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运筹学习题

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第二章 思考题、主要概念及内容 图解法、图解法的灵敏度分析
1. 考虑下面的线性规划问题：
max z=2x1+3x2；
约束条件： x1+2x2≤6，
5x1+3x2≤15，
x1，x2≥0．
(1) 画出其可行域．
(2) 当z=6时，画出等值线2x1+3x2=6．
(3) 用图解法求出其最优解以及最优目标函数值．
2. 用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解．
(1) min f=6x1+4x2；
约束条件：2x1+x2≥1，
3x1+4x2≥3，
x1，x2≥0．
(2) max z=4x1+8x2；
约束条件：2x1+2x2≤10，
-x1+x2≥8，
x1,x2≥0．
(3) max z=3x1-2x2；
约束条件：x1+x2≤1，
2x1+2x2≥4，
x1，x2≥0．
(4) max z=3x1+9x2；
约束条件：x1+3x2≤22，
-x1+x2≤4，
x2≤6，
2x1-5x2≤0，
x1，x2≥0
3. 将下述线性规划问题化成标准形式：
(1) max f=3x1+2x2；
约束条件：9x1+2x2≤30，
3x1+2x2≤13，
2x1+2x2≤9，
x1，x2≥0．
(2) min f=4x1+6x2；
约束条件：3x1-x2≥6，
x1+2x2≤10，
7x1-6x2=4，
x1，x2≥0．
(3) min f=-x1-2x2；
约束条件：3x1+5x2≤70,
-2x1-5x2=50，
-3x1+2x2≥30，
x1≤0，-∞≤x2≤∞．
(提示：可以令x′1=-x1，这样可得x′1≥0．同样可以令x′2-x″2=x2，其中x′2，x″2≥0．可见当x′2≥x″2时，x2≥0；当x′2≤x″2时，x2≤0，即-∞≤x2≤∞．这样原线性规划问题可以化为含有决策变量x′1，x′2，x″2的线性规划问题，这里决策变量x′1，x′2，x″2≥0．)
4. 考虑下面的线性规划问题：
min f=11x1+8x2；
约束条件：10x1+2x2≥20，
3x1+3x2≥18，
4x1+9x2≥36，
x1，x2≥0．
(1) 用图解法求解．
(2) 写出此线性规划问题的标准形式．
(3) 求出此线性规划问题的三个剩余变量的值．
5. 考虑下面的线性规划问题：
max f=2x1+3x2；
约束条件：x1+x2≤10，
2x1+x2≥4，
x1+3x2≤24，
2x1+x2≤16，
x1，x2≥0．
(1) 用图解法求解．
(2) 假定c2值不变，求出使其最优解不变的c1值的变化范围．
(3) 假定c1值不变，求出使其最优解不变的c2值的变化范围．
(4) 当c1值从2变为4，c2值不变时，求出新的最优解．
(5) 当c1值不变，c2值从3变为1时，求出新的最优解．
(6) 当c1值从2变为25，c2值从3变为25时，其最优解是否变化?为什么?
6. 某公司正在制造两种产品，产品Ⅰ和产品Ⅱ，每天的产量分别为30个和120个，利润分别为500元/个和400元/个．公司负责制造的副总经理希望了解是否可以通过改变这两种产品的数量而提高公司的利润．公司各个车间的加工能力和制造单位产品所需的加工工时如表2-4（25页）所示．

(1) 假设生产的全部产品都能销售出去，用图解法确定最优产品组合，即确定使得总利润最大的产品Ⅰ和产品Ⅱ的每天的产量．
(2) 在(1)所求得的最优产品组合中，在四个车间中哪些车间的能力还有剩余?剩余多少?这在线性规划中称为剩余变量还是松弛变量?
(3) 四个车间加工能力的对偶价格各为多少?即四个车间的加工能力分别增加一个加工时数时能给公司带来多少额外的利润?
(4) 当产品Ⅰ的利润不变时，产品Ⅱ的利润在什么范围内变化，此最优解不变?当产品Ⅱ的利润不变时，产品Ⅰ的利润在什么范围内变化，此最优解不变?
(5) 当产品Ⅰ的利润从500元/个降为450元/个，而产品Ⅱ的利润从400元/个增加为430元/个时，原来的最优产品组合是否还是最优产品组合?如有变化，新的最优产品组合是什么?
第四章 人力资源的分配问题；生产计划的问题；套裁下料问题；配料问题；投资问题。
1、某锅炉制造厂，要制造一种新型锅炉10台，需要原材料为63.5×4 mm的锅炉钢管，每台锅炉需要不同长度的锅炉钢管数量如表4-12所示．

库存的原材料的长度只有5 500 mm一种规格，问如何下料，才能使总的用料根数最少?需要多少根原材料?
答案：296.667根
2、某快餐店坐落在一个旅游景点中．这个旅游景点远离市区，平时游客不多，而在每个星期六游客猛增．快餐店主要为旅客提供低价位的快餐服务．该快餐店雇佣了两名正式职工，正式职工每天工作8小时．其余工作由临时工来担任，临时工每班工作4个小时．在星期六，该快餐店从上午11时开始营业到下午10时关门．根据游客就餐情况，在星期六每个营业小时所需职工数(包括正式工和临时工)如表4-13所示．

