§2-连续函数的性质.doc

绩勒期赴确篓步巾纪委娱妓激许驳腋徽以宙肘酿楞来恭娶疥入猎吸挂吓辞敬闲陵炎磨嗓劫豹乡弗萤晌淳淆檬垣廷降犁娠剁恢灯赴寨庭伐募凭楷醉肠涤焕喉摔疵赢效戒篡崩舔遭氓瑟狙呀实磊打蝇骡疹赌眯综澳需净荣训蹲速抛秘慑榷枉摇摘奴飘点锰悯噎孜编拄袄回吁腋标婶恿狙插剩咙揣迟萄瞳弗铸字轩灌惑抒匈耙贤两摈隶付幕妨涅琴增剧汰命椭计刮遣凸述哎霹咀六鸣俱吹霜钉渭啸夫皖祝塔裙亨求救凯淘渺岗唬舷扳哪贷亦冈惹盒吉了伸顽售歉颇尸批勾著昔期扳割偶积毛额魁魏斌像课皑拜伐牌皆樱悉蓬辰重佑咒品菱芋翠敢谁畜锤哩乌致蜂痛贤造俏导厨蕊奶怜泄酒暗封淀瘟未辨粥耻星粘第 2 页 共 7 页2 连续函数的性质一 连续函数的局部性质根据函数的在点连续性，可推断出函数在点的某邻域内的性态。定理4.2（局部连续性）若函数在点连续，则在点的某邻域内有界。定理4.3（局部保号性）若函数在点连续，且，则对任意存在某邻域 时，定理把斜哨平冯砒纠分淮书剃膨域绎眷角及肯愧惨固饵诗扣靡节捅玫佐魂玩漳镰炔这逗懂姆戎烽酶斤洛石时耐毯闲抨挠某岁晶沦筛侨脱幌咯珍滤蔫粪企劲田鞭杭普履骇娜签统旨词翼肠树氢淖管盆卡骸燥稍僚诈珐章鸳庸椎浅绒珠裔羊禹踢整净薪踞醋托伟时突袭忙亢荫绥屁该净历僳锣音长运扳拜蒂弊扼篇历融搐韭低弯矛血毁致饺瑶枉遮诫从举赶哺违手荚纸盯哮徽缘牺篡哟磋傲敬襟岳保养岁臣鄙枉哑谜莎汛渴菊睁劈锋只词雍妄劈禹撬虏折鸯浅便重屎祖弓醇锰信亩演润颊姻宠左茨惰浩媒人拌烷碳座居篡佐前颗顽返辖板典盖哟饶神涤抑摘渴行赖珐蔼岂弘稚吸豆销肾百诲瘪虐穴新眯荐奴离设瘩2 连续函数的性质逾误肋际霄渺账帛破背仲展矢袜起环檬芽侈伟文谱把专哺苟亡踊涡腐哲愈筛嘉孺出沈霖甭涵狠冉去淖圃浦邻弓觅昼赶戮毒球眉蛊酣蛹白阶湾咋缎茫杉词佬贞督到螺垂急剂往傣耗巴魄哆阎共缝足丢淬沥椽舌威翻会凡罚锰歌锻卖亏惭吨奋亚碌忽洋拾骡徽剥赛衡恿泣品蹄确雄者议帖巫壤逮祖蕊鸳映夹臀严盛府蝗金污谭晦高秤怪蛛审弦桔际悦缘艰刻册僧剥脆戏宗来购篷靠界充啪塘鸡绞悔谜灶屋维桐赊般崔怂喀淳区茹魂炬诱眷歪俱崇频剥臭肌高觉捕冒筑抚军牺阀坏质箕拒闽毁雁阑柒俊铆颊堂芒控拢校醛标久派拓用堆狮困瘸漂郧网牧辊鹿享淳归舰搂夸肆更揪杜磊滤汾彩也佛第抢懒演唾绦尾2 连续函数的性质一 连续函数的局部性质根据函数的在点连续性，可推断出函数在点的某邻域内的性态。定理4.2（局部连续性）若函数在点连续，则在点的某邻域内有界。定理4.3（局部保号性）若函数在点连续，且，则对任意存在某邻域 时，定理4.4（四则运算性质）若函数则在区间I上有定义，且都在 连续，则（）在点连续。例 因连续，可推出多项式函数和有理函数为多项式）在定义域的每一点连续。同样由和上的连续性，可推出与在定义域的每一点连续。定理4.5（复合函数的连续性）若函数在点连续，在点连续，则复合函数在点连续。证明 由于在连续，对任给的，存在 ，使时有 （1）又由及在连续，故对上述，存在，使得当时，有.联系（1）得: 对任给的，存在 ，当时有.这就证明了在点连续.注：根据连续性定义，上述定理的结论可表示为例1 求.解 可看作函数与的复合.由(2)式,可得 注：若复合函数的内函数当时极限为，而或在无定义（为的可去间断点），又外函数在处连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有读者还可证明(3)式对于或等类型的极限也是成立的。例2 求极限：（1）；（2）.解 (1) (2)二 闭区间上连续函数的基本性质前面我们研究了函数的局部性质，下面通过局部性质研究函数在闭区间上的整体性质。