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市区绿地喷灌喷头的最佳布局

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市区绿地喷灌喷头的最佳布局

数学学院 数学与应用数学（师范）专业 2011级 刘佳
指导教师 张新功

摘 要：随着市区绿化面积的增多，传统的浇灌方式已被新的喷头喷灌方式所取代，要想真正实现喷头的节水量大，浇灌面积广等优点，那么喷灌喷头的布局则成为一个亟待解决的问题。本文根据实际情况的调查做了合理的假设，建立了一般模型，该模型主要研究了喷头按正三角形和正方形排列的情形，通过用matlab，绘制出了喷头喷灌面积的均匀系数变化图和重叠系数变化曲线，经比较，提出了喷头在不同情形下的合理布局
关键词：绿化面积；喷灌强度；合理布局；均匀系数；重叠系数
Abstract: With the increasing number of the green land area in the urban, the traditional means of irrigation is substituted for the new one. However , if we want to make the advantages such as: huge amount of irrigation, wide irrigation area and so on come true, the layout of shower nozzle becomes a problem which must be solved in time. In the modeling ,I consult some relevant materials and make some reasonable assumptions on the basis of recent survey. Then, I make the model. The model is mainly to study the layout of shower nozzle in the way of right triangle and right rectangle. With the mathematical software, I draw the diagram of even coefficient and diagram of curves of the shower nozzle. After the comparison, I pose the reasonable layout of shower nozzle in different cases.
Key words: the green land area; spray and irrigation; the reasonable layout; even coefficient; mathematical software

随着城市的改造和扩建，市区内的主要街道和公园内的绿化面积也越来越大，传统的人工浇灌的方式已远远不能满足绿化的要求，因此针对于灌溉问题许多文献都进行了讨论[1-10]。喷灌作为一种新的灌溉方式，省时省力，节水量大，浇灌面积广等诸多优点，使得这种新技术得到广泛的应用[4，6，8]。针对农业生产中的喷灌 ,基于文献[1，3，7]研究了喷头的排布问题。根据分析和计算 ,得到如下结论:当喷头采用正方形排布 ,且喷头间距是喷水半径 (即射程 )的1.06279倍时有最均匀的喷灌效果 ,喷灌均匀系数为0.9825123。本模型具有较好的实用价值。但与此同时，喷灌设备工程投资较高，喷灌材料的市场价格昂贵等并没有使得喷灌技术得到普及，这就要求我们对这种新技术的使用给予足够的思考：如何合理布局喷灌系统的重要组成成分—喷头，才能真正发挥喷灌喷头的最佳效果。文献[2，4，5，6]通过数学模型的建立进行论证，怎样的布局才能使成本最小化、利益最大化。

1 问题分析

1.1 问题重述
随着市区的绿化面积的逐渐增多，传统的人工浇灌方式也应被新的喷灌方式所取代.喷灌的诸多优点：节水量大，浇灌面积广，土地的利用率得到有效提高等等使之成为近年来备受关注的一种浇灌方式。因此，喷灌不仅仅在农田，苗圃里有着广泛的应用，而且在城市的绿地浇灌中也有着很好的前景。虽然喷灌好处众多，但是喷灌设备工程投资较高，喷灌材料的价格昂贵，并没有使喷灌的技术得到普及。所以喷灌系统的重要组成部分—喷头的正确使用与否，直接影响到喷灌的效果。如果喷头布置过密，则投资增加且浪费水资源，而过稀则会有喷洒不到的地方，使得水量分布不均而影响植物的生长，下面就喷头的作用原理进行了分析，在合理假设的前提下，通过对喷洒水量在灌溉面积上分布的均匀程度和覆盖程度与喷头之间的距离的研究来决定喷头的合理布局。
1.2 问题假设
在喷灌过程中，忽略风等自然因素的影响，即不考虑喷头喷出的水雾受风的吹动而发生偏离，从而影响喷洒水量的分布情况。
假设喷灌的绿地的土地边长远大于喷头的喷洒半径。
将每个喷头看作是一个支点。
假设绿地非常平坦，忽略喷洒到地面的水因地势的不平而发生流动。
1.3 符号说明
：两喷头间的水平距离。
：喷头的喷射半径。
：地面上的一点到某个喷头支架底部的水平距离。
：表示喷灌均匀系数，即喷水量在灌溉面积上的均匀分布程度其计算公
式为
=1— . （1.1）
：单位时间内喷洒到该点处的水的深度，即喷灌强度，其计算公式 为
=，0≤≤ （1.2）
因为为系数，若将看成1个单位，则公式（1.2）简化为
. （1.3）
：单位时间内喷洒的水量之和，即总喷灌量。
：平均喷灌强度，即总喷灌量除以喷灌的地表面积。
：地面上的各点喷灌强度与平均喷灌强度的差的平均值，即喷灌强度的 平均偏差。
：喷灌重叠系数，表示单位面积内平均需要的喷头个数。
1.4 问题分析
考虑喷头的最佳布局时，除去喷头的工作压力，风，地势等人为不易控制的因素外，最重要的一个决定因素就是喷头的排布要均匀，而减少喷头的喷灌的重叠区域，可减少喷头个数，从而节约成本。现考虑绿地喷灌使用的是固定旋转式喷灌系统，显然，将喷头看作质点后，均匀分布意味着用线段将就近连接得到的图形是一些正多边形，而这些正多边形完全覆盖了整个田地。每个喷头喷出的水洒落在以喷头为圆心的圆形区域上，任何一个喷头周围都可以划分为几个正多边形的内角，对于边数大于等于3的正多边形，其每个内角为，所以2必须是的整数倍，即必须是整数，所以=3，4，6.所以喷头的布局构成的正多边形只有正三角形，正方形，正六边形，即我们只需考虑在这些图形的顶点处安置喷头，从而使得喷洒最均匀。

