人教版2024高中数学必修二第八章立体几何初步(四十四).docx

人教版2024高中数学必修二第八章立体几何初步(四十四)

1

单选题
1、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约为（    ）

A．100cm3B．200cm3C．300cm3D．400cm3
答案：B
分析：根据题意可知圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为h，所以h-4h=610，求出h的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.
解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，
圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，
可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，
设大圆锥的高为h，所以h-4h=610，解得：h=10，
则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，
所以该壶的容积V=13×π×52×10-13×π×32×6=1963π≈200cm3.
故选：B.

2、圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（    ）
A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．2∶3
答案：A
分析：按圆柱侧面积和球的表面积公式计算即可.
设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，
圆柱的侧面积=2πr·2r=4πr2 ，球的表面积为4πr2 ，
其比例为1:1，
故选：A.
3、已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为（    ）
A．23πB．223πC．πD．2π
答案：B
分析：根据弧长计算公式，求得底面圆半径以及圆锥的高，即可求得圆锥的体积.
设圆锥的底面圆半径为r，故可得2πr=2π3×3，解得r=1，
设圆锥的高为h，则h=32-12=22，
则圆锥的体积V=13×πr2×h=13×π×22=223π.
故选：B.
4、已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（    ）
A．6B．12C．24D．48
答案：D
分析：首先由勾股定理求出斜高，即可求出侧面积；
解：正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则其斜高h'=52-622=4，所以正四棱锥的侧面积S=12×4×6×4=48
故选：D
5、在空间中，下列命题是真命题的是（    ）
A．经过三个点有且只有一个平面
B．平行于同一平面的两直线相互平行
C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面
答案：D
分析：由三点共线判断A；由线面、线线位置关系判断B；根据等角定理判断C；由线面平行和垂直的判定以及性质判断D.
当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故A错误；
平行于同一平面的两直线可能相交，故B错误；
由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误；
如果两个相交平面α,β垂直于同一个平面γ，且α∩β=l，则在平面α、β内分别存在直线m,n垂直于平面γ，由线面垂直的性质可知n//m，再由线面平行的判定定理得m//β，由线面平行的性质得出m//l，则l⊥γ，故D正确；
故选：D
6、《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1=AB=2.下列说法错误的是（    ）

A．四棱锥B-A1ACC1为“阳马”
B．四面体A1C1CB为“鳖臑”
C．四棱锥B-A1ACC1体积最大为23
D．过A点分别作AE⊥A1B于点E，AF⊥A1C于点F，则EF⊥A1B
答案：C
分析：由新定义结合线面垂直的判定、性质、体积公式逐项判断即可得解.
底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”.
所以在堑堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，侧棱AA1⊥平面ABC,
在选项A中，因为AA1⊥BC，AC⊥BC，且AA1∩AC=A，则BC⊥平面AA1C1C，
且AA1C1C为矩形，所以四棱锥B-A1ACC1为“阳马”，故A正确；
在选项B中，由A1C1⊥BC，A1C1⊥C1C且C1C∩BC=C，
所以A1C1⊥平面BB1C1C，所以A1C1⊥BC1，则△A1BC1为直角三角形，
由BC⊥平面AA1C1C，得△A1BC,△CC1B为直角三角形，
由“堑堵”的定义可得△A1C1C为直角三角形，所以四面体A1C1CB为“鳖臑”，故B正确;
在选项C中，在底面有4=AC2+BC2≥2AC⋅BC，即AC⋅BC≤2，
当且仅当AC=BC时取等号，
则VB-A1ACC1=13SA1ACC1×BC=13AA1×AC×BC=23AC×BC≤43，所以C不正确；
在选项D中，由BC⊥平面AA1C1C，则BC⊥AF,AF⊥A1C且A1C∩BC=C，
则AF⊥平面A1BC，所以AF⊥A1B,
又AE⊥A1B且AF∩AE=A，则A1B⊥平面AEF，则A1B⊥EF，所以D正确.
故选：C.
7、下列条件中，能得出直线m与平面α平行的是（    ）
A．直线m与平面α内的所有直线平行
B．直线m与平面α内的无数条直线平行
C．直线m与平面α没有公共点
D．直线m与平面α内的一条直线平行
答案：C
分析：根据线面平行的判定，线面平行的性质逐个辨析即可.
对A，直线m与平面α内的所有直线平行不可能，故A错误； 
对B，当直线m在平面α内时，满足直线m与平面α内的无数条直线平行，但m与α不平行；
对C，能推出m与α平行；
对D，当直线m在平面α内时，m与α不平行.
故选：C.
8、如图已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（    ）

A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN//平面ABCD
B．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1
C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN//平面ABCD
D．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1
答案：A
分析：由正方体间的垂直、平行关系，可证MN//AB,A1D⊥平面ABD1，即可得出结论.

