高中数学16个二级结论.doc

高中数学16个二级结论结论一奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在集合D上的奇函数,则对任意的xD,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0D,则f(0)=0.例1设函数的最大值为M,最小值为m,则M+m=.跟踪集训1.(1)已知函数,则 =() A.-1B.0 C.1D.2(2)对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中,a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是()A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2结论二 函数周期性问题已知定义在R上的函数f(x),若对任意的xR,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(2)如果f(x+a)= (a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.例2已知定义在R上的函数f(x)满足f =-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1, f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 014)+f(2 015)=()来源:Zxxk.ComA.-2 B.-1 C.0D.1跟踪集训2.(1)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=() A.-2B.-1C.0D.1(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= 则f(2 014)=()A.-1B.0 C.1D.2结论三函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x= 对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点中心对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.例3已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在1,+)上是增函数,不等式f(ax+2)f(x-1)对任意的x恒成立,则实数a的取值范围是()A.-3,-1B.-2,0 C.-5,-1D.-2,1跟踪集训3.(1)若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=.(2)函数y=f(x)对任意xR都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为.结论四反函数的图象与性质若函数y=f(x)是定义在非空数集D上的单调函数,则存在反函数y=f-1(x).特别地,y=ax与y=logax(a0且a1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x对称,即(x0, f(x0)与(f(x0),x0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)的图象上.例4设点P在曲线y= ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为()A.1-ln 2B. (1-ln 2) C.1+ln 2D. (1+ln 2)来源:学科网ZXXK跟踪集训4.若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=()A. B.3 C. D.4结论五两个对数、指数经典不等式1.对数形式:1- ln(x+1)x(x-1),当且仅当x=0时,等号成立.2.指数形式:exx+1(xR),当且仅当x=0时,等号成立.例5设函数f(x)=1-e-x.证明:当x-1时, f(x).跟踪集训5.(1)已知函数f(x)= ,则y=f(x)的图象大致为()(2)已知函数f(x)=ex,xR.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一公共点.结论六三点共线的充要条件设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数与,使得,且.特别地,当P为线段AB的中点时, .例6已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式成立的实数x的取值集合为()A.-1B. C.0D.0,-1跟踪集训6.在梯形ABCD中,已知ABCD,AB=2CD,M、N分别为CD、BC的中点.若,则.结论七三角形“四心”的向量形式设O为ABC所在平面上一点,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则(1)O为ABC的外心 .(2)O为ABC的重心 .(3)O为ABC的垂心 .(4)O为ABC的内心 .例7已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足,则点P的轨迹一定经过() A.ABC的内心 B.ABC的垂心 C.ABC的重心 D.AB边的中点跟踪集训7.(1)P是ABC所在平面内一点,若,则P是ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心(2)O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P点的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心(3)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心结论八等差数列1.若Sm,S2m,S3m分别为等差数列an的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.2.若等差数列an的项数为2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md, .3.若等差数列an的项数为2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am, .例8(1)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=() A.3 B.4 C.5D.6(2)等差数列an的前n项和为Sn,已知am-1+am+1- =0,S2m-1=38,则m等于.跟踪集训8.(1)等差数列an的前n项和为Sn,若S10=20,S20=50,则S30=.(2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227,则数列的公差d=.结论九等比数列已知等比数列an,其公比为q,前n项和为Sn.(1)数列也为等比数列,其公比为.(2)若q=1,则Sn=na1,且an同时为等差数列.(3)若q1,则Sn= .(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍为等比数列(q-1或q=-1且n为奇数),其公比为qn.(5)Sn, , ,仍为等比数列,公比为.例9(1)已知an是首项为1的等比数列,Sn是an的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为() A. 或5B. 或5C. D. (2)设等比数列an的前n项和为Sn,若 =3,则 =()A.2B. C. D.3跟踪集训9.在等比数列an中,公比为q,其前n项和为Sn.已知S5= ,a3= ,则.结论十多面体的外接球和内切球1.长方体的体对角线长d与共点三条棱长a,b,c之间的关系为d2=a2+b2+c2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a2+b2+c2.2.棱长为a的正四面体内切球半径r= ,外接球半径R= .例10已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该三棱锥体积的时,小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切),则小球的表面积等于()A. B. C. D. 跟踪集训10.(1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角边长是1,且其外接球的表面积是16,则该三棱柱的侧棱长为()A. B. C. D.3(2)已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是()A. B.2C. D.3结论十一焦点三角形的面积公式1.在椭圆 (ab0),F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则PF1F2的面积,其中=F1PF2.2.在双曲线1(a0,b0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则PF1F2的面积,其中=F1PF2.例11已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A. B. C.3D.2跟踪集训11.(1)如图,F1,F2是椭圆C1: 与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是() A. B. C. D. (2)已知F1,F2是椭圆C: (ab0)的两个焦点,P为椭圆C一上点,且.若PF1F2的面积为9,则b=.结论十二圆锥曲线的切线问题1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2.2.过椭圆上一点P(x0,y0)的切线方程为.3.