自考04183概率论与数理统计(经管类)-自考核心考点笔记-自考重点资料.doc

《概率论与数理统计（经管类）》 柳金甫、王义东 主编, 武汉大学出版社新版
第一章 随机事件与概率
第二章 随机变量及其概率分布
第三章 多维随机变量及其概率分布
第四章 随机变量的数字特征
第五章 大数定律及中心极限定理
第六章 统计量及其抽样分布
第七章 参数估计
第八章 假设检验
第九章 回归分析
前言
本课程包括两大部分：第一部分为概率论部分：第一章至第五章，第五章为承前启后章，第二部分为数理统计部分：第六章至第九章。
第一章　随机事件与概率
本章概述
。
内容简介
本章是概率论的基础部分，所有内容围绕随机事件和概率展开，重点内容包括：随机事件的概念、关系及运算,概率的性质,条件概率与乘法公式，事件的独立性。
本章内容
§1。1 随机事件
1。随机现象：
确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；
不确定现象:
随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数:在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；
其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等.
结论：随机现象是不确定现象之一。
2。随机试验和样本空间
随机试验举例:
E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。
E2：掷一枚骰子，观察出现的点数.
E3:记录110报警台一天接到的报警次数.
E4：在一批灯泡中任意抽取一个,测试它的寿命。
E5：记录某物理量(长度、直径等）的测量误差。
E6：在区间［0,1]上任取一点,记录它的坐标。
随机试验的特点：①试验的可重复性;②全部结果的可知性;③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。
样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点,记作。所有样本点的集合称为样本空间，记作。
举例：掷骰子：＝｛1，2，3，4，5，6｝,＝1,2，3，4，5，6；非样本点:“大于2点”，“小于4点"等。
3。随机事件：样本空间的子集,称为随机事件，简称事件,用A，B,C，…表示。只包含一个样本点的单点子集｛｝称为基本事件。
必然事件：一定发生的事件,记作
不可能事件：永远不能发生的事件,记作
4。随机事件的关系和运算
由于随机事件是样本空间的子集，所以,随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。
（1）事件的包含和相等
包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。
性质:
例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。
… … (中间部分略)
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注：与集合包含的区别。
相等：若且，则称事件A与事件B相等,记作A＝B。
（2）和事件
概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并,记作或A＋B.
解释:包括三种情况①A发生，但B不发生，②A不发生，但B发生，③A与B都发生。
性质：①,；②若；则。
推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和
举例:A:“掷骰子出现的点数小于3”与B:“掷骰子点数大于4”则A∪B｛1,2,5,6}
（3）积事件
概念：称“事件A与事件B同时发生"为事件A与事件B的积事件,或称为事件A与B的交，记作A∩B或AB。
解释：A∩B只表示一种情况，即A与B同时发生。
性质：①，;② 若，则AB＝A。
推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和.
举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B：“掷骰子点数大于2”则AB＝｛3, 4}
（4)差事件
概念:称“事件A发生而事件B不发生"为事件A与事件B的差事件，记作A－B。
性质:① A－；② 若，则A－B＝。
举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B:“掷骰子点数大于2”则A－B＝{1，2}
(5）互不相容事件
概念：若事件A与事件B不能同时发生，即AB＝，则称事件A与事件B互不相容。
推广:n个事件A1，A2，…，An两两互不相容，即AiAj＝,i≠j,i，j＝1，2,…n。
举例:A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于5”则A与B互不相容.
（6）对立事件：
概念：称事件“A不发生”为事件A的对立事件，记做。
解释:事件A与B互为对立事件，满足：①AB＝ф;②A∪B＝Ω
举例：A：“掷骰子出现的点数小于3"与B:“掷骰子点数大于2”则A与B相互对立
性质:①；
②，；
③A－B＝＝A－AB；
注意：教材第5页的第三条性质有误。
④A与B相互对立A与B互不相容。
小结：关系：包含，相等,互不相容，互为对立；
运算：和,积，差，对立。
（7）事件的运算性质
①（和、积)交换律　A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A；
②（和、积）结合律　（A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（A∩B）∩C＝A∩（B∩C)；
③(和、积）分配律　A∪(B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩(B∪C)＝（A∩B）∪（A∩C）
④对偶律　；.
例1　习题1。1，5(1）（2)
设A,B为两个随机事件,试利用事件的关系与运算证明：
证明：
证明：
例2。习题1.1,6
请用语言描述下列事件的对立事件：
（1）A表示“抛两枚硬币，都出现正面”；
答案：:“抛两枚硬币，至少有一枚出现反面".
