+2y=0，即得.
(1)
因为方程x2+ax+b=0的一个根为1－i，
所以1−i2+a1−i+b=0，即a+b+−2−ai=0，
根据复数相等的定义得a+b=0,−2−a=0,解得a=−2,b=2.
∴z1=−2+2i，
∴12z1+m+m2−m−3i=−1+i+m+m2−m−3i=m−1+m2−m−2i，
因为12z1+m+m2−m−3i在复平面内对应的点位于第三象限，
所以m−1<0,m2−m−2<0,解得−1<m<1，
即实数m的取值范围是−1,1．
(2)
设z2=x+yi，x，y∈R，由上知z1=−2+2i．
因为z2=32，所以x2+y2=18．①
又因为z1z2=−2−2ix+yi=−2x+2y−2x+2yi>0，
故有−2x+2y>0,2x+2y=0,即x<0,y=−x,②
由①②解得x=−3,y=3,
所以z2=−3+3i．

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