资源描述
第6课时 函数的图象
考纲索引
1. 图象的画法.
2. 图象的变换.
课标要求
1. 在实际情境中,会依据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数.
2. 会运用函数图象理解和争辩函数的性质,解决方程解的个数与不等式的解的问题.
3. 会用数形结合思想、转化与化归思想解决函数问题.
学问梳理
1. 作图
其基本步骤是列表、描点、连线.首先:①确定函数的 ;②化简函数关系式;③争辩函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);其次:列表(尤其留意特殊点、零点、最大点、最小点、与坐标轴的交点),描点,连线.
2. 平移变换
原图象对应的函数
图象变换过程(a>0,b>0)
变换后图象对应的函数
y=f(x)
向 平移a个单位
y=f(x+a)
y=f(x)
向 平移a个单位
y=f(x-a)
y=f(x)
向上平移b个单位
y=f(x)+b
y=f(x)
向下平移b个单位
y=f(x)-b
3. 对称变换
函数A
函数B
A与B的图象间的对称关系
y=f(x)
y=f(-x)
关于y轴对称
y=f(x)
y=-f(x)
关于x轴对称
y=f(x)
y=-f(-x)
关于原点对称
4. 伸缩变换
原图象对应的函数
图象变换过程(a>1,0<b<1)
变换后图象对应的函数
y=f(x)
图象上每个点的纵坐标都伸长到原来的a倍
y=af(x)
y=f(x)
图象上每个点的纵坐标都缩短到原来的b倍
y=bf(x)
y=f(x)
图象上每个点的横坐标都伸长到原来的a倍
y=f
y=f(x)
图象上每个点的横坐标都缩短到原来的b倍
y=f
5. 翻折变换
原图象对应的函数
图象变换过程
变换后图象对应的函数
y=f(x)
先作出f(x)的图象,位于x轴上方的部分保持不动,将图象位于x轴下方的部分对称翻折到x轴上方
y=|f(x)|
y=f(x)
先把f(x)的图象中位于y轴右侧的部分作出,将图象中位于y轴右侧的部分对称翻折到y轴左侧
y=f(|x|)
基础自测
1. 假如函数y=f(x)的图象与函数y=3-2x的图象关于原点对称,则y=f(x)的关系式为( ).
A. y=2x-3 B. y=2x+3
C. y=-2x+3 D. y=-2x-3
2. 函数y=x|x|的图象大致是( ).
3. (教材改编)函数y=ln(1-x)的大致图象为( ).
4. (教材改编)为了得到函数y=3×的图象,可以把函数y=的图象向 平移 个单位长度.
5. 函数y=f(x)在x∈[-2,2]的图象如图所示,则f(x)+f(-x)等于 .
(第5题)
指 点 迷 津
1. 一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称不是一回事,函数y=f(x)的图象关于y轴对称是自身对称,说明该函数为偶函数;而函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称,是两个函数的图象对称.
2. 对于左、右平移变换,往往简洁出错,在实际推断中可熟记口诀;左加右减;但要留意加、减指的是在自变量上,否则不成立,如y=f(x)向左平移1个单位得y=f(x+1),y=f(2x)向右平移个单位得y=f(2x+1).
考点透析
考向一 函数图象的作法
例1 分别画出下列函数的图象:
(1)y=|lgx|;(2)y=2x+2.
【审题视点】 (1)按对称翻折作图.(2)由y=2x平移作图.
【方法总结】 (1)直接法:当函数关系式(或变形后的关系式)是生疏的函数或解析几何中生疏的曲线的局部(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时,就可依据这些函数的奇偶性、周期性、对称性或曲线的特征直接作出.
(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要留意变换挨次,对不能直接找到生疏函数的要先变形,并应留意平移变换与伸缩变换的挨次对变换单位及关系式的影响.
考向二 识图与辨图
例2 (1)(2022·吉林二模)已知函数f(x)=x2+2x+1-2x,则y=f(x)的图象大致为( ).