(2）B表示“生产4个零件，至少有1个合格”。
答案：：“生产4个零件，没有1个是合格的”。
§1.2　概率
1.频率与概率
（1）频数与频率：在相同条件下进行n次试验，事件A发生nA次，则称nA为事件A发生的频数;而比值nA/n称为事件A发生的频率,记作fn（A）。
(2）fn(A）的试验特性：随n的增大，fn（A）稳定地趋于一个数值，称这个数值为概率,记作P（A）。
（3）由频率的性质推出概率的性质
①推出①
②，推出②P（ф)＝0,P（Ω）＝1
③A，B互不相容，推出③P（A∪B）=P（A)＝P(B），可推广到有限多个和无限可列多个.
2.古典概型
概念：具有下面两个特点的随机试验的概率模型,称为古典概型：
①基本事件的总数是有限个,或样本空间含有有限个样本点；
②每个基本事件发生的可能性相同。
计算公式：
例3。P9　例1－8。
抛一枚均匀硬币3次，设事件A为“恰有1次出现正面”,B表示“3次均出现正面"，C表示“至少一次出现正面”,试求P（A），P（B），P(C)。
　解法1　设出现正面用H表示，出现反面用T表示，则样本空间Ω={HHH,THH，HTH,HHT，TTH，THT,HTT，TTT}，样本点总数n=8，又因为
A={TTH，THT，HTT｝，B=｛HHH}，
C=｛HHH，THH，HTH,HHT,TTH，THT，HTT｝，
所以A,B，C中样本点数分别为
rA=3，rB=1，rc=7，
则　
解法2　抛一枚硬币3次,基本事件总数n=23,事件A包含了3个基本事件：“第i次是正面，其他两次都是反面”,i＝1，2，3,而且rA=3。
显然B就是一个基本事件，它包含的基本事件数rB=1
它包含的基本事件数rC=n—rB=23-1=7,
故　
例4。P10　例　1－12.
一批产品共有100件，其中3件次品。现从这批产品中接连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况：
（1）不放回抽样，第一次取一件不放回，第二次再抽取一件；
（2）放回抽样,第一次取一件检查后放回，第二次再抽取一件。
… … （中间部分略)
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试分别针对上述两种情况，求事件A“第一次抽到正品，第二次抽到次品”的概率.
解：（1）
（2）
3.概率的定义与性质
(1)定义:设Ω是随机试验E的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为
P（A）,称P（A）为事件A的概率，如果它满足下列条件：
①P（A）≥0；
②P(Ω)＝1；
③设,，…,，…是一列互不相容的事件，则有
.
（2)性质
①，；
②对于任意事件A,B有;
③;
④.
例5。习题1.2　11
设P（A)=0。7，P（B）=0。6，P（A－B）＝0.3，求
解:（1）P(A－B)＝P（A）－P（AB）
∴P（AB)＝P（A）－P（A－B）
＝0.7－0。3＝0。4
例6.　习题1。2　13
设A，B,C为三个随机事件，且P（A）＝P（B）＝P（C)＝，P（AB)＝P（BC）＝,P（AC)＝0。求：
（1)A,B，C中至少有一个发生的概率;
(2)A，B，C全不发生的概率。
解：
（1）“A，B，C至少有一个发生”表示为A∪B∪C，则所求概率为
P（A∪B∪C)＝P（A)+P(B）+P（C）-P（AB）－P（AC）－P（BC)+P（ABC)
§1.3　条件概率
1.条件概率与乘法公式
条件概率定义:设A，B为两个事件,在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记做P（A|B）。
例7　P13例　1－17。
某工厂有职工400名，其中男女职工各占一半，男女职工中技术优秀的分别为20人与40人,从中任选一名职工，试问:
（1）该职工技术优秀的概率是多少？
（2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率是多少？
解：设A表示“选出的职工技术优秀”，B表示“选出的职工为男职工”。按古典概型的计算方法得：
(1)
（2）
计算公式：设AB为两个事件，且P（B）>0,则。
乘法公式：当P（A）>0时,有P（AB)＝P（A）P（B|A）;
当P（B)>0时，有P（AB）＝P(B）P(A|B)。
推广：
①设P（AB）>0，则P(ABC）＝P(A）P(B|A）P（C｜AB）
②设，则
例8　P15例　1－22。
盒中有5个白球2个黑球，连续不放回地在其中取3次球，求第三次才取到黑球的概率。
解:设Ai（i=1，2，3）表示“第i次取到黑球”，于是所求概率为
2。全概率公式与贝叶斯公式
（1）划分:设事件，，…，满足如下两个条件:
①,，…,互不相容,且，i＝1，2，…，n;
②，即，，…,至少有一个发生,则称，，…，为样本空间Ω的一个划分.
