人教版2024高中数学必修二第八章立体几何初步(四十四).docx

人教版2024高中数学必修二第八章立体几何初步(四十四)1单选题1、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约为（）A100cm3B200cm3C300cm3D400cm3答案：B分析：根据题意可知圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为h，所以h-4h=610，求出h的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为h，所以h-4h=610，解得：h=10，则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，所以该壶的容积V=135210-13326=1963200cm3.故选：B.2、圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（）A11B12C21D23答案：A分析：按圆柱侧面积和球的表面积公式计算即可.设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，圆柱的侧面积=2r2r=4r2，球的表面积为4r2，其比例为1:1，故选：A.3、已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为23的扇形，则该圆锥的体积为（）A23B223CD2答案：B分析：根据弧长计算公式，求得底面圆半径以及圆锥的高，即可求得圆锥的体积.设圆锥的底面圆半径为r，故可得2r=233，解得r=1，设圆锥的高为h，则h=32-12=22，则圆锥的体积V=13r2h=1322=223.故选：B.4、已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（）A6B12C24D48答案：D分析：首先由勾股定理求出斜高，即可求出侧面积；解：正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则其斜高h=52-622=4，所以正四棱锥的侧面积S=12464=48故选：D5、在空间中，下列命题是真命题的是（）A经过三个点有且只有一个平面B平行于同一平面的两直线相互平行C如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等D如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面答案：D分析：由三点共线判断A；由线面、线线位置关系判断B；根据等角定理判断C；由线面平行和垂直的判定以及性质判断D.当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故A错误；平行于同一平面的两直线可能相交，故B错误；由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误；如果两个相交平面,垂直于同一个平面，且=l，则在平面、内分别存在直线m,n垂直于平面，由线面垂直的性质可知n/m，再由线面平行的判定定理得m/，由线面平行的性质得出m/l，则l，故D正确；故选：D6、九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵ABC-A1B1C1中，ACBC，且AA1=AB=2.下列说法错误的是（）A四棱锥B-A1ACC1为“阳马”B四面体A1C1CB为“鳖臑”C四棱锥B-A1ACC1体积最大为23D过A点分别作AEA1B于点E，AFA1C于点F，则EFA1B答案：C分析：由新定义结合线面垂直的判定、性质、体积公式逐项判断即可得解.底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”.所以在堑堵ABC-A1B1C1中，ACBC，侧棱AA1平面ABC,在选项A中，因为AA1BC，ACBC，且AA1AC=A，则BC平面AA1C1C，且AA1C1C为矩形，所以四棱锥B-A1ACC1为“阳马”，故A正确；在选项B中，由A1C1BC，A1C1C1C且C1CBC=C，所以A1C1平面BB1C1C，所以A1C1BC1，则A1BC1为直角三角形，由BC平面AA1C1C，得A1BC,CC1B为直角三角形，由“堑堵”的定义可得A1C1C为直角三角形，所以四面体A1C1CB为“鳖臑”，故B正确;在选项C中，在底面有4=AC2+BC22ACBC，即ACBC2，当且仅当AC=BC时取等号，则VB-A1ACC1=13SA1ACC1BC=13AA1ACBC=23ACBC43，所以C不正确；在选项D中，由BC平面AA1C1C，则BCAF,AFA1C且A1CBC=C，则AF平面A1BC，所以AFA1B,又AEA1B且AFAE=A，则A1B平面AEF，则A1BEF，所以D正确.