(2)(2022·杭州一模)设函数f(x)=acosax(a∈R),则下列图象可能为y=f(x)的图象是( ).
【解题指南】 (1)本题主要考查函数图象,意在考查考生的数形结合力气.
(2)本题考查三角函数的性质与图象,难度中等.
考向三 函数图象的应用
例3 (2022·天津模拟)已知f(x)=cos2ωx-sinωx·cosωx-(ω>0)的图象与y=1的图象的两相邻交点间的距离为π,要得到y=f(x)的图象,只须把y=cos2x的图象( ).
A. 向左平移个单位
B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位
D. 向右平移个单位
【解题指南】 本题考查三角函数的图象和性质,难度中等.
变式训练
(2021·山东德州模拟)如图,当参数λ分别取λ1,λ2时,函数(x≥0)的部分图象分别对应曲线C1,C2,则有( ).
A. 0<λ1<λ2 B. 0<λ2<λ1
C. λ1<λ2<0 D. λ2<λ1<0
经典考题
典例 (2022·福州模拟)如图,偶函数f(x)的图象形如字母M,奇函数g(x)的图象形如字母N,若方程f(g(x))=0,g(f(x))=0的实根个数分别为a,b,则a+b等于( ).
A. 18 B. 21
C. 24 D. 27
【解题指南】 本题考查函数的图象与性质、函数与方程的关系,难度较大.
真题体验
1. (2022·湖北)如图所示,函数y=f(x)的图象由两条射线和三条线段组成.若∀x∈R,f(x)>f(x-1),则正实数a的取值范围为 .
(第1题)
2. (2022·江苏)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, .若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是 .
参考答案与解析
学问梳理
1. 定义域 2. 左 右
基础自测
1. D 2. A 3. C 4. 右 1 5. 0
考点透析
【例1】 (1) 由于y=|lgx|=
所以函数y=|lgx|的图象如图(1).
(2) 将函数y=2x的图象向左平移2个单位即可得出函数y=2x+2的图象,如图(2).
【例2】 (1)A 解析:f(x)=x2+2x+1-2x=(x+1)2-2x,令g(x)=(x+1)2, h(x)=2x,则f(x)=g(x)-h(x),在同一坐标系下作出两个函数的简图,依据函数图象的变化趋势可以发觉g(x)与h(x)的图象共有三个交点,其横坐标从小到大依次设为x1, x2, x3,在区间(-∞, x1)上有g(x)>h(x),即f(x)>0;在区间(x1, x2)上有g(x)<h(x),即f(x)<0;在区间(x2, x3)上有g(x)>h(x),即f(x)>0;在区间(x3, +∞)上有g(x)<h(x),即f(x)<0.故选A.
(2)C 解析:对于A, D,留意到当x=0时,f(x)=acos0=a≠0,因此选项A, D不正确;对于B,留意到其最小正周期为, a=2,此时相应的最大值是2,这与所给的图象不吻合,因此选项B不正确.综上所述,故选C.
变式训练
.经典考题
真题体验
1. 解析:“∀x∈R,f(x)>f(x-1)”等价于“函数y=f(x)的图象恒在函数y=f(x-1)的图象的上方”,函数y=f(x-1)的图象是由函数y=f(x)的图象向右平移一个单位得到的,如图所示.由于a>0,由图知6a<1,所以a的取值范围为.
2. 解析:先画出y=x2-2x+在区间[0, 3]上的图象,再将x轴下方的图象对称到x轴上方,利用周期为3,将图象平移至区间[-3, 4]内,即得f(x)在区间[-3, 4]上的图象如下图所示,其中f(-3)=f(0)=f(3)=0.5, f(-2)=f(1)=f(4)=0.5.函数y=f(x)-a在区间[-3, 4]上有10个零点(互不相同)等价于y=f(x)的图象与直线y=a有10个不同的交点,由图象可得a∈
.
(第2题)
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
