高二-数学-选修2-2--导数的计算.doc

导数的计算
教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；
2、能利用导数公式求简单函数的导数。
教学重难点： 能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用

一、 用定义计算导数
问题1：如何求函数的导数？

2．求函数的导数

3．函数的导数

4．函数的导数
5．函数的导数
二
1.基本初等函数的导数公式表

函数
导数

分几类 1、幂函数 2.三角函数 3指数函数 4.对数函数
补充

2公式的应用
典型题一、求导数
A

思考 求的方法有哪些？

3.导数的四则运算法则：
问题 如何求？

导数运算法则
1、
2、
3、
推论：
提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.。
常见错误：

典型题二、导数的四则运算法则
例题3根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1）

（2）；

（3）；

（4）

A变式练习1

+lnx

A变式2.求下列函数的导数
（1）y=2+3cosx, (2)y=(1+2x)(2x-3)
(3)y= (4)y=

A变式3．已知f（x）=xcosx﹣sinx，则f′（x）=（　　）
解：∵f（x）=xcosx﹣sinx，
∴f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，

已知函数f（x）=lnx，则f′（x）等于（　　）

函数y=exsinx的导数等于（　　）

A．
excosx
B．
exsinx
C．
﹣excosx
D．
ex（sinx+cosx）

分析：
利用导数乘法法则进行计算，其中（ex）′=ex，sin′x=cosx．
解答：
解：∵y=exsinx，
∴y′=（ex）′sinx+（ex）•（sinx）′
=exsinx+excosx
=ex（sinx+cosx）．
故选D．
4.函数的导数值为0时，x等于（　　）
解：∵=，∴
令y′=0，即，解得x=±a．

A变式练习4
若函数y=f（x）的导数f′（x）=6x2+5，则f（x）可以是（　　）

A．
3x2+5x
B．
2x3+5x+6
C．
2x3+5
D．
6x2+5x+6

解答：
解：∵f'（x）=6x2+5
∴f（x）=2x3+5x+c（c为常数）
故选B．

函数f（x）=xsinx+cosx的导数是（　　）
解：∵f（x）=xsinx+cosx
∴f′（x）=（xsinx+cosx）′=（xsinx）′+（cosx）′
=x′sinx+x（sinx）′﹣sinx
=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx

若f′（x）=2ex+xex（其中e为自然对数的底数），则f（x）可以是（　　）

A．
xex+x
B．
（x+1）ex+1
C．
xex
D．
（x+1）ex+x

分析：
利用导数的运算法则即可得出．
解答：
解：利用导数的运算法则可得：A．（xex+x）′=ex+xex+1，
B．[（x+1）ex+1]=ex+（x+1）ex=（x+2）ex，
C．（xex）′=ex+xex，
D．[（x+1）ex+x]′=ex+（x+1）ex+1=（x+2）ex+1．
故选B．

请默写出常见函数的导数

4、复合函数
问题 求导是多少？
如果展开后求导，结果是 为什么会不同？
复合函数的导数 复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
若，则
上例中函数可以看作函数和的复合函数。
=
典型题三、复合函数求导
例题4 求下列函数的导数：
（1）；
（2）（其中均为常数）
（3） y ＝sin4x ＋cos 4x
(4)
A变式练习1 求下列函数导数
（1）
（2）

3函数的导函数是
解：对于函数，
对其求导可得：f′（x）===；
A变式2
1函数f（x）=cos2x的导数f′（x）=（　　）
2函数y=sin（2x2+x）导数是（　　）

3.求y=的导数. y′=＿＿＿＿

B.变式1求下列函数的导数
（1）y=cos x

y=ln (x+)

B变式2函数的导数为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
简单复合函数的导数．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据函数商的求导法则再结合函数和的求导法则f（x）+g（x）=f（x）′+g（x）′代入计算化简即可．
解答：
解：∵
∴
∴=
故选D
2.求y=导数

典型题四、导数公式的应用
例题 某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足：，求此物体在什么时刻速度为零?