当，,…，为样本空间Ω的一个划分时，每次试验有且仅有其中一个发生。
（2)全概公式：设随机试验的样本空间为Ω,，,…，为样本空间Ω的一个划分,B为任意一个事件，则.
证明：
注意：当0<P（A）〈1时，A与就是Ω的一个划分,对任意事件B则有全概公式的最简单形式：
例9　P15例　1－24
盒中有5个白球3个黑球,连续不放回地从中取两次球，每次取一个，求第二次取球取到白球的概率.
解：设A表示“第一次取球取到白球”，B表示“第二次取球取到白球"，则
例10　P16　例1－25
在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品，它们的产量各占30%,35%,35％,并且在各自的产品中废品率分别为5%，4％，3%,求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率.
解：设A1表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为甲所生产”，A2表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为乙所生产”，A3表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为丙所生产"，B表示“从该厂的这种产品中任取一件为次品”,则
由全概率公式得　＝30％×5%+35%×4%+35％×3%=3。95%
（3）贝叶斯公式：设随机试验的样本空间为Ω,，,…，为样本空间Ω的一个划分，B为任意一个事件，且P（B）>0,则
，i＝1，2，…，n.
注意:①在使用贝叶斯公式时，往往先利用全概公式计算P（B)；
②理解贝叶斯公式“后验概率”的意义.
例题11　P17　例1－28
【例1-28】在例1—25的假设下，若任取一件是废品，分别求它是由甲、乙、丙生产的概率。
解：由贝叶斯公式,
例题12　P17　例1－29
【例1-29】针对某种疾病进行一种化验，患该病的人中有90％呈阳性反应,而未患该病的人中有5％呈阳性反应，设人群中有1%的人患这种病，若某人做这种化验呈阳性反应，则他患这种疾病的概率是多少?
解：设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应"，则
P(A）=0。01，,P（B｜A）=0.9，
由全概率公式得
=0.01×0。9+0。99×0.55=0。0585
再由贝叶斯公式得
§1。4 事件的独立性
1。事件的独立性
（1）概念:若P（AB）＝P（A）P（B）,则称事件A与事件B相互独立，简称A，B独立.
解释：事件A，B相互独立的含义是:尽管A,B同时发生，事件A发生的概率对事件B发生的概率没有影响，如“两个同时射击的射击员击中靶子的环数”，“两个病人服用同一种药物的疗效”等.因此，在实际应用中,往往根据实际情况来判断事件的独立性，而不是根据定义。
(2)性质:① 设P(A）〉0，则A与B相互独立的充分必要条件是。
证明:
② 若A与B相互独立，则A与，与B，与都相互独立。
证明：
只证，B相互独立
则只需证
=P(B）-P（AB）
=P（B）-P（A)P（B)
=P（B）［1—P(A）]
从而得证。
例题1。P19　
【例1－30】两射手彼此独立地向同一目标射击.设甲射中目标的概率为0。9，乙射中目标的概率为0。8，求目标被击中的概率。
解
设A表示“甲射中目标",B表示“乙射中目标”，C表示“目标被击中”，则C=A∪B。
P（C)=P（A∪B)
=P（A）+P（B）-P（AB）
由题意,A，B相互独立
∴P(AB）=P(A）P(B）
=1-0。1×0。2=0。98
注:A，B相互独立时,概率加法公式可以简化为。
例题2.P19　
【例1－31】袋中有5个白球3个黑球，从中有放回地连续取两次,每次取一个球，求两次取出的都是白球的概率。
解：设A表示“第一次取球取到白球",B表示“第二次取球取到白球”，由于是有放回抽取，A与B是相互独立的.所求概率为
P（AB)=P（A）P（B）=×=
点评：
有放回：第一次不管抽取的是什么球，对第二次抽取没影响。显然，两次抽取是相互独立的。
不放回：第一次取到白球概率就是,第二次再取到白球的概率是。显然，两次抽取不是相互独立的。
　注:如果是“有放回”，则两次取球就不是相互独立的。
（3)推广：① 3个事件相互独立:设A，B,C为3个事件,若满足
P（AB）＝P（A)P（B）， P(AC）＝P（A）P(C）， P（BC）＝P（B）P（C)，
P（ABC）＝P(A)P(B）P（C)
则称A，B，C相互独立，简称A,B,C独立。
② 3个事件两两相互独立:设A,B，C为3个事件，若满足
　 P（AB）＝P（A）P（B）, P(AC）＝P(A）P（C）， P(BC）＝P(B）P（C），
　则称A，B，C两两相互独立。
显然，3事件相互独立必有3事件两两相互独立，反之未必。
③ n个事件相互独立：设A1，A2，…，An为n个事件,若对于任意整数k
(1≤k≤n）和任意k个整数1≤i1< i2<…ik≤n满足
则称A1，A2，…，An相互独立,简称A1,A2，…,An独立.