故选：C.7、下列条件中，能得出直线m与平面平行的是（）A直线m与平面内的所有直线平行B直线m与平面内的无数条直线平行C直线m与平面没有公共点D直线m与平面内的一条直线平行答案：C分析：根据线面平行的判定，线面平行的性质逐个辨析即可.对A，直线m与平面内的所有直线平行不可能，故A错误；对B，当直线m在平面内时，满足直线m与平面内的无数条直线平行，但m与不平行；对C，能推出m与平行；对D，当直线m在平面内时，m与不平行.故选：C.8、如图已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（）A直线A1D与直线D1B垂直，直线MN/平面ABCDB直线A1D与直线D1B平行，直线MN平面BDD1B1C直线A1D与直线D1B相交，直线MN/平面ABCDD直线A1D与直线D1B异面，直线MN平面BDD1B1答案：A分析：由正方体间的垂直、平行关系，可证MN/AB,A1D平面ABD1，即可得出结论.连AD1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1D的中点，所以M为AD1中点，又N是D1B的中点，所以MN/AB，MN平面ABCD,AB平面ABCD，所以MN/平面ABCD.因为AB不垂直BD，所以MN不垂直BD则MN不垂直平面BDD1B1，所以选项B,D不正确；在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1A1D，AB平面AA1D1D，所以ABA1D，AD1AB=A，所以A1D平面ABD1，D1B平面ABD1，所以A1DD1B，且直线A1D,D1B是异面直线，所以选项C错误，选项A正确.故选：A.小提示：关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.多选题9、已知点P在ABC所在平面内，则（）A满足PAPB=PBPC=PCPA时，P是ABC的外心B满足PA+PB+PC=0时，P是ABC的重心C满足sinAPA+sinBPB+sinCPC=0时，P是ABC的内心D满足sin2APA+sin2BPB+sin2CPC=0时，P是ABC的垂心答案：BC分析：A.根据向量数量积的运算律变形，利用数量积的性质，即可判断选项；B.利用向量加法的运算公式，结合三角形重心的性质，即可判断选项；C.结合正弦定理，以及转化向量，变形为PA=-bca+b+cABAB+ACAC，即可判断选项；D.构造特殊三角形，即可判断选项.A.PAPB=PBPC，得PA-PCPB=0，即CAPB，同理ABPC，CBPA，所以点P是ABC三条垂线的交点，所以P是ABC的垂心，故A错误；B.若PA+PB+PC=0时，PA=-PB+PC，设点O是BC的中点，所以PA=-2PO，同理设O1,O2是AB和AC的中点，所以PC=-2PO1，PB=-2PO2，所以P是ABC的三条中线的交点，即点P是ABC的重心，故B正确；C.sinAPA+sinBPB+sinCPC=0，由正弦定理可知aPA+bPB+cPC=0aPA=-bPA+AB-cPA+AC，所以a+b+cPA=-bcABAB-bcACAC=-bcABAB+ACAC,故PA=-bca+b+cABAB+ACAC，所以点P在A的角平分线上，同理可证明点P在B和C的角平分线上，故点P为ABC的内心，故C正确；D.当ABC是直角三角形，且C=90，A=60，B=30时，满足sin2APA+sin2BPB+sin2CPC=0时，即PA+PB=0，即点P是斜边AB的中点，点P是ABC的外心，不是垂心，故D错误.故选：BC10、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是棱CC1上一动点(与C.C1不重合)，点E为点C在平面AB1C1D上的正投影，点P在平面AB1C1D上的正投影为点Q，点Q在直线CD上的正投影为点F，下列结论中正确的是（）ABC平面PQFBCE与BD所成角为30C线段PE长度的取值范围是12,22D存在点P使得PF/平面AB1C1D答案：ACD解析：对于A，易知平面PQF即为平面CC1D1D判断；对于B，由CEA1B，则A1BD为所求判断；对于C，由PECC1时，线段PE最短，点P与CC1重合最长判断；对于D，C1P=x，由比例DFDC=DQC1D=C1PC1C求解判断.如图所示：对于A，由题意，点E为C1D的中点，过点P作直线垂直于C1D，则垂足为Q，过Q作直线垂直于CD，则垂足为F，故平面PQF即平面CC1D1D，又BC平面CC1D1D，即BC平面PQF.故正确.对于B，CEA1B，A1BD为所求，又A1BD为等边三角形，故CE与BD所成角为60，故错误.