1、第3课时基本不等式及其应用考纲索引1. 几个重要的不等式.2. 基本不等式成立的条件.课标要求1. 了解基本不等式的证明过程.2. 会用基本不等式解决简洁的最大(小)值问题.学问梳理1. 基本不等式: (1)基本不等式成立的条件:.(2)等号成立的条件:当且仅当时取等号.2. 几个重要的不等式3. 算术平均数与几何平均数设a0,b0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为.4. 利用基本不等式求最值问题已知x0,y0,则(1)假如积xy是定值p,那么当且仅当时,x+y有最值是.(简记:积定和最小)(2)假如和x+y是定值p,那么当且仅当时,xy有最 值是.(简记:和定积最大)
2、基础自测1. (教材改编)函数的值域为().A. (-,-22,+)B. (0,+)C. 2,+)D. (2,+2. 下列不等式: .其中正确的个数是().A. 0B. 1 C. 2D. 33. 若a0,b0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为().A. B. 1 C. 2D. 44. (教材改编)若x0,则的最小值为.5. (教材精选)若x1,则的最小值为.指 点 迷 津公式的两种应用三个留意(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正缘由是对其存在前提“一正、二定、三相等 ”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不行.(2)在运用基本不等式时,要特殊留意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其
3、满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.(3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且全都.考点透析考向一利用基本不等式求最值 (2)设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是.【审题视点】(1)用三点共线,寻求a,b的等式关系,用基本不等式求最值.(2)求(2x+y)2满足的取值,寻求xy与2x+y的不等关系.变式训练考向二基本不等式的实际应用例2(2021山东潍坊高三模拟)某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162m2的三级污水处理池,池的深度确定(平面图如图所示),假如池四四周墙建筑单价为400元/m,中间两道隔墙建筑单价为248元/
4、m,池底建筑单价为80元/m2,水池全部墙的厚度忽视不计.(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16m,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.【审题视点】设污水处理池宽为x m,则长为 m,然后建立总造价与x的函数关系,再利用基本不等式或单调性求最值.【方法总结】(1)问题的背景是人们关系的社会热点问题,如“物价、销售、税收、原材料”等,题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息, 建立数学模型,转化为数学问题求解.(2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基本不
5、等式求解,此时可依据变最的范围用对应函数的单调性求解.变式训练2. (2021山西太原二模)如图,一个铝合金窗分为上、下两栏,四周框架和中间隔档的材料为铝合金,宽均为6 cm,上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为12,此铝合金窗占用的墙面面积为28 800 cm2,设该铝合金窗的宽和高分别为a cm,b cm,铝合金窗的透光部分的面积为S cm2.(第2题)(1)试用a,b表示S;(2)若要使S最大,则铝合金窗的宽和高分别为多少?经典考题真题体验1. (2022福建)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器. 已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是().A. 80元B. 120元C. 160元D. 240元 (1)假如不限定车型,l=6.05,则最大车流量为辆/小时;(2)假如限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/小时. 参考答案与解析 学问梳理 基础自测1. C2. B3. A4. 5. 5【感悟考点透析】 变式训练 经典考题真题体验
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