已知一名正式职工11点开始上班，工作4个小时后，休息1个小时，而后再工作4个小时；另一名正式职工13点开始上班，工作4个小时后，休息1个小时，而后再工作4个小时．又知临时工每小时的工资为4元．
(1) 在满足对职工需求的条件下，如何安排临时工的班次，使得使用临时工的成本最小?
(2) 这时付给临时工的工资总额为多少?一共需要安排多少临时工的班次?请用剩余变量来说明应该安排一些临时工的3小时工作时间的班次，可使得总成本更小．
(3) 如果临时工每班工作时间可以是3小时，也可以是4小时，那么应如何安排临时工的班次，使得使用临时工的总成本最小?这样比(1)能节省多少费用?这时要安排多少临时工班次?
答案：（2）工资总额为320元；一共需要安排80个班次；
（3）此时总成本为264元；需要安排66个临时班次；
3、前进电器厂生产A，B，C三种产品，有关资料如表4-14所示．

(1) 在资源限量及市场容量允许的条件下，如何安排生产使获利最多?
(2) 说明A，B，C三种产品的市场容量的对偶价格以及材料、台时的对偶价格的含义，并对其进行灵敏度分析．如要开拓市场应当首先开拓哪种产品的市场?如要增加资源，则应在什么价位上增加机器台时数和材料数量?
答案：该厂的最大利润为6400元
第五章 单纯形法的基本思路和原理单纯形法的表格形式求目标函数值最小的线型规划的问题的单纯形表解法
用单纯形法或大M法解下列线性规划问题，并指出问题的解属于哪一类．
(1) maxz = 3 x1 + 12 x2；
约束条件：2 x1 + 2 x2 ≤ 11，
- x1 + x2 ≥ 8，
x1，x2 ≥ 0．
(2) min4 x1 + 3 x2；
约束条件：2 x1 + 1/2 x2 ≥ 10，
2 x1 ≥ 4，
4 x1 + 4 x2 ≥ 32，
x1，x2 ≥ 0．
(3) max2 x1 + 3 x2；
约束条件：8 x1 + 6 x2 ≥ 24，
3 x1 + 6 x2 ≥ 12，
x2 ≥ 5，
x1，x2 ≥ 0．
(4) maxz = 2 x1 + x2 + x3；
约束条件：4 x1 + 2 x2 + 2 x3 ≥ 4，
2 x1 + 4 x2 ≤20，
4 x1 + 8 x2 + 2 x3 ≤16，
x1，x2，x3 ≥0．
第七章 思考题、主要概念及内容 运输模型运输问题的计算机求解运输问题的运用运输问题的表上作业法

第八章 整数规划的图解法 整数规划的计算机求解 整数规划的应用 整数规划的分枝定界法
1. 有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少。（试建立该问题的整数规划数学模型，不用求解）

2. 某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探费用为最小。若10个井位的代号为S1, S2,…, S10，相应的钻探费用为C1, C2,…, C10，并且井位选择方面要满足下列限制条件：
或选择S1和S7，或选择钻探S8；
选择了S3或S4就不能选S5，或反过来也一样；
在S5，S6，S7，S8中最多只能选两个；
试建立这个问题的整数规划模型并求解。
3. 某畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部，拟议中有10个位置 Ai (i＝1，2，3，…，10)可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规定：
在东区由A1，A2，A3三个点中至少选择两个；
在西区由A4，A5两个点中至少选一个；
在南区由A6，A7两个点中至少选一个；
在北区由A8，A9，A10三个点中至多选两个。
Ai各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况见下表（单位：万元）所示。

但投资总额不能超过820万元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大?建立上述问题的整数规划模型并求解。第十章 基本概念、基本方程与最优化原理
第十一章 图与网络 最短路问题 最小生成树问题 最大流问题与最小费用最大流问题
第十六章决策分析不确定情况下的决策 风险性情况下的决策 效用理论在决策中的应用 层次分析法

第十二章 车间作业计划模型 统筹方法
练习（p279 习题1）
在一台车床上要加工7个零件，表12-18（p279）列出它们的加工时间，请确定其加工顺序，以使各零件在车间里停留的平均时间最短．

练习（p279 习题2）
有7个零件，先要在钻床上钻孔，然后在磨床加工．表12-19（p279）列出了各个零件的加工时间．确定各零件加工顺序，以使总加工时间最短，并画出相应的线条图．各台机器的停工时间是多少?