对于C，当PECC1时，线段PE最短为12CD=12；当点P与CC1重合时，PE为22，又点P与CC1不重合，故线段PE长度的取值范围是12,22，故正确.对于D，若PF/平面AB1C1D，又平面AB1C1D平面CC1D1D=C1D，PF平面CC1D1D，则PFC1D，设C1P=x，PQCE，Q在线段C1D上.，C1QC1E=C1PC1C=x1，C1QC1D=C1Q2C1E=x2，DQC1D=C1D-C1QC1D=1-x2，又QFCC1，DFDC=DQC1D=C1PC1C，1-x2=x1，x=23，点P为棱CC1上靠近C的三等分点，故正确.故选：ACD11、在空间四面体ABCD中，如图，E,F,G,H分别是AB,BC,AD,DC的中点，则下列结论一定正确的为（）AEG=FHBEF=GHCEH与FG相交DEG=HG答案：ABC分析：由题易得四边形EFHG为平行四边形，即可得到结论.如图E,F,G,H分别是AB,BC,AD,DC的中点，EGBD且EG=12BD，FHBD且FH=12BD，EGFH且EG=FH，四边形EFHG为平行四边形，选项ABC正确；又由题可知HG=12AC，EG与HG不一定相等，故选项D错误.故选：ABC.12、如图所示，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足MN/平面ABC的是（）ABCD答案：BC分析：根据线面平行的判定定理或面面平行的性质定理，即可得解解：对于A，如图所示，点E，F为正方体的两个顶点，则MN/EF/AC，所以N、M、C、A四点共面，同理可证AM/BC，即B、C、M、A四点共面，MN平面ABC，故A错误；对于B，如图所示，D为正方体的一个顶点，则AC/MD，BC/ND，AC平面ABC，DM平面ABC，所以DM/平面ABC，同理可证DN/平面ABC又MDND=D，MD、ND平面DMN，平面ABC/平面DMN，又MN平面DMN，MN/平面ABC，故B正确；选项C，如图所示，G为正方体的一个顶点，则平面ABC/平面GMN，MN平面GMN，MN/平面ABC，故C正确；对于D，连接CN，则AB/CN，A，B，C，N四点共面，MN平面ABC=N，与MN/平面ABC相矛盾，故D错误故选：BC填空题13、已知一个圆锥的侧面积为2，若其左视图为正三角形，则该圆锥的体积为_.答案：324#324分析：由圆锥侧面积公式求得底面半径r=12，体高为32，应用圆锥的体积公式求体积.由题设，令圆锥底面半径为r，则体高为3r，母线为2r，所以122r2r=2，则r=12，故圆锥的体积为133rr2=324.所以答案是：32414、如图，平面OAB平面，OA，OA=AB，OAB=120平面内一点P满足PAPB，记直线OP与平面OAB所成角为，则tan的最大值是_答案：612分析：作出图形，找出直线OP与平面OAB所成的角，证出PA平面PBH，得出PAPH，得出点P的轨迹就是平面内以线段AH为直径的圆(A点除外)，转化成与圆有关的最值问题，即可求出结果.如图，过点B作BHOA，交OA的延长线于点H，连接PH，OP，取AH的中点为E，连接PE，过点P作PFOA，垂足为F，平面OAB平面，且平面OAB平面=OA，BH平面OAB，PF，BH，PF平面OAB，OP在平面OAB上的射影就是直线OA，故AOP就是直线OP与平面OAB所成的角，即AOP=，AP，APBH，又PAPB，PBBH=B，PB，BH平面PBH，PA平面PBH，PH平面PBH，PAPH，故点P的轨迹就是平面内以线段AH为直径的圆(A点除外)，OA=AB，且OAB=120，BAH=60，设OA=a(a0)，则AB=a，从而AH=ABcos60=a2，PE=12AH=a4，如图，当且仅当PEOP，即OP是圆E的切线时，角有最大值，tan有最大值，tan取得最大值为：PEOP=PEOE2-PE2=a4(a+a4)2-(a4)2=612所以答案是：612.15、如图，在三棱锥P-ABC中，平面EFMN平行于对棱AC,PB,AC=PB=2,ACPB，截面EFMN面积的最大值是_.答案：1分析：由线面平行的性质可得AC/EN、AC/MF且PB/EF、PB/MN，易得EFMN为平行四边形，结合ACPB有EFMN为矩形，进而设PEPA=ENAC=(01)，由已知求EN、EF关于的表达式，即可得EFMN面积关于的函数，利用二次函数性质求最值即可.由题设，AC/面EFMN，又AC,EN面PAC，面PAC面EFMN=EN，所以AC/EN，同理可证AC/MF，故EN/MF，又PB/面EFMN，又PB,EF面PAB，面PAB面EFMN=EF，所以PB/EF，同理可证PB/MN，故EF/MN，故EFMN为平行四边形，又ACPB，即ENEF，则EFMN为矩形，若PEPA=ENAC=(01)，则EAPA=EFPB=1-，又AC=PB=2，所以EN=2，EF=2(1-)，又EFMN面积为S=ENEF=4(1-)，所以S=-4(-12)2+1，故当=12时Smax=1.所以答案是：1.15