高一数学必修一知识+典型习题整理.doc

第一章 集合
一、集合有关概念
1.集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性.如：世界上最高的山
(2) 元素的互异性.如：由的字母组成的集合
(3) 元素的无序性.如：和是表示同一个集合
2.常用数集的表示：
u 非负整数集（自然数集）：；正整数集 ；整数集：；有理数集： 实数集：
3.集合的分类：
(1) 有限集：含有有限个元素的集合
(2) 无限集：含有无限个元素的集合
(3) 空集：不含任何元素的集合，记作：.例：
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系——子集
注意：有两种可能：①是的一部分；②与是同一集合.
反之: 集合不包含于集合,或集合不包含集合,记作或
2．“相等”关系： (且)
实例：设 ， “元素相同则两集合相等”
3.集合的性质：
① 任何一个集合是它本身的子集即.
②真子集:如果,且那就说集合是集合的真子集，记作或()
③如果,,那么.
④如果同时 那么.
4.子集个数问题
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集.
u 有个元素的集合，含有个子集，个真子集.
三、集合的运算
运算类型
交 集
并 集
补 集
定 义
=
=
=
韦
恩
图
示

S
A

四、典型例题：
1.下列四组对象，能构成集合的是（ ）
A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数
2.集合的真子集共有 个
3.若集合,,则与的关系是 .
4.设集合，，若，则的取值范围是 .
5.已知集合,, ,若，，求的值.

第二章 函数
一、函数的相关概念
1．函数的对应形式：一对一、多对一．
2．定义域：能使函数式有意义的实数的集合称为函数的定义域.
常见定义域类型：①分母； ②偶次方根的被开方数；对数式的真数；④指数、对数式的底；⑤.
u 相同函数的判断方法：
u ①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；
u ②定义域一致 (两点必须同时具备)
3．值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
4. 函数图象变换规律：
①平移变换：左加右减、上加下减 ；
②翻折变换： 去左留右、右翻左
去下留上、下翻上
二、函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
I.增函数：，都有
减函数：，都有
II.图象的特点
增函数：图象从左到右是上升的；
减函数：图象从左到右是下降的.
III.函数单调区间与单调性的判定方法
.定义法：（证明步骤：取值、作差、变形、定号、下结论）
.图象法:从图象上看升降
.复合函数的单调性规律：“同增异减”
2．函数的奇偶性（整体性质）
I.用定义判断函数奇偶性的步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
确定的关系；
作出相应结论：若为奇函数，则有；
若为偶函数，则有
II.函数图象的特征
奇函数：图象关于原点对称；
偶函数：图象关于y轴对称.
3.函数解析式
主要方法有：①凑配法；②待定系数法；③换元法；④消参法.
三、典型习题：
1.已知函数满足，则= .
2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ ；
若函数的定义域为，则函数的定义域是 .
3.设是R上的奇函数，且当时,,则当时= ；
在R上的解析式为 .
4.函数 ，若，则=
5.求下列函数的定义域：
⑴ ⑵

6.求下列函数的值域：
（1） (2)

7.已知函数，求函数，的解析式.

8.求下列函数的单调区间：
⑴ （2）
9.设函数判断它的奇偶性并且求证：．

第三章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．
u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作.
；
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
，
u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
3．实数指数幂的运算性质
①·；②；③
（二）指数函数及其性质
1.指数函数：形如叫做指数函数.
2.指数函数的图象和性质

定义域 ：
定义域 ：
值域：
值域：
在上单调递增
在上单调递减
非奇非偶函数
非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1）
函数图象都过定点（0，1）

二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（— 底数，— 真数，— 对数式）
说明： 注意底数的限制，且；

；
注意对数的书写格式．
两个重要对数：
常用对数：以10为底的对数；
自然对数：以无理数为底的对数的对数．
u 指数式与对数式的互化

幂值 真数

＝ N＝ b

底数
指数 对数
2.对数的运算性质
如果，且，，，那么：
·＋；
－；
．
注意：换底公式
（，且；，且；）．
利用换底公式推导下面的结论
（1）；（2）．
（二）对数函数
1.对数函数：形如，且叫做对数函数，其中.
注意:， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
2.对数函数的图象和性质：

定义域：
定义域：
值域：
值域：
在上递增
在上递减
函数图象都过定点（1，0）
函数图象都过定点（1，0）

（三）幂函数
1.幂函数：形如的函数称为幂函数，其中为常数．
2.幂函数性质归纳
I.所有的幂函数图象都不经过第四象限，但都过点（1，1）；
II.时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数；
特别地：①当时，幂函数的图象下凸，概括为“高高昂起”
②当时，幂函数的图象上凸，概括为“匍匐前进”；
III.时，幂函数的图象在区间上是减函数．

四、典型习题
1.已知，函数的图象只能(　 )

2.计算： ① ;②= ；= ;
③ =
3.函数过定点 ；
函数fx=loga2x+1-2恒过定点 ；
函数过定点 .
4.函数的递减区间为 .
5.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则 .
6.已知，求：
（1）的定义域；（2）判断的奇偶性；（3）求使的的取值范围.
7. 画出下列函数图象
(1) fx=ln|x| (2) fx=|log3x|
8.已知函数f(x)=loga(x2-2x-3)（a>0且a≠1），讨论f(x)的单调性
9. 求函数的值域.