已知点M(x0,y0),抛物线C:y2=2px(p0)和直线l:y0y=p(x+x0).(1)当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切,其中M为切点,l为切线.(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线.(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.例12已知抛物线C:x2=4y,直线l:x-y-2=0,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程.跟踪集训12.(1)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0(2)设椭圆C: ,点P,则椭圆C在点P处的切线方程为.结论十三圆锥曲线的中点弦问题1.在椭圆E: (ab0)中:(1)如图所示,若直线y=kx(k0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l,有ll,设其斜率为k0,则k0k= .(2)如图所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1k2= .(3)如图所示,若直线y=kx+m(k0且m0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0k= .提醒该结论常变形为:以椭圆内任意一点(x0,y0)为中点的弦AB的斜率k=.2.在双曲线E: (a0,b0)中,类比上述结论有:(1)k0k=.(2)k1k2=.(3)k0k=.例13已知椭圆E: (ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为() A. B. C. D. 跟踪集训13.(1)椭圆C: 的左,右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆上且直线PA2的斜率的取值范围是-2,-1,那么直线PA1的斜率的取值范围是.(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.对任意k0,求证:PAPB.结论十四圆锥曲线中的一类定值问题在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.图示条件结论已知椭圆 (ab0),定点P(x0,y0)(x0y00)在椭圆上,A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0直线AB的斜率kAB为定值已知双曲线 (a,b0),定点P(x0,y0)(x0y00)在双曲线上,A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0直线AB的斜率kAB为定值已知抛物线y2=2px(p0),定点P(x0,y0)(x0y00)在抛物线上,A,B是抛物线上两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0直线AB的斜率kAB为定值例14已知抛物线C:y2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.证明:直线AB的斜率kAB为定值,并求出该定值.跟踪集训14.已知椭圆C: ,A为椭圆上的定点且坐标为,E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.证明:直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.结论十五圆锥曲线中的一类定点问题若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.(1)对于椭圆 (ab0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点.同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线lAB过定点.(2)对于双曲线 (a0,b0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为.(3)对于抛物线y2=2px(p0)上异于顶点的两动点A,B,若,则弦AB所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x2=2py(p0)上异于顶点的两动点A,B,若,则直线AB过定点(0,2p).例15已知抛物线y2=2px(p0)上异于顶点的两动点A,B满足以AB为直径的圆过顶点.求证:AB所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.跟踪集训15.已知椭圆,直线l:y=kx+m与椭圆交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.结论十六抛物线中的三类直线与圆相切问题AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:的垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1的中点.(1)如图所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.(2)如图所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且|EF|2=|A1A|BB1|.(3)如图所示,以AF为直径的圆与y轴相切.例16过抛物线y2=2px(p0)的对称轴上一点A(a,0)(a0)的直线与抛物线相交于M,N两点,自M,N向直线l:x=-a作垂线,垂足分别为M1,N1.当a= 时,求证:AM1AN1.跟踪集训16.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k=.答案全解全析结论一奇函数的最值性质跟踪集训1.(1)D令g(x)=ln(-3x),xR,则g(-x)=ln(+3x),因为g(x)+g(-x)=ln(-3x)+ln(+3x)=ln(1+9x2-9x2)=ln 1=0,所以g(x)是定义在R上的奇函数.又lg=-lg 2,所以g(lg 2)+g=0,所以f(lg 2)+f=g(lg 2)+1+g+1=2.故选D.(2)D令g(x)=f(x)-c=asin x+bx,易证g(x)是奇函数.又g(-1)+g(1)=f(-1)-c+f(1)-c=f(-1)+f(1)-2c,而g(-1)+g(1)=0,c为整数,f(-1)+f(1)=2c为偶数.1+2=3是奇数,故不可能,选D.结论二 函数周期性问题来源:学,科,网跟踪集训2.(1)D由f(x+2)是偶函数可得f(-x+2)=f(x+2),又由f(x)是奇函数得f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2)=-f(x-2), f(x+4)=-f(x), f(x+8)=f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数,所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1,故选D.(2)C当x0时,有f(x)=f(x-1)-f(x-2),同理有f(x+1)=f(x)-f(x-1),+得f(x+1)=-f(x+2),即f(x+3)=-f(x).所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),T=6.故f(2 014)=f(4)=-f(1)=f(-1)-f(0)=log22-0=1,故选C.结论三函数的对称性跟踪集训3.(1)答案3解析因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.(2)答案4解析因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数. f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2 017)=f(5044+1)=f(1)=4,所以f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f (2 014)=0,所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.结论四反函数的图象与性质跟踪集训4.C因为2x+2x=5,所以x+2x-1=,同理x+log2(x-1)=,令t=x-1,则x=t+1,即t1是t+2t=的解,t2是t+log2t=的解,且t1=x1-1,t2=x2-1.如图所示,t1为函数y=2t与y=-t的图象交点P的横坐标,t2为函数y=log2t与y=-t的图象交点Q的横坐标,所以P(t1,),Q(t2,log2t2),所以P,Q为对称点,且t1+t2=t1+=t1+=.所以x1+x2=t1+1+t2+1=+2=.故选C.结论五两个对数、指数经典不等式跟踪集训5.(1)B由题意得f(x)的定义域为x|x-1且x0,所以排除选项D.令g(x)=ln(x+1)-x,则由经典不等式ln(x+1)x知,g(x)0恒成立,故f(x)=0,即m24k2+3,即m24k2+3,因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),所以(x1-2,y1)(x2-2,y2)=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0.把代入化简得7m2+16km+4k2=0,得m=-2k或m=-.当m=-2k时,直线l:y=kx-2k过右顶点(2,0),与题意不符,故舍去;当m=-时,直线l:y=kx-过定点,且满足m24k2+3,符合题意.所以l:y=kx+m过定点.结论十六抛物线中的三类直线与圆相切问题跟踪集训16.答案2解析如图所示,因为=0,所以MAMB,故点M在以AB为直径的圆上,又准线为x=-2,直线AB经过焦点F(2,0),所以有MFAB,又kMF=-,所以kAB=2.