资源描述
第1课时 定积分的概念
1.理解连续函数的概念,会根据函数图像判断函数是否连续.
2.会用分割、近似替代、求和、取极限等方法求曲边为二次函数曲线段的曲边梯形的面积.
3.会求汽车做变速运动时在某一段时间内行驶的路程.
4.通过求变速直线运动在某一段时间内的行驶路程,体会“以直代曲”和“以不变代变”的思想方法.
5.了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分.
6.了解定积分的几何意义及性质.
我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面“直边图形”的面积,在物理中,我们知道了匀速直线运动的时间、速度与路程的关系等.在数学和物理中,我们经常会遇到计算平面曲线所围成的平面“曲边图形”的面积、变速直线运动物体的位移、变力做功的问题.如何解决这些问题呢?因为现有的知识无法解决这些问题,所以我们需要另寻方法.
问题1:求曲边梯形面积的步骤是(1) ;(2) ;(3) ;(4) .
问题2:定积分的定义
一般地,给定一个在区间[a,b]上的函数y=f(x),将[a,b]区间分成n份,分点为a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b.第i个小区间为[xi-1,xi],设其长度为Δxi,在这个小区间上取一点ξi,使f(ξi)在区间[xi-1,xi]上的值最大,设S=f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξi)Δxi+…+f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点ζi,使f(ζi)在区间[xi-1,xi]上的值最小,设s=f(ζ1)Δx1+f(ζ2)Δx2+…+f(ζi)Δxi+…+f(ζn)Δxn.如果每次分割后,最大的小区间的长度趋于0,S与s的差也趋于0,此时,S与s同时趋于某一个 ,我们就称 是函数y=f(x)在区间[a,b]上的 ,记作f(x)dx,即f(x)dx=A.其中∫叫作 ,a叫作积分的 ,b叫作积分的 ,f(x)叫作 .
问题3:定积分的几何意义
如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有 ,那么定积分f(x)dx表示由直线x=a,x=b(a≠b),x轴和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的 .
问题4:定积分的性质
(1)1dx= ;
(2)kf(x)dx= (k为常数);
(3)[f1(x)±f2(x)]dx= ;
(4)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中a<c<b).
1.把区间[1,3]等分n份,所得n个小区间的长度均为( ).
A. B. C. D.
2.汽车以v=v(t)在[0,t]内作直线运动经过的路程为S,则下列叙述正确的是( ).
A.将[0,t]等分n份,若以每个小区间左端点的速度近似替代时,求得的s是S的不足估计值
B.将[0,t]等分n份,若以每个小区间右端点的速度近似替代时,求得的s是S的过剩估计值
C.将[0,t]等分n份,n越大,求出的s近似替代S的精确度越高
D.将[0,t]等分n份,当n很大时,求出的s就是S的准确值
3.计算定积分:|x|dx= .
4.利用几何意义计算定积分(3x+1)dx.
求曲边梯形的面积
求由曲线f(x)=2x,直线x=1,直线x=0及x轴所围成的平面图形的面积S,并写出估计值的误差.
求变速运动的路程
一辆汽车在直线形公路上变速行驶,汽车在时刻t的速度为v(t)=-t2+5(单位:km/h).试估计这辆汽车在0≤t≤2(单位:h)这段时间内行驶的路程.
利用定积分的几何意义求定积分
用定积分的几何意义求下列各式的值.
(1)dx;(2)(1+sin x)dx.
估计直线x=0,x=1,y=0与曲线y=x3所围成的曲边梯形的面积.
一辆汽车的司机猛踩刹车,汽车滑行5 s后停下,在这一过程中,汽车的速度v(单位:m/s)是时间t的函数:v(t)=t2-10t+25(0≤t≤5).请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s.
计算(-x3)dx的值.
1.函数f(x)=x2在区间[,]上( ).
A.f(x)的值变化很小 B.f(x)的值变化很大
C.f(x)的值不变化 D.当n很大时,f(x)的值变化很小
2.求由y=ex,x=2,y=1围成的曲边梯形的面积时,若选择x为积分变量,则积分区间为( ).
A.[0,e2] B.[0,2] C.[1,2] D.[0,1]
3.把区间[a,b](a<b)等分n份之后,第i个小区间是 .
4.根据定积分的几何意义求下列定积分的值:
(1)xdx;(2)cos xdx.
已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲、乙两车的速度曲线分别为v甲、v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是( ).
A.在t1时刻,甲车在乙车前面
B.t1时刻后,甲车在乙车后面
C.在t0时刻,两车的位置相同
D.t0时刻后,乙车在甲车前面
考题变式(我来改编):
答案
第四章 定 积 分
第1课时 定积分的概念
知识体系梳理
问题1:(1)分割 (2)近似替代 (3)求和 (4)逼近
问题2:固定的常数A A 定积分 积分号 下限 上限 被积函数
问题3:f(x)≥0 面积
基础学习交流
1.B 区间的总长度为2,则每个区间的长度为,
2.C 当n越大时,分割成的小区间长度越小,则求出的s近似替代S的精确度越高.
3.1 |x|dx表示由y=|x|,x=±1以及x轴所围成的平面图形的面积, ∴dx=(-x)dx+xdx=×1×1+×1×1=1.
