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必修一
1.集合中元素的性质
(1)确定性:集合中的元素必须是确定的.即任何一个对象,都能判断它是或者不是某个集合的元素,二者必居其一.
(2)互异性:集合中的任意两个元素都是不同的.即同一个元素在一个集合里不能同时出现.
(3)无序性:集合中的元素没有顺序性.
2.元素与集合的关系
(1)如果是集合的元素，就说属于集合，记作；
(2)如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作.
3.集合的表示方法
(1) 列举法:列举法是把集合中元素一一列举出来的方法.
(2) 描述法:描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
(3) 图示法（指文氏图法）
4.集合的分类
(1) 有限集:含有有限个元素的集合.
(2) 无限集:含有无限个元素的集合..
5．集合与集合的关系
有“包含”和“不包含”两种情形.
6.集合相等 若且，则
7. 子集的性质
（1）AÍA （2）AÍB, BÍC ÞAÍC
（3）AÍB BÍAÞA=B
(4)A=｛｝的所有子集的个数为；
8. 空集（1）空集是任何集合的子集，记作：ÍA
（2）空集是任何非空集合的真子集，记作：A（）
9. 补集（1）补集的意义：
（2）补集的特性：
10.交集：A∩B ={x|xÎA且xÎB} 并集： A∪B ={x|xÎA或xÎB}
11．交集、并集的性质
12．
13.
14. 最基本绝对值不等式|x|＜，|x|＞(＞0)的解
（1）｜x｜＜，｜x｜＞（＞0）的解
一般地，不等式｜x｜＜（＞0）的解集｛x｜－＜x＜｝；
不等式｜x｜＞（＞0）的解集是｛x｜x＞，或x＜－｝.
（2）|x|＜，|x|＞ (＞0)解的几何意义
①不等式|x|＜，|x|＞ (＞0)在数轴上分别表示到原点的距离小于、大于的点，如下图所示：
15. |x+b|＜c，|x+b|＞c (c＞0)型不等式的解法
(1) |x+b|＜c，|x+b|＞c (c＞0)型不等式的解法
①|x+b|＜c (c＞0)型不等式的解法是：先化为不等式组-c＜x+b＜c，再由不等式的性质求出原不等式的解集.
②|x+b|＞c (c＞0)型不等式的解法是：先化为x+b＞c或x+b＜-c，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集.
16.一元二次不等式的解法
17. 复合命题的三种表现形式
或
且
非
真
真
真
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
真
假
真
真
假
真
假
假
假
假
假
假
假
18. 常用的正面叙述的词语及它的否定列举如下
正面词语
至多有一个
至少有一个
任意的
所有的
至多有n个
任意两个
否 定
至少有两个
一个也没有
某个
某些
至少有n+1个
某两个
正面词语
等 于
大于(>)
小于(<)
是
都是
一定
否 定
不等于
不大于(≤)
不小(≥)
不是
不都是
不一定
19.四种命题
(1)用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，则四种命题的形式为：
原命题：若则 逆命题：若则
否命题：若则 逆否命题：若则
(2)四种命题的关系：
互否
互否
互逆
原命题（若则）
逆命题（若则）
互逆
否命题若（则）
逆否命题（若则）
注：一个命题它的逆否命题。当一个命题的真假不易判断时，可转而判断它的逆否命题
20.数量命题中
特称命题的否定是全称命题；全称命题的否定是特称命题.
21.命题的否定与否命题 命题T:若,则
命题T的否定: 若,则; 命题T的否命题: 若,则
22.若，则是的充分条件；若，则是的必要条件；
若，且，则是的充要条件
23.若是的充分条件,则是的必要条件
24.证明是的充要条件的步骤
①充分性:把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出
②必要性:把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出
第二章 函数、导数及其应用
1. 映射有如下三个特征(A到B)
（1）A中的任一元素在B中都有象，且象唯一；
（2）A中不同的元素在B中可以有相同的象；
（3）并不要求B中所有元素在A中都有原象.
2.A=，B=，从Ａ到Ｂ可以建立个不同的映射；
3. 函数的表示方法:常用的有解析法、列表法、图象法三种.
4.函数定义域的求法：列方程（组），解方程（组）.与实际问题有关的函数，其定义域是使函数解析式有意义且使实际问题有意义的自变量的范围.
5.函数值域的求法
(1)=+ 单调性法;
(2)配方法；
(4) 反表示法；单调性法;
(5) 判别式法；单调性法;
(6) 判别式法；均值不等式法 ；
(7) 换元法；单调性法 ;
(8)y=sinx+b；y=cosx+b 有界性；
6.函数关系
(1)已知，求的方法：直接把中的换成即可；
(2)已知，求的方法：
①换元法：设=，反解，代入即可求得；
②配凑法:在中凑出，直接将换成.
