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用导数求切线方程的四种类型教学文稿.doc

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用导数求切线方程的四种类型 用导数求切线方程的四种类型 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率,其求法为:设是曲线上的一点,则以的切点的切线方程为:.若曲线在点的切线平行于轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为. 下面例析四种常见的类型及解法. 类型一:已知切点,求曲线的切线方程 此类题较为简单,只须求出曲线的导数,并代入点斜式方程即可. 例1 曲线在点处的切线方程为(  ) A. B. C. D. 解:由则在点处斜率,故所求的切线方程为,即,因而选B. 类型二:已知斜率,求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决. 例2 与直线的平行的抛物线的切线方程是(  ) A. B. C. D. 解:设为切点,则切点的斜率为. . 由此得到切点.故切线方程为,即,故选D. 评注:此题所给的曲线是抛物线,故也可利用法加以解决,即设切线方程为,代入,得,又因为,得,故选D. 类型三:已知过曲线上一点,求切线方程 过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切点,即用待定切点法. 例3 求过曲线上的点的切线方程. 解:设想为切点,则切线的斜率为. 切线方程为. . 又知切线过点,把它代入上述方程,得. 解得,或. 故所求切线方程为,或,即,或. 评注:可以发现直线并不以为切点,实际上是经过了点且以为切点的直线.这说明过曲线上一点的切线,该点未必是切点,解决此类问题可用待定切点法. 类型四:已知过曲线外一点,求切线方程 此类题可先设切点,再求切点,即用待定切点法来求解. 例4 求过点且与曲线相切的直线方程. 解:设为切点,则切线的斜率为. 切线方程为,即. 又已知切线过点,把它代入上述方程,得. 解得,即. 评注:点实际上是曲线外的一点,但在解答过程中却无需判断它的确切位置,充分反映出待定切点法的高效性. 例5 已知函数,过点作曲线的切线,求此切线方程. 解:曲线方程为,点不在曲线上. 设切点为, 则点的坐标满足. 因, 故切线的方程为. 点在切线上,则有. 化简得,解得. 所以,切点为,切线方程为. 评注:此类题的解题思路是,先判断点A是否在曲线上,若点A在曲线上,化为类型一或类型三;若点A不在曲线上,应先设出切点并求出切点.
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