例题3.P21　
【例1－34】3门高射炮同时对一架敌机各发一炮，它们的命中率分别为0.1,0.2,0。3，求敌机恰中一弹的概率。
解:设Ai表示“第i门炮击中敌机”，i=1，2,3,B表示“敌机恰中一弹"。
其中，互不相容，且A1，A2,A3相互独立，则
=0.1×0.8×0。7+0.9×0。2×0。7+0。9×0。8×0.3
=0.398
2.n重贝努利试验
(1）概念：如果一次试验只有两个结果：事件A发生或不发生，且P（A）＝p（0〈p<1)，试验独立重复n次，称为n重贝努利试验。
（2）计算：在n重贝努利试验中，设每次试验事件A发生的概率为p,则事件A恰好发生k次的概率Ｐn（k)为
，k＝0,1，2，…，n。
事实上，A在指定的k次试验中发生,而在其余n-k次试验中不发生的概率为
例题4。P22　
【例1－36】一个车间有5台同类型的且独立工作的机器，假设在任一时刻t,每台机器出故障的概率为0。1，问在同一时刻
（1)没有机器出故障的概率是多少？
（2）至多有一台机器出故障的概率是多少？
解：在同一时刻观察5台机器，它们是否出故障是相互独立的，故可看做5重贝努利试验，p=0。1，q=0.9.设A0表示“没有机器出故障”，A1表示“有一台机器出故障",B表示“至多有一台机器出故障”，则B=A0∪A1。于是有：
（1)所求概率P(A0)=P5（0）= =0。59049；
（2）所求概率P(B）= P(A0)+ P（A1）==P5(0)+=P5（1）==0。91854.
例题5.P22　
【例1－37】转炉炼钢，每一炉钢的合格率为0.7，现有若干台转炉同时冶炼。若要求至少能够炼出一炉合格钢的把握为99％,问同时至少要有几台转炉炼钢?
解：设有n个转炉同时炼钢,各炉是否炼出合格钢是独立的,可看做n重贝努利试验，p=0.7，q=0.3，
{｝=｛全不合格}
P｛至少一炉合格}=1-P{全不合格｝
=1—Pn(0）
=1—qn =1—（0。3)n≥0.99
∴（0.3）n≤0。01
nlg0。3≤—2
n≥4
本章小结:
一、内容
二、试题选集
1.（401）设A与B互为对立事件，且P（A)>0，P(B)>0,则下列各式中错误的是(　）
A.P（A）＝1－P（）　
B.P（AB）＝P(A）P(B）　
C.P（）＝1　
D。P（A∪B）＝1
答案：B
2.（402）设A，B为两个随机事件，且P（A）〉0,则（　)
A。P（AB）　
B。P（A）　
C。P(B）
D.1
答案：D
3。（701)从标号为1，2，…，101的101个灯泡中任取一个，则取得标号为偶数的概率是（　)
A.50/101　
B。51/101
C。50/100　
D.51/100
答案：A
4。(702)设事件A，B满足P（A）＝0.2，P（A)＝0.6， 则P(AB）＝（　）
A.0.12
B.0。4　
C。0。6
D。0。8
答案：B
5.（704）设每次试验成功的概率为p（0<P<1），则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（　）
A。1－(1－p）3
B。p（1－p）2
C。
D。p＋p 2＋p 3
答案：A
6。（411）设事件A， B相互独立,且P（A）=O.2, P(B)=0。4，则P(A∪B）＝____________。
答案:0。52
解析：P（A∪B）=P（A）+P（B）-P(AB)
=P（A)+P（B）—P（A）P(B）
7。（414）一批产品，由甲厂生产的占，其次品率为5％，由乙厂生产的占,其次品率为10%,从这批产品中随机取一件，恰好取到次品的概率为___________。
答案：
解析：设A1表示“甲厂生产”，A2表示“乙厂生产"
B：“次品”
8.（427)设P（A）＝0。4， P（B)＝0.5， 且P（）＝0。3, 求P(AB)。
答案：0.05
解析:
=0.05
9.（1014）20件产品中，有2件次品，不放回地从中连续取两次，每次取一件产品，则第二次取到正品的概率为__________.
答案:
解析：{第二次取正品｝=｛一次且二正}∪｛一正且二正}
P｛二正}=P{一次且二正}+P{一正且二正}
=
第二章　随机变量及其概率分布
… … (中间部分略）
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