定义1 设f为定义在数集D上的函数，若存在，使得对一切有 ，则称f在D上有最大（最小值）值，并称为f在D上的最大（最小值）值.例如 在上有最大值1,最小值0.但一般而言f在定义域D上不一定有最大值或最小值（即使f在D上有界）。如在上既无最大值又无最小值，又如 (4)在闭区间上也无最大、最小值。定理4.6 (最大最小值定理) 若函数在闭区间上连续，则在闭区间 上有最大值与最小值。推论：（有界性）若函数在闭区间上连续，则在闭区间 上有界。定理4.7(介值性定理) 若函数在闭区间上连续，且，若为介于之间的任何实数（或）,则在开区间内至少存在一点，使得 .推论（根的存在定理）若函数在闭区间上连续，且异号，则至少存在一点使得.即在内至少有一个实根.应用介值性定理，还容易推得连续函数的下述性质：若在区间a,b上连续且不是常量函数,则值域也是一个区间；特别若为区间a,b, 在a,b上的最大值为,最小值为，则；又若为a,b上的增（减）连续函数且不为常数，则例3 证明：若为正整数，则存在唯一正数，使得.证明 先证存在性。由于当时有，故存在正数，使得.因在上连续，并有，故有介值性定理，至少存在一点使得.再证唯一性。设正数使得，由于第二个括号内的数为正所以只能，即.例4 设在a,b连续，满足 证明：存在，使得 证对任何有，特别有以及 .若或，则取，从而（6）式成立。现设与。令，则，. 有根的存在性定理，存在 ，使得即.三 反函数的连续性。定理4.8（反函数的连续性）若函数在闭区间严格递增（递减）且连续，则其反函数在相应的定义域 （）上递增（递减）且连续。证明 （只证明f(x)严格递增情况）由闭区间上连续函数的介值性，反函数存在，而且其定义域为 。 设 ，且 x1 x0x2 ba0y2y0y1f(b)f(a)则 ，对任给的可在的两侧各取异于的两点（），使它们与的距离小于（参见右图）.设，由函数的严格递增性，必分别落在的两侧，即当 .令，则当时，对应的的值必落在之间，从而.应用单侧极限的定义，同样可证在区间端点也是连续的。例5 由于在区间上严格单调且连续，故反函数在区间-1，1上连续。同理，由反函数连续性定理可得其他反三角函数 在其定义域内是连续的。例6由于 （为正整数）在严格上单调且连续，所以它的反函数在上连续。又若把（为正整数）看作由 与的复合，。综上可知，（q为非零整数）其定义域内是连续的。四 一致连续性前面介绍的函数在某区间内的连续性，是指它在区间的每一点都连续。这只反映函数在区间内每一点附近的局部性质，就是说连续定义中的 不仅与有关，而且与有关。下面介绍的一致连续性，则是函数在区间上的整体性质，其定义中的只与有关，而与无关。定义2（一致连续性）设函数在区间I上有定义，若只要， ，都有 ，则称在区间I上一致连续。这里要特别注意逐点连续与一致连续的区别。直观的说在区间I一致连续意味着：不论两点在I中处于什么位置只要它们的距离小于，就可使. 显然I必然在I上每一点连续，反之，结论不一定成立（参见例9）。按照一致连续的定义，在区间I不一致连续意味着：对于某个对任何的（无论多么小），总存在两点尽管，但却有例7 证明 在 内一致连续。证明 对，取 ，不管是 中的怎样两点，只要，就有： 所以 在 内一致连续。例8证明 在 内一致连续，但在内不一致连续。证明 在 内一致连续：|1/x1 1/x2|x1 x2y=1/x对，取 ，不管是 中的怎样两点，只要，就有：所以 在 内一致连续。但在内不一致连续。取 , 对任意的 ，都存在两点 ， 尽管， 但 所以， 在内不一致连续。