连AD1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
M是A1D的中点，所以M为AD1中点，
又N是D1B的中点，所以MN//AB，
MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD，
所以MN//平面ABCD.
因为AB不垂直BD，所以MN不垂直BD
则MN不垂直平面BDD1B1，所以选项B,D不正确；
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1⊥A1D，
AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，
AD1∩AB=A，所以A1D⊥平面ABD1，
D1B⊂平面ABD1，所以A1D⊥D1B，
且直线A1D,D1B是异面直线，
所以选项C错误，选项A正确.
故选：A.
小提示：关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.
多选题
9、已知点P在△ABC所在平面内，则（    ）
A．满足PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA时，P是△ABC的外心
B．满足PA⃑+PB⃑+PC⃑=0→时，P是△ABC的重心
C．满足sinA⋅PA⃑+sinB⋅PB⃑+sinC⋅PC⃑=0→时，P是△ABC的内心
D．满足sin2A⋅PA⃑+sin2B⋅PB⃑+sin2C⋅PC⃑=0→时，P是△ABC的垂心
答案：BC
分析：A.根据向量数量积的运算律变形，利用数量积的性质，即可判断选项；B.利用向量加法的运算公式，结合三角形重心的性质，即可判断选项；C.结合正弦定理，以及转化向量，变形为PA=-bca+b+c⋅ABAB+ACAC，即可判断选项；D.构造特殊三角形，即可判断选项.
A. PA⋅PB=PB⋅PC，得PA-PC⋅PB=0，即CA⊥PB，
同理AB⊥PC，CB⊥PA，所以点P是△ABC三条垂线的交点，所以P是△ABC的垂心，故A错误；
B.若PA+PB+PC=0时，PA=-PB+PC，设点O是BC的中点，所以PA=-2PO，
同理设O1,O2是AB和AC的中点，所以PC=-2PO1，PB=-2PO2，所以P是△ABC的三条中线的交点，即点P是△ABC的重心，故B正确；
C. sinA⋅PA+sinB⋅PB+sinC⋅PC=0，由正弦定理可知
a⋅PA+b⋅PB+c⋅PC=0⇒a⋅PA=-b⋅PA+AB-c⋅PA+AC，
所以a+b+c⋅PA=-bc⋅ABAB-bc⋅ACAC=-bc⋅ABAB+ACAC,
故PA=-bca+b+c⋅ABAB+ACAC，所以点P在∠A的角平分线上，
同理可证明点P在∠B和∠C的角平分线上，故点P为△ABC的内心，故C正确；
D.当△ABC是直角三角形，且∠C=90∘，∠A=60∘，∠B=30∘时，满足sin2A⋅PA+sin2B⋅PB+sin2C⋅PC=0时，即PA+PB=0，即点P是斜边AB的中点，点P是△ABC的外心，不是垂心，故D错误.
故选：BC
10、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是棱CC1上一动点(与C.C1不重合)，点E为点C在平面AB1C1D上的正投影，点P在平面AB1C1D上的正投影为点Q，点Q在直线CD上的正投影为点F，下列结论中正确的是（    ）

A．BC⊥平面PQFB．CE与BD所成角为30°
C．线段PE长度的取值范围是12,22D．存在点P使得PF//平面AB1C1D
答案：ACD
解析：对于A，易知平面PQF即为平面CC1D1D判断；对于B，由CE∥A1B，则∠A1BD为所求判断；对于C，由PE⊥CC1时，线段PE最短，点P与C､C1重合最长判断；对于D， C1P=x，由比例DFDC=DQC1D=C1PC1C求解判断.
如图所示：

对于A，由题意，点E为C1D的中点，过点P作直线垂直于C1D，则垂足为Q，过Q作直线垂直于CD，则垂足为F，故平面PQF即平面CC1D1D，又BC⊥平面CC1D1D，即BC⊥平面PQF.故正确.
对于B，CE∥A1B，∠A1BD为所求，又△A1BD为等边三角形，故CE与BD所成角为60°，故错误.
对于C，当PE⊥CC1时，线段PE最短为12CD=12；当点P与C､C1重合时，PE为22，又点P与C､C1不重合，故线段PE长度的取值范围是12,22，故正确.
对于D，若PF//平面AB1C1D，又平面AB1C1D∩平面CC1D1D=C1D，PF⊂平面CC1D1D，则PF∥C1D，设C1P=x，PQ∥CE，Q在线段C1D上.，C1QC1E=C1PC1C=x1，∴C1QC1D=C1Q2C1E=x2，∴DQC1D=C1D-C1QC1D=1-x2，又QF∥CC1，∴DFDC=DQC1D=C1PC1C，∴1-x2=x1，∴x=23，∴点P为棱CC1上靠近C的三等分点，故正确.
故选：ACD
11、在空间四面体ABCD中，如图，E,F,G,H分别是AB,BC,AD,DC的中点，则下列结论一定正确的为（    ）

