2022高三一轮复习学案(理数)(人教)第六章-不等式与推理证明-第3课时-基本不等式及其应用.docx

第3课时　基本不等式及其应用
考纲索引
1. 几个重要的不等式.
2. 基本不等式成立的条件.
课标要求
1. 了解基本不等式的证明过程.
2. 会用基本不等式解决简洁的最大(小)值问题.
学问梳理
1. 基本不等式:
(1)基本不等式成立的条件:　　　　　　. 
(2)等号成立的条件:当且仅当　　　时取等号. 
2. 几个重要的不等式
3. 算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为　　　　,几何平均数为　　　　,基本不等式可叙述为　　　　　　　　　　　　　　　　. 
4. 利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0,则
(1)假如积xy是定值p,那么当且仅当　　　　时,x+y有最　　　　值是　　　　.(简记:积定和最小) 
(2)假如和x+y是定值p,那么当且仅当　　　　时,xy有最　　　　 值是　　　　.(简记:和定积最大) 
基础自测
1. (教材改编)函数的值域为(　　).
A. (-∞,-2]∪[2,+∞)　　　B. (0,+∞)
C. [2,+∞) D. (2,+∞]
2. 下列不等式: .其中正确的个数是(　　).
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为(　　).
A. B. 1 C. 2 D. 4
4. (教材改编)若x>0,则的最小值为　　　　. 
5. (教材精选)若x>1,则的最小值为　　　　. 
指 点 迷 津　　
◆公式的两种应用

◆三个留意
(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正缘由是对其存在前提“一正、二定、三相等 ”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不行.
(2)在运用基本不等式时,要特殊留意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.
(3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且全都.
考点透析　
考向一　利用基本不等式求最值

(2)设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是　　　　. 
【审题视点】　(1)用三点共线,寻求a,b的等式关系,用基本不等式求最值.
(2)求(2x+y)2满足的取值,寻求xy与2x+y的不等关系.

变式训练

考向二　基本不等式的实际应用
例2　(2021·山东潍坊高三模拟)某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162m2的三级污水处理池,池的深度确定(平面图如图所示),假如池四四周墙建筑单价为400元/m,中间两道隔墙建筑单价为248元/m,池底建筑单价为80元/m2,水池全部墙的厚度忽视不计.

(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;
(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16m,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.
【审题视点】　设污水处理池宽为x m,则长为 m,然后建立总造价与x的函数关系,再利用基本不等式或单调性求最值.

【方法总结】　(1)问题的背景是人们关系的社会热点问题,如“物价、销售、税收、原材料”等,题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息, 建立数学模型,转化为数学问题求解.
(2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时可依据变最的范围用对应函数的单调性求解.
变式训练
2. (2021·山西太原二模)如图,一个铝合金窗分为上、下两栏,四周框架和中间隔档的材料为铝合金,宽均为6 cm,上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2,此铝合金窗占用的墙面面积为28 800 cm2,设该铝合金窗的宽和高分别为a cm,b cm,铝合金窗的透光部分的面积为S cm2.

(第2题)
(1)试用a,b表示S;
(2)若要使S最大,则铝合金窗的宽和高分别为多少?

经典考题

真题体验
1. (2022·福建)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器. 已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(　　).
A. 80元 B. 120元
C. 160元 D. 240元

(1)假如不限定车型,l=6.05,则最大车流量为　　　　辆/小时; 
(2)假如限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加　　　　辆/小时.  

参考答案与解析
学问梳理
基础自测
1. C　2. B　3. A　4. 　5. 5
【感悟考点透析】

变式训练

经典考题
真题体验