排序不等式及证明教学提纲.doc

四、 排序不等式
（一）概念【9】：
设有两组实数
（1）
（2）
满足
（3）
（4）
另设
（5）
是实数组（2）的一个排列，记
逆序积和
乱序积和
似序积和
那么

且等式成立当且仅当

或者

证明【9】：
1，预备知识
引理1（Abel变换） 设（1）（2）为任意两组有序的实数组，令

那么

事实上：

引理2 设实数组（2）满足（4）式，实数组（5）是实数组（2）的任意一个排列，那么显然有

引理3 设实数组（2）满足（4），那么

若存在使等号成立当且仅当

2，证明
首先：

不妨设

那么由引理2，有

则由Abel变换以及，得到

所以

即
同理，设

则可证

要使得等号成立，
即
则对有

那么有下列两种情形：

存在，使得

这时必有

从而

所以

由引理3得