第十三章 经济订购批量存储模型 经济生产批量模型 允许缺货的经济订货批量模型 允许缺货的经济生产批量模型 经济订货批量折扣模型 需求随记的单一周期的存储模型 需求为随机变量的订货批量、在订货点模型需求为随机变量的定期检查存储量模型 物料需求计划（MRP）与准时化生产方式（JIT）简介
1. 某医院每年需要某种药品35600瓶，每次定购费用需要500元，若每瓶药单价为2.5元，每瓶药的年保管费用为36.5元，设对药品的需求是连续均匀的，且不能缺货，制药厂对定购（每次）600瓶以上时优惠5％，定购1200瓶以上时优惠10％，如果当天订货可当天付货，该医院应取什么样的采购策略可满足全年需求。
2. 在确定性存贮问题中，记C1为订货费，C2为存贮费，C3为缺货费，R为需求率，设C1、C2和R均为常数，不需要提前订货，且一订货即可全部供货。
（1）请分别写出不允许缺货和允许缺货（缺货要补）两种条件下最佳批量相应的总费用表达式，并说明允许缺货时的费用不会超过不允许缺货时的费用。
（2）若R=50箱/月，C1=60元/次，C2=40元/月，允许缺货且缺货要补，C3=40元/箱.周。求最佳订货批量及订货间隔时间。
3. 某菜场每天售货量r（单位：万斤）的经验分布函数为：
r ：
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
p ：
0.05
0.15
0.20
0.30
0.25
0.05
若每百斤进货价为120元，售出价为150元，若当天不能售出，则剩余的菜按每百斤30元处理，求菜场的每天的最佳进货量。
第十四章
排队过程的组成部分
单/多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型
排队系统的经济分析
单服务台泊松到达、任意服务时间的排队模型
单服务台泊松到达、定长服务时间的排队模型
多服务台泊松到达、任意的服务时间、损失制排队模型
单/多服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容量有限制的排队模型
1. 计划在某处开设一个小商店，预计顾客到达为Possion过程，平均每小时到达20人，现考虑两种方案：
配备4名售货员，假设每人对顾客服务时间服从相同的负指数分布，且每人每小时可为10人服务
高薪聘请2名售货员，假设每人对顾客服务时间服从相同的负指数分布但每人每小时可服务15人
试比较两种方案的优劣，你会选择哪一个方案，
根据你考虑问题的角度说明理由，在求解中可应用下面的数据。

2 某服务生有一部电话供顾客使用，若顾客到达为Possion流，平均每小时到达8人，顾客使用电话的时间服从负指数分布，平均需3分钟。求
没有人使用电话的概率
电话被使用的概率
有2人等待使用电话的概率
需要使用电话的平均人数
等待使用电话的平均人数
每位顾客为打电话所耗用的平均时间
每位顾客为打电话所等待的平均时间
在什么条件下，服务台需增加电话以满足顾客的需求
3 在修建飞机场时需考虑飞机跑道的条数，设飞机的起飞和降落为Poisson流，起飞或降落占用跑到的时间服从负指数分布，在下面两种情况下给出设计跑道数目的数学模型：
不考虑跑道的建设费用，但飞机起飞或降落时每小时占用跑道的费用为a万元，每条跑道的运行和维修费用为b万元；
机场的有效利用率不低于65％，起飞或者降落占用跑道的时间不超过七小时。
4 某购物中心设有一个能容纳100辆轿车的停车场，设轿车的到达为一泊松流，顾客的购物时间服从负指数分布，当轿车到达停车场时，若停车场已满，则轿车将不再等待而离去。
（1）此问题可看作何种类型的排队模型？
（2）请解释本问题中的状态概率Pn，队长Ls，排队长Lq，逗留时间Ws和等待时间Wq的实际意义。
（3）如果购物中心的经理希望知道是否需扩大停车场容量，你认为对此可怎样分析？
5 某汽车修理站有一个维修工，已知来站修理的汽车每天（以12小时计）平均到达8辆，每辆平均修理1小时。汽车到达间隔时间和修理时间均服从指数分布，试求：
（1）在汽车站停留汽车的平均数。
（2）汽车列队等待维修的平均时间。
（3）修理站至少有两辆汽车的可能性。
6 某重要设施是由三道防线组成的防空系统。第一道防线上配备两座武器；第二道防线上配备三座武器；第三道防线上配备一座网武器。所有武器的类型一样。武器对来犯敌机的射击时间服从μ＝1（架/分钟）的指数分布，敌机来犯服从λ＝2（架/分钟）的泊松流。试估计该防空系统的有效率。
7 某修理厂负责4台机器维修，修理每台机器的时间与每台机器连续正常工作的时间均服从指数分布。
给出描述这一系统得数学模型；
给出在稳态下系统状态概率的求解方程组（无需求解）；
若每台机器连续正常工作的平均时间为30分钟且计算得出状态概率 分布为
n
0
1
2
3
4
p
0.095
0.190
0.286
0.286
0.143
求：
a．4台机器都能正常工作的概率；
b．出故障机器的平均数；
c．等待修理的机器的平均数；
d．每台机器的平均停工时间；
e．修理一台机器的平均时间。
8 某游乐场有5条保龄球道，平均每小时有15位顾客到达，若球道被占满后（每人占一球道）后来的顾客将自动离去，该系统可用什么数学模型描述？若已计算出系统中有n个顾客的概率为：
n
0
1
2
3
4
5
p
0.05
0.07
0.11
0.16
0.24
0.37

顾客的有效到达率.系统中顾客的平均人数.顾客游戏的平均时间.系统的利用率.根据以上结果，你有什么建议。

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