A．EG=FHB．EF=GH
C．EH与FG相交D．EG=HG
答案：ABC
分析：由题易得四边形EFHG为平行四边形，即可得到结论.
如图

∵E,F,G,H分别是AB,BC,AD,DC的中点，
∴EG∥BD且EG=12BD， FH∥BD且FH=12BD，
∴EG∥FH且EG=FH，
∴四边形EFHG为平行四边形，
∴选项ABC正确；
又由题可知HG=12AC，EG与HG不一定相等，故选项D错误.
故选：ABC.
12、如图所示，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足MN//平面ABC的是（    ）
A．B．
C．D．
答案：BC
分析：根据线面平行的判定定理或面面平行的性质定理，即可得解．
解：对于A，如图所示，点E，F为正方体的两个顶点，则MN//EF//AC，
所以N、M、C、A四点共面，
同理可证AM//BC，即B、C、M、A四点共面，
∴MN⊂平面ABC，故A错误；

对于B，如图所示，D为正方体的一个顶点，则AC//MD，BC//ND，
AC⊂平面ABC，DM⊄平面ABC，所以DM//平面ABC，同理可证DN//平面ABC
又MD∩ND=D，MD、ND⊂平面DMN，
∴平面ABC//平面DMN，
又MN⊂平面DMN，
∴MN//平面ABC，故B正确；

选项C，如图所示，G为正方体的一个顶点，则平面ABC//平面GMN，
∵MN⊂平面GMN，
∴MN//平面ABC，故C正确；

对于D，连接CN，则AB//CN，
∴A，B，C，N四点共面，
∴MN∩平面ABC=N，与MN//平面ABC相矛盾，故D错误．

故选：BC．
填空题
13、已知一个圆锥的侧面积为π2，若其左视图为正三角形，则该圆锥的体积为________.
答案：3π24##324π
分析：由圆锥侧面积公式求得底面半径r=12，体高为32，应用圆锥的体积公式求体积.
由题设，令圆锥底面半径为r，则体高为3r，母线为2r，
所以12×2r×2πr=π2，则r=12，
故圆锥的体积为13×3r×πr2=3π24.
所以答案是：3π24
14、如图，平面OAB⊥平面α，OA⊂α，OA=AB，∠OAB=120°．平面α内一点P满足PA⊥PB，记直线OP与平面OAB所成角为θ，则tanθ的最大值是_________．

答案：612
分析：作出图形，找出直线OP与平面OAB所成的角θ，证出PA⊥平面PBH，得出PA⊥PH，得出点P的轨迹就是平面α内以线段AH为直径的圆(A点除外)，转化成与圆有关的最值问题，即可求出结果.
如图，

过点B作BH⊥OA，交OA的延长线于点H，连接PH，OP，
取AH的中点为E，连接PE，过点P作PF⊥OA，垂足为F，
∵平面OAB⊥平面α，且平面OAB∩平面α=OA，BH⊂平面OAB，PF⊂α，
∴BH⊥α，PF⊥平面OAB，∴OP在平面OAB上的射影就是直线OA，
故∠AOP就是直线OP与平面OAB所成的角θ，即∠AOP=θ，
∵AP⊂α，∴AP⊥BH，
又∵PA⊥PB，PB∩BH=B，PB，BH⊂平面PBH，
∴PA⊥平面PBH，∵PH⊂平面PBH，∴PA⊥PH，
故点P的轨迹就是平面α内以线段AH为直径的圆(A点除外)，
∵OA=AB，且∠OAB=120∘，∴∠BAH=60∘，
设OA=a(a>0)，则AB=a，从而AH=AB⋅cos60∘=a2，
∴PE=12AH=a4，如图，

当且仅当PE⊥OP，即OP是圆E的切线时，角θ有最大值，tanθ有最大值，
tanθ取得最大值为：PEOP=PEOE2-PE2=a4(a+a4)2-(a4)2=612．
所以答案是：612.
15、如图，在三棱锥P-ABC中，平面EFMN平行于对棱AC,PB,AC=PB=2,AC⊥PB，截面EFMN面积的最大值是______.

答案：1
分析：由线面平行的性质可得AC//EN、AC//MF且PB//EF、PB//MN，易得EFMN为平行四边形，结合AC⊥PB有EFMN为矩形，进而设PEPA=ENAC=λ (0<λ<1)，由已知求EN、EF关于λ的表达式，即可得EFMN面积关于λ的函数，利用二次函数性质求最值即可.
由题设，AC//面EFMN，又AC,EN⊂面PAC，面PAC∩面EFMN=EN，
所以AC//EN，同理可证AC//MF，故EN//MF，
又PB//面EFMN，又PB,EF⊂面PAB，面PAB∩面EFMN=EF，
所以PB//EF，同理可证PB//MN，故EF//MN，
故EFMN为平行四边形，又AC⊥PB，即EN⊥EF，则EFMN为矩形，
若PEPA=ENAC=λ (0<λ<1)，则EAPA=EFPB=1-λ，又AC=PB=2，
所以EN=2λ，EF=2(1-λ)，又EFMN面积为S=EN⋅EF=4λ(1-λ)，
所以S=-4(λ-12)2+1，故当λ=12时Smax=1.
所以答案是：1.

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