4.解:由直线x=-1,x=3,y=0,以及y=3x+1所围成的图形,如图所示:
表示由直线x=-1,x=3,y=0以及y=3x+1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积,
∴=×(3+)×(3×3+1)-(-+1)×2=-=16.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)分割:将区间[0,1]等分5份,即插入4个分点,在每个分点处作与y轴平行的直线段,将整个曲边梯形分成5个小曲边梯形.
(2)近似替代:若用f(0.2),f(0.4),f(0.6),f(0.8),f(1)分别表示这5个小曲边梯形的高,分别得到每个小曲边梯形的面积f(0.2)·0.2,f(0.4)·0.2,f(0.6)·0.2,f(0.8)·0.2,f(1)·0.2.
若用f(0),f(0.2),f(0.4),f(0.6),f(0.8)分别表示这5个小曲边梯形的高,分别得到每个小曲边梯形的面积f(0)·0.2,f(0.2)·0.2,f(0.4)·0.2,f(0.6)·0.2,f(0.8)·0.2.
(3)求和:由上述方法得曲边梯形面积的过剩估计值为S1=(20.2+20.4+20.6+20.8+21)×0.2≈1.55,不足估计值为s1=(20+20.2+20.4+20.6+20.8)×0.2≈1.35.
(4)逼近:在这种情况下,无论过剩估计值还是不足估计值,误差都不会超过0.20.如果需要,我们可以将区间分得更细,从而得到更精确的估计值.
【小结】通过求曲边梯形面积的四个步骤:分割、近似替代、求和、逼近可以理解定积分的基本思想.
探究二:【解析】将区间[0,2]等分10等份,如图:
S=(-02+5-0.22+5-…-1.82+5)×0.2=7.72,
s=(-0.22+5-0.42+5-…-1.82+5-22+5)×0.2=6.92,
∴估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km与7.72 km之间.
【小结】解决这类问题的方法是通过分割自变量的区间求得过剩估计值和不足估计值,分割得越细,估计值就越接近精确值.当分割成的小区间的长度趋于0时,过剩估计值和不足估计值都趋于精确值.
探究三:【解析】(1)由y=可知x2+y2=4(y≥0),其图像如图所示.
等于圆心角为的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和.
S弓形=××22-×2×2sin=-,S矩形=AB·BC=2,
则=2+-=+.
(2)函数y=1+sin x的图像如图所示,
(1+sin x)dx表示阴影部分的面积,由图像的对称性可知=2π.
【小结】利用几何意义求定积分的关键是准确确定被积函数的图像以及积分区间,正确利用相关的几何知识求面积,不规则的图形常用分割法求面积,注意准确的确定分割点.
思维拓展应用
应用一:将区间[0,1]等分5份,
如图(1),所有小矩形的面积之和(记为S1),显然为过剩估计值,
S1=(0.23+0.43+0.63+0.83+13)×0.2=0.36.
如图(2),所有小矩形的面积之和(记为s1),显然为不足估计值,
s1=(03+0.23+0.43+0.63+0.83)×0.2=0.16,
所以该曲边梯形的面积介于0.16与0.36之间.
应用二:将滑行时间5 s平均分成5份.
分别用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4)近似替代汽车在0~1 s,1~2 s,2~3 s,3~4 s,4~5 s内的平均速度,求出滑行距离s1,s1=[v(0)+v(1)+v(2)+v(3)+v(4)]×1=55(m),
由于v是下降的,显然s1大于s,我们称它为汽车在5 s内滑行距离的过剩估计值.
如果用v(1),v(2),v(3),v(4),v(5)分别近似替代汽车在0~1 s,1~2 s,2~3 s,3~4 s,4~5 s内的平均速度,求出汽车在5 s内滑行距离的不足估计值s1',s1'=[v(1)+v(2)+v(3)+v(4)+v(5)]×1=30(m).
不论用过剩估计值s1还是不足估计值s1'表示s,误差都不超过:s1-s1'=55-30=25(m).
为了得到更加精确的估计值,还可以将滑行时间分得更细些.
应用三:如图,
由定积分的几何意义得=0,
由定积分的性质得=.
基础智能检测
1.D 当n很大,即Δx很小时,在区间[,]上,可以认为f(x)=x2的值变化很小,近似地等于一个常数.
2.B 求出y=ex,x=2,y=1的交点分别为(0,1),(2,1),(2,e2),结合定积分的几何意义知,积分区间为[0,2].
3.[a+(b-a),a+(b-a)] 第i个区间长为,第i个小区间的左端点的值为a+(b-a),右端点的值为a+(b-a),所以区间为[a+(b-a),a+(b-a)].
4.解:(1)如图①,(A1,A2,A3分别表示图中相应各处面积)
全新视角拓展
A 在t0时刻,两车的速度相等,且之前甲车速度一直大于乙车速度,故甲车在乙车前面.由于路程关于时间的函数是速度关于时间的函数的积分,由积分的几何意义知,速度曲线与t轴及t=t1所围成的面积即为t1时刻车子走过的路程,由图可知甲围成的面积较大,所以t1时刻甲车在乙车的前面.
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