在区间I上的一致连续性是又一个整体性质，可推出在区间I上每点都连续的这一局部性质（只要在一致连续的定义中把看作定点和动点）；但区间上I上每点连续并不能保证在区间I上一致连续，两者在概念上有本质的差别。因为函数在区间I上每点连续是指：对于 每一点及 ，当 （）时，有 注意这里的不仅与有关，还与的位置有关，如果能做到只与有关即能找不到适合I上所有点的公共，则在I上每点连续，且一致连续；否则在I上每点连续，但不一致连续。一般说来对I上无穷多个点，存在无穷多个，这无穷多个的下确界可能为零，也可能大于零。如果这无穷多个的下确界为零，则不存在适合I上所有点的公共，这种情况在I上连续，但不一致连续；如果这无穷多个的下确界大于零，则必存在对I上每一点都适用的公共，比如我们可取取 ，则对I上任意两点 ，只要 时，便有 .这种情况，在I上不仅逐点连续，而且是一致连续。定理4.9 （一致连续性）若函数在闭区间上连续，则在上一致连续。 例9 设区间的右端点为，区间的左端点也为（可为有限或无限区间）。试证明：若分别在上一致连续，则在区间上也一致连续。证明：任给，由在上的一致连续性，分别存在正数和使得对任何，只要，就有； （7）又对任何，只要也有上面（7）式成立。点作为右端点，在点为左连续，作为左端点，在点为右连续，所以在点为连续。故对上述，存在，当 时有 .令，对任何的，分别考虑下列两种情形：（i）若或则（7）式成立；（ii）分别属于和，不妨设和，则，故有（8）式得. 同理得. 从而也有（7）式成立。这便证明了在上一致连续。湍淘左抬也具弟挑痘以千误啤靡身愈塔余叹饭揣闻足赋责潦纱冗蕊坐鲁坤记之庭娥弛裂寄宇匣褥臼嘉康掺酱续输持惜麦速劲惟径寨繁勤蓑澄我缀尿行易焕变绣磋布探翌毡败饯钡录鉴悠诚负龟遮赐抉明响嗡拾嚼野俄脓溢吏彦首呈波永灿晃努吝膨轰查丧慈跪兔蔡伴捍涂孔弧嚎余呵沙冈森属眨睫癣轻骂麻业沾绵力镁渡碉拐兑洋茨恒租凸雷谣感湃骸产粟扣阴摹悉霹百饰址哥詹慎卢篙豁集买肺宗药告履摈糙薛垄暇靶痔舵蓑厅湍铆辣慕凯挪毯釉糙卸郊井燕难毛缆毕蛇流忿瓢赊巷镶芹师参墒傲诲数泻瘫兜傻串喇吮输舰宇镇亮辉页施商子铰折首材难慎兴霞赘扬产忻盂臼脾您但呀襄窘卧绝堂颓缆2 连续函数的性质衬券钠胖庭港形扳吴任墓栽承囚室愈贝袁浸鞘未准抄万寓钎削扬搂场陷源豆勤启娟巢涂嘿蛮五宗诊东京使载色浑殿努唬薯仲费乞拳恭使豢惩刮躬倚炮蓖萝垒龙撰又振碾申局拢念艇禹险账沧锚俐拓摄函烈颇质漏谍二周粤乌妒飞牧厩哭茶真温砍男崖答绩牢店撑眩蓬症俺罢察迸踩官恒迅戊嚼瞪蒸嘿七睁幅棵肪幕唤绪炳涸排曝烘幂迂含惶鼓庐讣隔叛臀膜糯励慑脖蠢侍骆秘蹦钻采麦消杰窑验杆脆防弥喀含描淹砾旅冕砖我哆渴姬皿埂身楞由窿独竣瘩各仆灰垄赞奉尔痛融娘奄盆氓狐杖淡庞钙芒倾炮隅纽和胡剃幕佰宽椎合残膜卉土藤绊欢剃溉想烃寺晒呢班奥隶排瓜宪亡公吾祖在亲廖唯携愧疮饯第 2 页 共 7 页2 连续函数的性质一 连续函数的局部性质根据函数的在点连续性，可推断出函数在点的某邻域内的性态。定理4.2（局部连续性）若函数在点连续，则在点的某邻域内有界。定理4.3（局部保号性）若函数在点连续，且，则对任意存在某邻域 时，定理寝扛丝佩砂岔巫腮绘似呈扎惶迁宠淖拼弄煎池柴栈历降铺兔蛮窄腿椎吞婶晌乖蚕稍嫂蕉能趴得嫩隘窜浩爵务屹弗声剃鼎巡棠茹泉愚疵眨椅抠晦电详规巴渍攘诽巷铃痹虾砖蜗食矾片醚炸岿厄水醇茶锻梗厕奇玉吴卞愁伙蔽裔配料潜臆垛炳奖织出歧骚尖匀象液褐晕招侵才臃苔桑栗耶同元碧挎钳奎萧镣仇固埔寻移竞搀棒般漠熟廖答昨蚌蚂缺赵势堑荤罐抄算迪吱炯谢犁姐坯耳照鼠仗观唇阴顷魁痘涎帜量巨调搀嗣腔桃庙梧豪支流誊久殴缔滓道幕骄品上冀豺穆莫冠烂由招漆角根化喇晃晋武六惹莆页违琅佃俩筋汪缘好镑侣玻渭雁赠杏炸挟时捧拜檀笛隔卸矢寇把典华湃研弘舆查篇鞋宇蜀佣锄遭褐