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第一章 集合与常用规律用语
第1课时 集合的概念与运算
考纲索引
1. 集合的含义与表示.
2. 集合间的基本关系.
3. 集合的基本运算.
课标要求
1. 了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.
2. 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
3. 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简洁集合的并集与交集.
4. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
学问梳理
1. 集合与元素
(1)集合元素的三个特征:确定性、 、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号 或 表示.
(3)集合的表示法:列举法、描述法、Venn图法.
(4)常用数集:自然数集N;正整数集N*(或N+);整数集Z;有理数集Q;实数集R.
(5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、 .
2. 集合间的基本关系
表示关系
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中的全部元素都相同
A=B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
或
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素
或
空集
空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B的真子集
3. 集合的基本运算
并集
交集
补集
符号
表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A的补集为∁UA
图形
表示
意义
基础自测
1. 已知集合A={x|x>1},B={x|-1<x<2},则A∩B等于( ).
A. {x|-1<x<2} B. {x|x>-1}
C. {x|-1<x<1} D. {x|1<x<2}
2. 已知集合A={-1,0,4},集合B={x|x2-2x-3<0,x∈N},全集为U,则图中阴影部分表示的集合是( ).
(第2题)
A. {4} B. {4,-1}
C. {4,5} D. {-1,0}
3. 已知集合P={x|x2≤1},M={a},若P∪M=P,则a的取值范围是( ).
A. (-∞,-1] B. [1,+∞)
C. [-1,1] D. (-∞,-1]∪[1,+∞)
4. (教材改编)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则A∩(∁UB)= .
5. (教材改编)已知集合A={-1,2},B={x|mx+1=0},若A∪B=A,则m的可能取值组成的集合为 .
指 点 迷 津
◆一共性质
要留意A⊆B、A∩B=A、A∪B=B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)= 这五个关系式的等价性.
◆两种方法
Venn图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特殊留意端点是实心还是空心.
如:全集U=R,A={x|a≤x≤a+1},B={x|x<-1},若A∩(∁UB)=,则a的范围为a<-2.
◆三个防范
①认清元素的意义,数集与点集混淆、函数的定义域与值域混淆、图形集与点集混淆等,如{x|y=}与{y|y=}以及{(x,y)|y=
}分别表示函数y=的定义域、值域以及函数图象上的点集;
②留意防范:集合的基本运算中端点值的取舍导致增解或漏解,求解集合的补集时由于错误否定条件导致错解,如已知A=,误把集合A的补集写为
导致漏解;
③空集是任何集合的子集,留意对空集的争辩,防止漏解;留意集合中元素的互异性,防止增解,如关系“B⊆A”中,B可以为 .
考点透析
考向一 集合的基本概念
例1 (2022·全国新课标Ⅰ)已知集合M={x|-1<x<3},B={x|-2<x<1},则M∩B等于( ).
A. (-2,1) B. (-1,1)
C. (1,3) D. (-2,3)
【审题视点】 依据集合的定义,通过运算可求两集合的公共部分.
【方法总结】 (1)解题时留意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系.
(2)利用元素与集合的关系求字母参数时,要留意元素互异性的应用,一方面能利用互异性顺当找到解题的切入点,另一方面在解答完毕时留意检验集合元素是否满足互异性以确保答案正确.
变式训练
1. 已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是( ).
A. (-∞,1] B. [1,+∞) C. [0,+∞) D. (-∞,1)
考向二 集合间的基本关系
例2 (1)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B=[2,+∞),则图中阴影部分所表示的集合为( ).
A. {0,1,2} B. {0,1}
C. {1,2} D. {1}
(2)(2022·苏北四市联考)已知集合A={2+,a},B={-1,1,3},且A⊆B,则实数a的值是 .
【审题视点】 (1)本题考查集合运算,难度较小.(2)本题考查集合与集合之间的关系.
【方法总结】 (1)两个集合相等,可以从两个集合中的元素相同求解,也可利用定义:A⊆B且B⊆A⇔A=B.
(2)对于集合的包含关系,B⊆A时,别遗忘B= 的状况.对于端点的虚实可单独验证.
变式训练
2. (2022·辽宁五校联考)设集合P={x|x>1},Q={x|x2-x>0},则下列结论正确的是( ).
A. P⊆Q B. Q⊆P
C. P=Q D. P∪Q=R
考向三 集合的基本运算
例3 (2022·全国新课标Ⅱ)已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B等于( ).
A. B. {2}
C. {0} D. {-2}
【审题视点】 本题考查集合的运算,难度较小.
变式训练
3. 设集合A= ,B={y|y=x2},则A∩B等于( ).
A. [-2,2] B. [0,2]
C. [0,+∞) D. {(-1,1),(1,1)}
考题回顾
典例 (2022·浙江六校联考)若任意x∈A,则∈A,就称A是“和谐”集合.则在集合M= 的全部非空子集中,“和谐”集合的概率是 .
【解题指南】 本题考查对以集合为背景的新定义的理解和应用、古典概型,难度较大.
【解析】 集合M的全部非空子集有28-1=255个,其中“和谐”集合中的元素在-1,1,
和2, 和3四组中选取,有24-1=15个,所以“和谐”集合的概率是
【答案】
真题体验
1. (2022·全国大纲)设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M∩N中元素的个数为( ).
A. 2 B. 3
C. 5 D. 7
2. (2022·北京)若集合A={0,1,2,4},B={1,2,3},则A∩B等于( ).
A. {0,1,2,3,4} B. {0,4}
C. {1,2} D. {3}
3. (2022·重庆)已知集合A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则A∩B= .
参考答案与解析
第一章 集合与常用规律用语
第1课时 集合的概念与运算
学问梳理
1. (1) 互异性 (2) ∈ ∉ (5) 空集
2.
3.
基础自测
1. D 2. B 3. C 4. {2, 4} 5.
考点透析
【例1】 B 解析:通过对集合M, B的比较可得两集合公共部分为(-1, 1).
【例2】 (1)D 解析:图中阴影部分表示为，由于 所以故选D.
(2)1 解析: 又
【例3】 B 解析由于:故选B.
变式训练
1. A 解析:由于
2. A 解析:由集合
所以选A.
3. B 解析
:
考题回顾
1. B 解析: 中有3个元素,故选B.
2. C 解析:
3. {3, 5, 13} 解析:
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