2 与模型的建立及求解

2.1 模型的建立和求解
2.1.1 正三角形的布局研究
在图2-1（a）中，三角形的顶点即为喷头的布置地点，图中=1，此时地面上所有的点都被重复喷灌，显然不符合实际需要中的减少喷头个数的目的。所以>1，另一方面，如图2-1所示，为了植物生长需要但又不能出现灌溉不到的地方，所以<，于是的取值范围应满足1<<，见图2-1中的图形，即为正三角形布局中所研究的对象。

=

C

A A

D
O B
1< <
图2-1 喷头距离与喷灌射程的关系
为了研究图2-1中的重叠部分，需引进喷灌重叠系数，它表示单位面积内土地平均需要的喷头个数，其值等于喷头在一个正多边形中的喷洒面积的总和除以单个喷头的最大喷洒面积，再除以正多边形的面积。
当喷头位于正三角形的三个顶点上时，由上述图2-1可得喷头按三角形排列的重叠系数为=。仔细观察，图2-1具有完全的对称性，所以我们
只需研究图中的阴影部分的平均喷灌强度，即可得整个正三角形的平均喷灌强度。为此，将阴影部分单独拿出来放在直角坐标系中考虑，如图2-2所示：

A

O B
图2-2 1<<时平均喷灌强度分析图
在上图中被两端圆弧分割成了，，三个小区域，其中区域只受到喷头的喷灌，由公式（1.3）可知，在该区域上的点处，其喷灌强度为
.
对于区域上的点，其同时受到喷头和的喷洒，所以其上每一点的喷灌强度为喷头的作用强度再加上喷头作用强度，即 上每一点的喷灌强度为
.
区域上的点同时受到喷头 ，， 的喷洒，其上的喷灌强度等于这三个喷头各自作用产生的喷灌强度之和，即
.
喷灌强度反映了每个点处获得水量的大小，所以将 ，， 分别在相应区域作二重积分并相加，就可得上的总水量。
仔细观察图2-1后发现，图形具有完全的对称性.在一个正三角形区域上的喷灌量(即图2-1中圆心角为的三个相同扇形区域上喷水量的总和) 刚好和一个喷头在半个圆域上喷出的水量相等.而从图中可知的面积刚好是正
三角形面积的，则的总水量为
= . （2.1）
用总喷灌水量除以的面积，可得上的平均喷灌水量，即平均喷灌强度为
. （2.2）
下求上的喷灌强度的平均偏差，即地面上每点处的喷灌强度偏离的平均值，记地面上每点的喷灌强度与平均值的偏差为
.
所以上所有点偏离之和为二重积分，即
.
再除以的面积就可得平均偏离强度：
. （2.3）
将（2.2）和（2.3）代入（1.1）中就可得喷灌均匀系数为
（2.4）
再利用matlab进行数值计算，画出在[1,]之间的变化曲线如图2-3所示

0.98

0.97

0.96

0.95

0.94

0.93 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

图2-3 正三角形分布时均匀系数的变化图
从图2-3中可以看出，当间距<1.1时，均匀系数随的减小而逐渐增大，在间距>1.3时，均匀系数随的增大而减小。而当间距处于1.2和1.3之间时，喷灌均匀系数取得一个极大值，由数值计算可得当间距=1.24时取得极大值=95.8%。综上，当间距=1.24，即喷头间距为其射程的1.24倍时，不仅可以减少喷头个数，而且可以提高均匀系数。
2.1.2 正方形的布局研究
对于正方形区域，当≤1时，一个喷头的喷灌区域完全覆盖了相邻的喷头，这种情形显然不符合实际需求，所以1，但同时为保证没有灌溉不到的区域，所以，因为 ≥时正方形区域中心将有灌溉不到的地方。所以的范围应为1.正方形中的喷灌模型如图2-4（）所示，将图2-4（）中的单独取出来放在直角坐标系中得到图2-4（）。

