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综合练习
一、单项选择题
1．设为阶矩阵，则下列等式成立的是( 　）．
A．B．
C．D．
正确答案：A
2．方程组相容的充分必要条件是(),其中，．
A． B．
C． D．
正确答案：B
3．下列命题中不正确的是（ ）．
A．A与有相同的特征多项式
B．若是A的特征值，则的非零解向量必是A对应于的特征向量
C．若=0是A的一个特征值，则必有非零解
D．A的特征向量的线性组合仍为A的特征向量
正确答案:D
4．若事件与互斥，则下列等式中正确的是（　 　）．
A．B．
C．D．
正确答案：A
5．设是来自正态总体的样本,则检验假设采用统计量U =（　 ）．
A．B．
C． D．
正确答案： C
6．若是对称矩阵，则等式(　 ）成立．
A。 B。
C。 D。
正确答案：B
7．（ 　)．
A。 B。
C。 D.
正确答案：D
8．若(　)成立，则元线性方程组有唯一解．
A。 B。
C。 D.的行向量线性相关
正确答案：A
9. 若条件（)成立,则随机事件，互为对立事件．
A。或 B。或
C。且 D.且
正确答案：C
10．对来自正态总体（未知）的一个样本,记，则下列各式中（　）不是统计量．
A。 B。
C. D.
正确答案: C
二、填空题
1．设，则的根是．
应该填写：1，-1，2，—2
2．设4元线性方程组AX=B有解且r（A)=1,那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系含有个解向量．
应该填写：3
3．设互不相容，且，则．
应该填写：0
4．设随机变量X ~ B(n，p）,则E（X)= ．
应该填写：np
　 5．若样本来自总体，且，则．
应该填写：
　6．设均为3阶方阵，，则．
应该填写：8
　 7．设为n阶方阵，若存在数l和非零n维向量，使得,则称为相应于特征值l的特征向量．
应该填写：
　 8．若,则．
应该填写：0。3
9．如果随机变量的期望，,那么．
应该填写：20
　 10．不含未知参数的样本函数称为．
应该填写：统计量
三、计算题
1．设矩阵，求．
解：由矩阵乘法和转置运算得
　　利用初等行变换得

即
2．求下列线性方程组的通解．
解　利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵,即
®
®®
方程组的一般解为：，其中,是自由未知量．
令,得方程组的一个特解．
方程组的导出组的一般解为:
，其中,是自由未知量．
令，，得导出组的解向量;
令，，得导出组的解向量．
所以方程组的通解为：
，
其中,是任意实数．
3．设随机变量X ~ N(3，4）．求：(1）P（1〈 X〈 7);（2）使P(X〈 a）=0.9成立的常数a ． (已知，，）．
解：(1)P（1〈 X〈 7)==
== 0。9773 + 0.8413 – 1 = 0.8186
（2）因为 P（X< a)=== 0。9
所以 ,a = 3 + =5。56
4．从正态总体N(，4）中抽取容量为625的样本，计算样本均值得= 2。5，求的置信度为99%的置信区间.（已知）
解：已知，n = 625,且 ～
因为 = 2。5，，，
　　所以置信度为99％的的置信区间为：
。
5．设矩阵，求．
利用初等行变换得
即　　　　
由矩阵乘法得
6．当取何值时，线性方程组
有解，在有解的情况下求方程组的全部解．
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
由此可知当时，方程组无解。当时,方程组有解。　
　　此时齐次方程组化为
分别令及，得齐次方程组的一个基础解系
令,得非齐次方程组的一个特解
由此得原方程组的全部解为
　(其中为任意常数）　　
7．设，试求：（1）；（2）．
（已知）
解：（1)

（2)

8．某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布．今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为15.1mm,若已知这批滚珠直径的方差为，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间．
解：由于已知,故选取样本函数
已知，经计算得
滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为
Gs2—38
四、证明题
1．设是阶对称矩阵，试证：也是对称矩阵．
证明：是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知
已知是对称矩阵，故有，即
由此可知也是对称矩阵,证毕．　
2．设n阶矩阵A满足，则A为可逆矩阵．
证明: 因为，即
所以，A为可逆矩阵．
3．设向量组线性无关,令,，，证明向量组线性无关。
证明:设，即
因为线性无关,所以
解得k1=0， k2=0， k3=0,从而线性无关．
4．设随机事件,相互独立,试证：也相互独立．
证明：
所以也相互独立．证毕．
5．设，为随机事件，试证:
证明：由事件的关系可知

而，故由概率的性质可知

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