A.变式1函数f（x）=x2+ax+1，其导函数的图象过点（2，4），则a的值为（　　）

A变式2 已知函数f（x）=ax2+c，且f′（1）=2，则a的值为（　　）

A．
1
B．

C．
﹣1
D．
0

考点：
导数的运算．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先求出f′（ x），再由f′（1）=2求出a的值．
解答：
解：∵函数f （x ）=a x2+c，∴f′（ x）=2ax
又f′（1）=2，
∴2a•1=2，
∴a=1
故答案为A．

A变式3函数f(x)＝若其导数过点（2，4），则a的值是

典型题五、用导数方法求切线
例题 曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________ 过（1,1）的切线方程为________

A 变式1若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程为（　　）

A．
4x﹣y﹣3=0
B．
x+4y﹣5=0
C．
4x﹣y+3=0
D．
x+4y+3=0

考点：
导数的几何意义；两条直线垂直的判定．菁优网版权所有
分析：
切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，可求出切线的斜率，这个斜率的值就是函数在切点处的导数，利用点斜式求出切线方程．
解答：
解：设切点P（x0，y0）
∵直线x+4y﹣8=0与直线l垂直，且直线x+4y﹣8=0的斜率为﹣，
∴直线l的斜率为4，
即y=x4在点P（x0，y0）处的导数为4，
令y′=4x03=4，得到x0=1，进而得到y0=1
利用点斜式，得到切线方程为4x﹣y﹣3=0．
故选A．

A 变式2函数f(x)=x4-x 在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则此切线的方程为________

A 变式3过点（﹣1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（　　）

A．
2x+y+2=0
B．
3x﹣y+3=0
C．
x+y+1=0
D．
x﹣y+1=0

分析：
这类题首先判断某点是否在曲线上，（1）若在，直接利用导数的几何意义，求函数在此点处的斜率，利用点斜式求出直线方程（2）若不在，应首先利用曲线与切线的关系求出切点坐标，进而求出切线方程．此题属于第二种．
解答：
解：y'=2x+1，设切点坐标为（x0，y0），
则切线的斜率为2x0+1，
且y0=x02+x0+1
于是切线方程为y﹣x02﹣x0﹣1=（2x0+1）（x﹣x0），
因为点（﹣1，0）在切线上，
可解得x0=0或﹣2，当x0=0时，y0=1；x0=﹣2时，y0=3，这时可以得到两条直线方程，验正D正确．
故选D

A变式4已知直线与曲线相切，则的值为（ ）
:
B变式1 在f（x）=x3+3x2+6x﹣10的切线中，斜率最小的切线方程为（　　）

A．
3x+y﹣11=0
B．
3x﹣y+6=0
C．
x﹣3y﹣11=0
D．
3x﹣y﹣11=0

分析：
先对函数f（x）进行求导，然后求出导函数的最小值，其最小值即为斜率最小的切线方程的斜率，进而可求得切点的坐标，最后根据点斜式可得到切线方程．
解答：
解：∵f（x）=x3+3x2+6x﹣10∴f'（x）=3x2+6x+6=3（x+1）2+3
∵当x=﹣1时，f'（x）取到最小值3
∴f（x）=x3+3x2+6x﹣10的切线中，斜率最小的切线方程的斜率为3
∵f（﹣1）=﹣1+3﹣6﹣10=﹣14
∴切点坐标为（﹣1，﹣14）
∴切线方程为：y+14=3（x+1），即3x﹣y﹣11=0
故选D．
点评：
本题主要考查导数的几何意义和导数的运算．导数的几何意义是函数在某点的导数值等于过该点的切线的斜率的值．

B变式2设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（　　）

典型题六、切线与最短距离

例题 曲线y=ln（2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是（　　）
B变式.1 曲线y=上的点到直线x+3y+4=0的最短距离是（　　）
[
B变式2 曲线上的点到直线x-2y+3=0的最短距离是（　　）

典型题七、的关系
例题 已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（1）等于（　　）

B变式1已知f（x）=-xf′（3），则f′（3）等于（　　）

B变式2已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）+lnx，则f′（e）=