7.反函数
把它写成y=f(x).注:
(1)一个函数在其整个定义域内不一定存在反函数，但在某一个区间上有反函数.
(2)反函数的定义域与值域分别是原函数的值域与定义域.
(3)反函数有下面两条性质：
①在同一坐标系中，互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；反之，如果两个函数的图象关于直线y=x对称，那么这两个函数是互为反函数；
②函数与其反函数在各自的定义域上有相同的单调性.
③单调递增函数与其反函数图象的交点必在直线y=x上.
(4)求反函数的一般步骤是：
①由已知函数y=f(x)，解出x=f(y)；
②把x=f(y)中的x与y对调，得y=f(x)；
③写出定义域（即原来函数的值域）.
8.奇偶函数的定义
若的定义域I关于原点对称,(即则),且(或),则函数叫偶函数(或奇函数)
9. 奇偶函数的的性质
①是奇函数的图象关于原点对称；
是偶函数的图象关于轴对称。
②奇函数在其对称区间上具有相同的单调性；
偶函数在其对称区间上具有相反的单调性。
10.判断函数奇偶性的方法
① 定义法：定义域关于原点对称与，结合起来判断；
或定义域关于原点对称与是偶函数；是奇函数结合起来判断。
② 图象法：利用图象的对称性判断。
11.有关函数奇偶性的重要结论
① 若是偶函数，则
② 若是奇函数，且在处有定义，则f(0)=0;
③ 若且的定义域关于原点对称，则既是奇函数又是偶函数；
12．单调函数的定义
设是定义域内的一个区间，对于任意的，
① 若时，有，则在上为增函数；
② 若时，有，则在上为减函数；
13.单调性的判定方法
① 定义法：任取两变量---作差---变形---定号---结论；
14.复合函数单调性 同增异减原则
15. 有关函数单调性的重要结论
①若都为增（或减）函数，则为增（或减）函数;
若为增函数，为减函数，则为增函数;
若为减函数，为增函数，则为减函数;
②奇函数在其对称的区间上单调性相同,偶函数在其对称的区间上单调性相反;
③互为反函数的两个函数有相同的单调性;
16．图象的变换
㈠对称变换：
①
②
③
④
⑤
⑥
㈡平移变换：
17幂的有关概念
n个
① 正整数指数幂：
② 零指数幂：
③ 负整数指数幂：
④ 正分数指数幂：
⑤ 负分数指数幂：
⑥ 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义
18有理指数幂的性质
①；②
③
19“指数与对数 ”中的重要公式
⑴. ⑵.
⑶. ⑷.
⑸. ⑹.
(7). ⑻.
⑼. ⑽.
⑾. ⑿.
20.指数函数的图象及性质
解析式
图
象
1
y
x
o
1
y
x
o
定义域
值 域
单调性
在上是增函数
在上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
非奇非偶函数
对的
影响
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
21．对数函数的图象及性质
解析式
图
象
1
y
x
o
1
y
x
o
定义域
值 域
单调性
在上是增函数
在上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
非奇非偶函数
对的
影响
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
22.幂函数（的图像及性质（几种特殊幂函数的性质）幂函数的性质总结
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．
③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．
④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．
23.二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：
②顶点式：
③两根式：
（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
③已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便．
（3）二次函数图象的性质：
①二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是．
②当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；
当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，．
③对于二次函数，当时，图象与轴有两个交点．
（4）二次函数在闭区间上的最值：可根据抛物线的对称轴与区间的关系，利用图像法求值域。一般可分为四种情况：
“轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”、“轴动区间动”。
（5）利用二次函数及一元二次方程求解一元二次不等式如下表：
判别式
二次函数
图象
o
y
x
o
y
x
o
y
x
一元二次方程
根
两相异根
两等根
无实数根
的解集
R
的解集
24．指数方程的解法
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸.
25对数方程的解法
⑴ （2）
（3）令（4） 图象法.
26.方程的根与函数的零点
（1）函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
（2）函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
（3）函数零点的求法：
（代数法）求方程的实数根；
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
③（零点存在定理）如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得这个也就是方程的根.
注意:若函数在上有零点,不一定有.
④(二分法)对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法.
32.三种增长型函数增长速度的比较
在区间上,函数,都是增函数,但它们的增长速度不同.随着的增大, 的增长速度越来越快,会超过并远远大于的增长速度;而的增长速度则会越来越慢,图象逐渐表现为与轴趋于平行.因此,总会存在一个,当时,就有
必修二
立体几何
1．“有且只有”命题的证明：须先证存在性，再证唯一性.
2．证明直线在平面内的方法：只需证明直线上有两点在平面内.
3．证明点共线的方法：只需证明这些点是两个不重合平面的公共点.
4．证明线共面的方法：先由其中两条平行直线或两条相交直线确定一个平面，再证明其余直线都在这个平面内.
