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初中数学复习知识梳理 第一单元 实 数一、实数的概念及分类 1.实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数2.有理数的分类或注：小数是分数。3.无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001等；（4）某些三角函数值，如sin60o等二.实数的倒数、相反数和绝对值 1.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，若a+b=0a、b互为相反数，反之亦成立.零的相反数是零2.绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。互为相反数的两个数的绝对值相等。任何数的绝对值总是非负数，即|a|0，若|a|=a，则a0；若|a|=-a，则a0。 3.倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。4.数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。5.估算 （教材第34页)三、平方根、算数平方根和立方根 1.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。表示方法：记作“”，读作根号a。性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。2.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 注意的双重非负性： 03.立方根:一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。表示方法：记作性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。四.实数大小的比较 1.实数比较大小：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。2.实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。0-1-2-3123越来越大（2）求差比较：设a、b是实数，.（3）求商比较法：设a、b是两正实数，（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。（5）平方法：设a、b是两负实数，则。五.算术平方根有关计算（二次根式）1.含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。2.性质：（1） （2） （3） （）（4） （）3.最简二次根式：运算结果若含有“”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式六.实数的运算 （1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。异号两数相加，绝对值值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数同0相加，仍得这个数.互为相反数的两个数相加和为0.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数！有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘,任何数与0相乘，积仍为0.注意：多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正。只要有一个数为零，积就为零。有理数除法法则：指数底数幂a.两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0的数都得0。b.除以一个数等于乘以这个数的倒数注意：0不能作除数。有理数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方。正数的任何次幂都是正数,负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数。（2）实数的运算顺序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。（3）运算律加法交换律： 加法结合律：乘法交换律： 乘法结合律：乘法对加法的分配律：8.科学记数法一般地，一个大于10的数可以表示成（，n是正整数）的形式，这种记数方法叫做科学记数法。（n=整数位数-1）一个绝对值小于1的数可以表示成（，n是负整数）的形式, 如：0.00000721=7.21（第一个非零数字前零的个数） 第二单元 整式及其运算一整式的加减1.代数式用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数和字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。注意：代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； 代数式中不含有“=、b,那么a+cb+c, a-cb-c.（注：移项要变号，但不等号不变）性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 如果ab,并且c0,那么acbc, .性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果ab,并且c0,那么acb大大取大xa小小取小axb大小小大中间找无解大大小小解不了(是空集) 四。分式与分式方程1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。对于任意一个分式，坟墓都不能为零。2.注意事项（1）分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。（2）分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。（3）分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零3.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。用式子表示 注意：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。（2）应用基本性质时，要注意C0，以及隐含的B0。（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。4.分式的乘除：两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,分母相乘的积作为积的分母;两个分式相除,把除式的分子、分母颠倒位置后再与被除式相乘.即: , 5. 分式乘方：把分子、分母分别乘方. 即: 逆向运用,当n为整数时,仍然有成立.6.最简分式：分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.7.分式的通分和约分：关键先是分解因式（1）分式的约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。（2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式（3）分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，这一过程称为分式的通分。（4）最简公分母：最简单的公分母简称最简公分母。8.分式的加减：(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减; 上述法则用式子表示是:(2)异号分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算;上述法则用式子表示是:9.分式的符号法则分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。10.分式方程：分母中含未知数的方程叫做分式方程。 增根：分式方程的增根必须满足两个条件：（1）增根是最简公分母为0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。11.分式方程的解法：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 12.列分式方程解应用题:步骤：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。应用题基本类型；a.行程问题：b.数字问题c.工程问题 d. 顺水逆水问题 e相遇问题 f追及问题g流水问题 h浓度问题m利润与折扣问题 五一元二次方程1.定义：只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为（a、b、c为常数，a0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。把（a、b、c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式，ax2、bx、c分为二次项、一次项和常数项；a、b分为二次项系数和一次项系数。2.近似解（夹逼法）：教材第34页3.解法（三种）（1）配方法： 配方法解一元二次方程的基本步骤：把方程化成一元二次方程的一般形式；将二次项系数化成1；把常数项移到方程的右边；两边加上一次项系数的一半的平方；把方程转化成（x+m）2=n(n0)的形式；两边开方求其根。关键：方程两边加上一次项系数一半的平方（2）公式法： (b2-4ac0 ）（注意：在找a、b、c时须先把方程化为一般形式） 根的判别式 ： 当b2-4ac0时，方程有两个不等的实数根； 当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k0时，y随x的增大而增大（2）当k0时，y随x的增大而减小(6)正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。(7)一次函数与一元一次方程的关系：任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k0）的形式而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k0）当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k0）的形式所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值四反比例函数1. 反比例函数定义a.定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数。自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是b.三种表达式：（），（），（定值）（）c.用待定系数法求反比例函数的解析式：由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。2.反比例函数的图像与性质a.图像：反比例函数的图像是双曲线，当时，两支曲线分别位于第一、第三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、第四象限内。b.图象作法：反比例的画法分三个步骤：列表；描点；连线。在作反比例函数的图像时应注意以下几点：列表时选取的数值宜对称选取；列表时选取的数值越多，画的图像越精确；连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。c.性质：（1）图像特点反比例函数（）的符号图像性质的取值范围是，y的取值范围是当时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。的取值范围是，y的取值范围是当时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内”否则，笼统地说，当时，y随x的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。（2）增减性：是由反比例函数系数k的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。如在第一、第三象限，则可知。（3）反比例函数（）中比例系数k的绝对值的几何意义。如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足，则（4）反比例函数（）中，越大，双曲线越远离坐标原点；越小，双曲线越靠近坐标原点。（5）对称性：双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=x。x是自变量，y是x的反比例函数；由于反比例函数中自变量函数中自变量，函数值，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。（6）比较大小：数形结合3.反比例函数的应用 教材第162页7题 11题五二次函数1.概念：一般地，若两个变量x，y之间对应关系可以表示成(、b、c是常数,0)的形式，则称y是x的二次函数。自变量x的取值范围是全体实数。在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。2. 图像性质：(1)二次函数yax2的图象：是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线。是二次函数的特例，此