C D

A

O B

A

O B

图2-4 正方形区域1时的平均喷灌强度分析图
与正三角形的分析情况类似，喷头按正方形布局时，易得喷头的重叠系数为
= .
在图2-4（）中，一个喷头喷出的所有水量正好等于整个正方形区域中的喷
灌水量，而占了整个正方形的，所以有
. （2.5）
将（2.5）除以的面积就可得上的平均喷灌强度为
（2.6）
于是有
. （2.7）
其中被分成四部分,,,,如图2-4所示，与正三角形情况类似地讨论可得：
；
；
；
.
将（2.6）（2.7）代入（1.1）可得均匀系数的表达式
. (2.8)
由于上式是一个含未知参数的特别复杂的函数，较难直接用微积分的知识直接求解相关性质，所以采用数学软件包进行数值计算，利用matlab可以画出1时的大致图形如图2-5所示

0.95

0.9

0.85

1.1 1.2 1.3 1.4
图2-5 正方形分布时均匀系数的变化图
由图可知，当1.062时，均匀系数随的增大而增大；当1.062时，均匀系数随的增大而减小。当=1.062时取得极值，该极值为=98.2%，此时的重叠系数=0.887 。
2.1.3 正六边形的布局研究
正六边形的排布情况几乎可以完全排除掉。因为当喷头间距大于射程即喷头间距大于1时，正六边形的中间会出现灌溉不到的区域，如图2-6所示，

（a）

（b）
图2-6 正六边形分布时喷头距离与喷灌射程的关系
所以喷头间距不应超过喷头的射程。然而，按照间距小于等于射程来布局的话（即≤1），除需要较多的喷头外，还会出现重叠区域过多的现象，仅阴影部分就被喷洒了六遍。此时，只需在正六边形中心处增加一只喷头，即转化成正三角形的情况。
在讨论了三类分布的喷头设置后，可以总结如下：当按正三角形排布时，在=1.24时可求得均匀系数的一个极大值=95.8%，但它只是区间[1,]上的唯一的一个极大值，但并不是最大值，最大值在区间的左端点=1处取得。从理论上看，当喷灌排布的间距等于射程时，水量分布最均匀，但在实际生活中这种方案是不可取的，因为当按这种方案排布时，整个三角形区域就被喷洒了三遍，虽说喷洒足够均匀了，但比单个喷头在间距大于1的正三角形的喷灌面积小，而且重叠系数太高，并没有达到减少喷头的目的。所以，当按正三角形排布时，间距取1.24最好。此时喷头间距为喷头射程的的1.24倍，均匀系数为 95.8%，重叠系数（单位面积需要的喷头个数）为0.75。
当按正方形排布时，喷灌均匀系数在区间[1，]上只能取得一个极大值，它也是该区间上的最大值。此时，取1.06时均匀程度最好。喷灌均匀系数达到了=98.2%，重叠系数为=0.887。
从“按正三角形的布局研究”的那一部分知识中，用matlab绘出均匀系数随重叠系数的变化曲线图.见图2-7，

正三角形的均匀系数
0.95

0.9
正方形的均匀系数
0.85

0.78
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
图2-7 均匀系数随重叠系数变化的曲线
当重叠系数超过0.6时，均匀系数变化平缓，仅在0.9与0.96之间浮动，所以为了尽量减少喷头的个数，考虑重叠系数为=0.61，以大大减少喷头个数，此时，均匀系数为=98.2%，喷头间距为s=1.38.而在重叠系数为0.785时，按正三角形和正方形排布有相同的均匀系数。当均匀系数大于0.785时，按正方形排列的均匀系数显然大于按正三角形排列的均匀系数，此时，令喷头间距为喷头射程的1.06倍，均匀系数就可取得最大值.当重叠系数小于0.785时，即实际喷头不多时，按三角形排列比按正方形排列更合适，令其间距为射程的1.24倍到1.38倍之间时，均匀程度就达到90%以上。

3结束语

喷灌问题实质上是一个多目标规划问题。本文并未沿着常见的规划问题的思路去建模，而是把喷头的排布问题归结为在一定条件下，讨论正三角形和正方形的最佳边长问题。利用数学软件得到了最优边长的数值解。但这考虑的只是一个较为理想的情况，对于实际问题来说，喷头究竟应该如何排布，还应考虑到风，地势，土壤的渗透等诸多因素。这些因素会间接地影响的均匀系数，从而影响喷头间距的排布。
该模型简单明了，容易理解，可以灵活的运用，具有很强的使用价值，因此可以将该模型推广于农田,苗圃喷灌，公园绿化等方面。

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