5．两条直线垂直的判定
定 理（文字语言）
图 形 语 言
符 号 语 言
一直线垂直于一个平面，则这直线垂直于这个平面内的任意一条直线。
b
平面内的一条直线，如果和这平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这斜线垂直（三垂线定理）
b
C
B
A
在平面内的一条直线，如果和这平面的一条斜线垂直，那么它也和这斜线的射影垂直（三垂线逆定理）
b
C
B
A
如果一条直线和两条平行线中的一条直线垂直，那么也和另一条垂直（不一定相交）
b
l
6. 两条直线平行的判定
定 理（文字语言）
图 形 语 言
符 号 语 言
平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）
c
b
垂直于同一平面的两条直线平行
b
一条直线平行于一个平面，则过这条直线的平面与原平面的交线必平行于这条直线
b
如果两个平行平面和第三个平面相交，它们的两条交线互相平行
7．直线与平面垂直的判定：
定 理（文字语言）
图 形 语 言
符 号 语 言
一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这直线和这平面垂直
b
c
两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面
b
一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条直线也垂直于另一个平面
b
如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也必垂直于第三个平面
l
两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一平面
8.直线和平面平行：
定 理（文字语言）
图 形 语 言
符 号 语 言
平面外的一条直线如果和这个平面内的一条直线平行，则这条直线平行于这个平面.
b
两个平面互相平行,那么其中一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面
b
若平面外的两条平行直线中有一条和平面平行,则另一条也和这个平面平行
b
9.两平面平行的判定:
定 理（文字语言）
图 形 语 言
符 号 语 言
垂直于同一条直线的两个平面平行
b
如果一个平面内的两相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行
如果一个平面内的两相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行
平行于同一个平面的两个平面平行
10.两平面垂直的判定:
定 理（文字语言）
图 形 语 言
符 号 语 言
一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直
如果两个平面所成的二面角是直二面角,则这两个平面垂直
是
一个平面垂直于两个平行平面中的一个,也必垂直于另一个
11.①从空间一点O出发的三条射线OA，OB，OC.若则点A在平面BOC上的射影在的平分线上,
②AB和平面所成的角为.,AD在平面内,AD和AB的射影AC所成的角为,,则
12.空间两点间的距离公式
设 则
13．向量的模 设，则
14点对称
⑴点关于轴的对称点；
⑵点关于轴的对称点；
⑶点关于轴的对称点；
⑷点关于原点的对称点；
⑸点关于坐标平面的对称点；
⑹点关于坐标平面的对称点；
⑺点关于坐标平面的对称点.
解析几何
1．直线倾斜程度的表示
⑴倾斜角：；⑵斜率：非直角的倾斜角的正切值.
斜率与倾斜角的计算：
①
已知两点，则斜率
若，则直线的斜率不存在.此时直线的倾斜角为.
2．直线方程的各种形式
①斜率不存在，方程为为直线在轴上的截距）.
②斜率存在，方程可列表如下
形式
方程
适用范围
点 斜 式
斜 截 式
两 点 式
截 距 式
直线不过原点
一般式
不同时为0)
适用于所有直线
3.与直线不同时为0)平行的直线方程的一般形式为
4. 与直线不同时为0)垂直的直线方程的一般形式为
5.两直线的位置关系
⑴若
①∥ ; ②与重合;
③与相交;(特殊地,)
⑵若
当时, ;
当时,且 , ∥
6. 点到直线的距离为
7. 与间的距离为
8.圆的方程
标准方程一般方程
圆心,半径 圆心半径
9．二元二次方程表示一个圆的充要条件为
① ② ③
10.以为直径的圆的方程为
其中
11.点与圆的位置关系
①点在圆外,
②点在圆上,
③点在圆内,
12.直线与圆的位置关系
①设圆心到直线的距离为,圆的半径为则
直线与圆相离;直线与圆相切;直线与圆相交
②将直线方程代入圆的方程,化成关于某个变量的一元二次方程,设根的判别式为,则 与圆相交 ，与圆相切，与圆相离
13.过圆上的点的圆的切线方程是
14．过圆上的点的圆的切线方程是
.
24.常见的圆系方程
⑴过定直线和定圆两交点的圆系：;
⑵过两定圆和的交点的圆系：，当时，方程表示两圆公共弦所在直线方程.
25.弦长的计算
⑴几何方法:
运用圆心距(即圆心到直线的距离)、弦心距及半径构成直角三角形计算
⑵代数方法：
运用韦达定理及弦长公式
26．圆与圆的位置关系
设⊙⊙
①⊙与⊙相离；
②⊙与⊙外切；
③⊙与⊙相交；
④⊙与⊙内切；
⑤⊙与⊙内含；
相离
外切
内切
相交
同心圆
内含
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