安阳市高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识汇总大全.docx

安阳市高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识汇总大全

1

单选题
1、设实数x满足x>0，函数y=2+3x+4x+1的最小值为（    ）
A．43-1B．43+2C．42+1D．6
答案：A
解析：将函数变形为y=3x+1+4x+1-1，再根据基本不等式求解即可得答案.
解：由题意x>0，所以x+1>0，
所以y=2+3x+4x+1=2+3x+1-3+4x+1
=3x+1+4x+1-1≥23x+1⋅4x+1-1=43-1，
当且仅当3x+1=4x+1，即x=233-1>0时等号成立，
所以函数y=2+3x+4x+1的最小值为43-1.
故选：A．
小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
2、已知p：a>b>0 q：1a2<1b2，则p是q的（    ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
分析：根据a>b>0与1a2<1b2的互相推出情况判断出属于何种条件.
当a>b>0时，a2>b2>0，所以1a2<1b2，所以充分性满足，
当1a2<1b2时，取a=-2,b=1，此时a>b>0不满足，所以必要性不满足，
所以p是q的充分不必要条件，
故选：A.
3、若不等式ax2+bx+c>0的解集为x-1<x<2，则不等式ax2+1+b(x-1)+c>2ax的解集是（    ）
A．x0<x<3B．xx<0或x>3
C．x1<x<3D．x-1<x<3
答案：A
分析：由题知ba=-1ca=-2，a<0，进而将不等式转化为x2-3x<0，再解不等式即可.
解：由ax2+1+bx-1+c>2ax，整理得ax2+b-2ax+a+c-b>0 ①．
又不等式ax2+bx+c>0的解集为x-1<x<2，
所以a<0，且(-1)+2=-ba(-1)×2=ca，即ba=-1ca=-2②．
将①两边同除以a得：x2+ba-2x+1+ca-ba<0③．
将②代入③得：x2-3x<0，解得0<x<3．
故选：A
4、已知命题“∀x∈R，4x2+(a-2)x+14>0”是假命题，则实数a的取值范围为（    ）
A．-∞,0∪4,+∞B．0,4
C．4,+∞D．0,4
答案：A
分析：先求出命题为真时实数a的取值范围，即可求出命题为假时实数a的取值范围.
若“∀x∈R，4x2+(a-2)x+14>0”是真命题，
即判别式Δ=a-22-4×4×14<0，解得：0<a<4，
所以命题“∀x∈R，4x2+(a-2)x+14>0”是假命题，
则实数a的取值范围为：-∞,0∪4,+∞.
故选：A.
5、不等式5x-x2<6的解集为（    ）
A．x|x<2,或x>3B．x|-1<x<2,或3<x<6
C．x|-1<x<6D．x|2<x<3
答案：B
分析：按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可.
解：∵5x-x2<6，∴-6<5x-x2<6
∴x2-5x-6<0x2-5x+6>0⇒-1<x<6x<2或x>3⇒-1<x<2或3<x<6
则不等式的解集为：{x|-1<x<2或3<x<6}
故选：B.
填空题
6、已知x>0，则2x+42x+1的最小值为__________.
答案：3
分析：将原式变形为2x+1+42x+1-1，然后利用基本不等式求最小值.
解：2x+42x+1=2x+1+42x+1-1≥22x+1⋅42x+1-1=3，当且仅当2x+1=2，即x=12时，等号成立.
所以答案是：3.
7、一般认为，民用住宅窗户面积a与地板面积b的比应不小于10%，即110≤ab<1，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示__________
答案：ab<a+mb+m
分析：运用不等式的性质可得答案.
若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好了，用不等式表示为：ab<a+mb+m，
因为ab-a+mb+m=ab+m-a+mbbb+m=a-bmbb+m<0，所以ab<a+mb+m成立.
所以答案是：ab<a+mb+m.
8、二次函数y=ax2+4x+c的最小值为0，则1a+1c的最小值为______．
答案：1
分析：根据题意可得ac=4，利用基本不等式即可求解.
由二次函数y=ax2+4x+c的最小值为0，
则42-4ac=0，解得ac=4，
所以1a+1c≥21a⋅1c=214=1，
当且仅当a=c时取等号，
所以答案是：1
9、函数y=kx2-2kx+4的定义域为R，则实数k的取值范围为______．
答案：[0,4]
分析：函数y=kx2-2kx+4的定义域为R，等价于kx2-2kx+4≥0恒成立，然后分k=0和k≠0两种情况讨论求解即可得答案
函数y=kx2-2kx+4的定义域为R，等价于kx2-2kx+4≥0恒成立，
当k=0时，显然成立；
当k≠0时，由Δ=(-2k)2-4k×4≤0，得0<k≤4．
综上，实数k的取值范围为[0,4]．
所以答案是：[0,4]
10、已知x,y为正实数，则yx+16x2x+y的最小值为__________．
答案：6
分析：将原式变形为yx+162+yx，结合基本不等式即可求得最值.
由题得yx+16x2x+y= yx+162+yx，
设yx=t(t>0)，则f(t)=t+162+t=t+2+162+t-2≥2(t+2)⋅162+t-2=8-2=6.
当且仅当t=2时取等.
所以yx+16x2x+y的最小值为6.
所以答案是：6
解答题
11、已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0k≠0.
（1）若不等式的解集是xx<-3或x>-2，求k的值；
（2）若不等式的解集是R，求k的取值范围；
（3）若不等式的解集为∅，求k的取值范围．
答案：（1）k=-25；（2）-∞,-66；（3）66,+∞.
