2022高三一轮复习学案(理数)(人教)第六章-不等式与推理证明-第4课时-直接证明与间接证明.docx

第4课时　直接证明与间接证明
考纲索引
1. 分析法和综合法的形式.
2. 分析法和综合法的联系与区分.
课标要求
1. 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法,了解分析法和综合法的思考过程、特点.
2. 了解间接证明的一种基本方法——反证法,了解反证法的思考过程、特点.
学问梳理
1. 直接证明
(1)综合法
①定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最终推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做　　　　. 
②框图表示:P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q
(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示要证的结论).
(2)分析法
①定义:从要证明的结论动身,逐步寻求使它成立的充分条件,直到最终,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.这种证明方法叫做　　　　法. 
②框图表示:Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.
2. 间接证明
一般地,由证明p⇒q转向证明:􀱑q⇒r⇒…⇒t.
t与假设冲突,或与某个真命题冲突.从而判定􀱑q为假,推出q为真的方法,叫做　　　　. 
基础自测
2. 否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为(　　).
A. a,b,c都是奇数
B. a,b,c都是偶数
C. a,b,c中至少有两个偶数
D. a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数
3. 命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=
cos2θ-sin2θ=cos2θ”过程应用了(　　).
A. 分析法 B. 综合法
C. 综合法、分析法综合使用 D. 间接证明法
4. (教材改编)用反证法证明命题:“a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为　　　　　　　　. 
指 点 迷 津　　
◆一个关系
综合法与分析法是一种互逆关系:即相逆的推理过程.
◆两个防范
(1)利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并用假设命题进行推理,没有用假设命题推理而推出冲突结果,其推理过程是错误的.
(2)用分析法证明数学问题时,要留意书写格式证明的规范性,经常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论P,再说明所要证明的数学问题成立.
考点透析
考向一　综合法的应用

【方法总结】　(1)综合法的思维特点是:由已知推出结论.用综合法证明不等式时常用的重要不等式有:a2≥0;a2+b2≥2ab(a,b∈R);≥(a>0,b>0);+≥2(a,b同号)等.
(2)由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以依据不等式的意义、性质或比较法证出的,所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接依据不等式的意义、性质或比较法来证明.
变式训练

考向二　分析法的应用

【审题视点】　用分析法转化为余弦(正弦)函数值的推断.

【方法总结】　分析法是数学中常用到的一种直接证明方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从结论到题设)的规律推理方法.具体地说,即先假设所要证明的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些推断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证.
变式训练
2. 已知△ABC三边a,b,c的倒数成等差数列,证明:B为锐角.

考向三　反证法

(1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
【审题视点】　(1)用增函数定义证明;(2)假设有负数根,依据指数函数性质证出冲突.

【方法总结】　当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式毁灭时,宜用反证法来证,反证法的关键是在正确的推理下得出冲突,冲突可以是:①与已知条件冲突;②与假设冲突;③与定义、公理、定理冲突;④与事实冲突等方面,反证法经常是解决某些“疑难”问题的有力工具,是数学证明中的一件有力武器.
变式训练
3. 用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是(　　).
A. 方程x2+ax+b=0没有实根
B. 方程x2+ax+b=0至多有一个实根
C. 方程x2+ax+b=0至多有两个实根
D. 方程x2+ax+b=0恰好有两个实根
经典考题

【解题指南】　W是满足条件的集合,用综合法探究元素与集合的关系.用综合法求m值,用反证法证明第(3)问.

所以p=r,与p≠r冲突.
所以{Cn}中任意不同的三项都不能成为等比数列.
真题体验
1. (2022·全国新课标Ⅰ)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中,正确的是(　　).
A. f(x)g(x)是偶函数
B. |f(x)|g(x)是奇函数
C. f(x)|g(x)|是奇函数
D. |f(x)g(x)|是奇函数
2. (2022·四川)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:

参考答案与解析
学问梳理
1. (1)综合法　(2)分析法　2. 反证法
基础自测
1. B　2. D　3. B　4.a,b都不能被5整除　5.
考点透析

变式训练

经典考题
真题体验