分析：（1）由题意可知不等式kx2-2x+6k=0的两根分别为-3、-2，利用韦达定理可求得实数k的值；
（2）由题意得出k<0Δ<0，由此可解得实数k的取值范围；
（3）由题意得出k>0Δ≤0，由此可解得实数k的取值范围.
（1）因为不等式kx2-2x+6k<0k≠0的解集是xx<-3或x>-2，
所以，-3和-2是方程kx2-2x+6k=0的两个实数根，且k<0，
由韦达定理得-3+-2=2k，所以k=-25；
（2）由于不等式kx2-2x+6k<0k≠0的解集是R，
所以k<0Δ=4-24k2<0，解得k<-66，
因此，实数k的取值范围是-∞,-66；
（3）由于不等式kx2-2x+6k<0k≠0的解集为∅，
则不等式kx2-2x+6k≥0k≠0对任意的x∈R恒成立，
所以k>0Δ=4-24k2≤0，解得k≥66.
因此，实数k的取值范围是66,+∞.
小提示：本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了一元二次不等式恒成立，考查计算能力，属于中等题.
12、已知二次函数fx=x2+mx-6m>0的两个零点为x1和x2，且x1-x2=5．
（1）求函数fx的解析式；
（2）解关于x的不等式fx<4-2x．
答案：（1）fx=x2+x-6；（2）x-5<x<2．
分析：（1）利用根与系数的关系，由x1-x2=5求出m=1，即可得到函数fx的解析式；
（2）把原不等式转化为x2+3x-10<0，即可解得.
（1）由题意得：关于x的方程x2+mx-6=0m>0的两个根为x1和x2，
由根与系数的关系得x1+x2=-m,x1x2=-6,
故x2-x12=x1+x22-4x1x2=m2+24=25，
故m2=1．∵m>0，∴m=1，
故fx=x2+x-6．
（2）由fx<4-2x得x2+x-6<4-2x，
即x2+3x-10<0，
即x+5x-2<0，
解得-5<x<2，
故原不等式的解集是x-5<x<2．
13、解关于x的不等式ax2-2≥2x-axa∈R．
答案：详见解析.
分析：分类讨论a，求不等式的解集即可.
原不等式变形为ax2+a-2x-2≥0．
①当a=0时，x≤-1；
②当a≠0时，不等式即为ax-2x+1≥0，
当a>0时，x≥2a或x≤-1；
由于2a--1=a+2a，于是
当-2<a<0时，2a≤x≤-1；
当a=-2时，x=-1；
当a<-2时，-1≤x≤2a．
综上，当a=0时，不等式的解集为(-∞,-1]；当a>0时，不等式的解集为(-∞,-1]∪[2a,+∞)；
当-2<a<0时，不等式的解集为2a,-1；当a=-2时，不等式的解集为-1；当a<-2时，不等式的解集为-1,2a．
14、运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油2+x2360升，司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
答案：(1) y＝130×18x＋2×130360x，x∈[50，100] (或y＝2340x＋1318x，x∈[50，100]).(2) 当x＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.
分析：（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式，（2）利用基本不等式求最值即得结果.
(1)设所用时间为t＝130x (h)，
y＝130x×2×2+x2360＋14×130x，x∈[50，100].
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝130×18x＋2×130360x，x∈[50，100]
(或y＝2340x＋1318x，x∈[50，100]).
(2)y＝130×18x＋2×130360x≥2610，
当且仅当130×18x＝2×130360x，
即x＝1810时等号成立.
故当x＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.
小提示：本题考查函数解析式以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
15、已知函数fx=-x2+mx-m．
（1）若函数fx的最大值为0，求实数m的值．
（2）若函数fx在-1,0上单调递减，求实数m的取值范围．
（3）是否存在实数m，使得fx在2,3上的值域恰好是2,3？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
答案：（1）m=0或m=4；（2）m⩽-2；（3）存在，m=6
分析：（1）配方后得最大值，由最大值为0可解得m的值；
（2）由对称轴在区间的左侧可得；
（3）分类讨论求函数f(x)在[2,3]上的最大值和最小值，由最大值为3最小值为2求解m的值．
（1）f(x)=-x-m22-m+m24，则最大值-m+m24=0，即m2-4m=0，解得m=0或m=4．
（2）函数f(x)图象的对称轴是x=m2，要使f(x)在[-1,0]上单调递减，应满足m2⩽-1，解得m⩽-2．
（3）①当m2⩽2，即m⩽4时，f(x)在[2,3]上递减，
若存在实数m，使f(x)在[2,3]上的值域是[2,3]，则f(2)=3，f(3)=2，
即-4+2m-m=3，-9+3m-m=2，，此时m无解．
②当m2⩾3，即m⩾6时，f(x)在[2,3]上递增，则f(2)=2,f(3)=3,即-4+2m-m=2,-9+3m-m=3,解得m=6．
③当2<m2<3，即4<m<6时，f(x)在[2,3]上先递增，再递减，所以f(x)在x=m2处取得最大值，则fm2=-m22+m⋅m2-m=3，解得m=-2或6，舍去．
综上可得，存在实数m=6，使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]．
小提示：本题考查二次函数的性质，考查二次函数的最值，对称轴，单调性等性质，掌握二次函数的图象与性质是解题关键．

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