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高二第一学期数学期中考试押题卷20151025
一．填空题
1．过点和的直线的倾斜角为 ▲ ．
2．命题“， ”的否定是 ▲ ．
3．直线与直线平行，则 ▲ ．
4．已知为椭圆的左右焦点，弦过,则的周长为 ．
5．已知圆经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率 ．
6.若实数满足，则的取值范围是 ．[
7．如果命题是命题成立的必要不充分条件，那么命题“”是命题“”成立的 ▲ 条件．（填充要关系）
8设实数满足线性约束条件，则目标函数的最大值为__________
9．过点的直线与圆交于、两点，且，则直线的方程是 ▲ ．
10．设有两条直线、和两个平面、，下列四个命题中，正确的是 ▲ ．
①若∥,∥,则； ②若,,∥,∥,则∥；
③若，,则；④若，，,则∥．
11．已知A，B两点都在直线上，且A，B两点横坐标之差为，则A，B之间的距离为 ▲
12．抛物线上的点到焦点的距离为5，为坐标原点，则的面积为 ．
13．过椭圆的左顶点A的斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影为右焦点,若，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
14．若⊙与⊙相交于、两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是 ▲ ．
二．解答题
15．设命题：关于的方程有实数根；命题：函数的定义域是．若“或”为真，“且”为假，求的取值范围．
16.已知圆(x＋4)2＋y2＝25的圆心为M1，圆(x－4)2＋y2＝1的圆心为M2，一动圆与这两个圆都外切．
⑴求动圆圆心P的轨迹方程；
⑵若过点M2的直线与⑴中所求轨迹有两个交点A、B，求|AM1|·|BM1|的取值范围．
17．有一种商品、两地都有出售，且两地的价格相同，但是某地区的居民从两地往回运时，每单位距离地的运费是地的倍．已知、两地的距离是千米．顾客购买这种商品，选择从地或者地买的标准是，包括运费在内的总费用比较便宜．求地的购物影响区域的面积（某地的购物影响区域是指选择到该地购买商品的地区）．
18．已知⊙：和定点，由⊙外一点向⊙引切线，切点为，且满足．
(1) 证明：在一条定直线上，并求出直线方程；
(2) 求线段长的最小值；
(3) 若以为圆心所作的⊙与⊙有公共点，试求半径取最小值时的⊙方程．
19.设上的两点，
已知，，若且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由
20．已知圆的方程为和点，设圆与轴交于、两点，是圆上异于、的任意一点，过点且与轴垂直的直线为，直线交直线于点，直线交直线于点．
（1）若，直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
（2）证明：若，则以为直径的圆总过定点，并求出定点坐标；
（3）若以为直径的圆过定点，探求的取值范围．
参考答案
1． 2．， 3． 4．8
5． 6． 7．充分不必要 8． 6
9．或 10．④ 11．
12． 2 13． 14．4
15．真：；真：，所以
16．解：（1）∵|PM1|－5＝|PM2|－1，∴|PM1| － |PM2|＝4
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支。
c＝4，a＝2，b2＝12，
故所求轨迹方程为－＝1（x≥2）。
（2）当过M2的直线倾斜角不等于时，设其斜率为k，
直线方程为 y＝k(x－4)
与双曲线 3x2－y2－12＝0联立，消去y化简得(3－k2)x2＋8k2x－16k2－12＝0
又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0
由解得 k2>3。
由双曲线左准线方程 x＝－1且e＝2，有|AM1|·|BM1|＝e|x1＋1|·e|x2＋1|＝4[x1x2＋(x1＋x2)＋1]
＝4(＋＋1)＝100＋
∵k2－3>0，∴|AM1|×|BM1|>100
又当直线倾斜角等于时，A(4，y1)，B(4，y2)，|AM1|＝|BM1|＝e(4＋1)＝10
|AM1|·|BM1|＝100 故 |AM1|·|BM1|≥100。
17．以中点为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，则，．设为分界线上任一点，从地向处运货的单位运费为，依题意有，所以．即，即．这表明、两地区域分届线是以为圆心，以为半径的圆．所以地的购物影响区域的大小为（平方公里）．
18．解：（1）连为切点，，由勾股定理有
又由已知，故.即：.
化简得实数a、b间满足的等量关系为：.
（2）由，得.
=.
故当时，即线段PQ长的最小值为
（3）设圆P 的半径为，圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，
即且.
而，
故当时，此时, ，.
得半径取最小值时圆P的方程为．
P0
l
解法2：圆P与圆O有公共点，圆 P半径最小时为与圆O外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l’ 与l的交点P0.
r = －1 = －1.
又 l’：x－2y = 0,
解方程组，得.即P0( ,).
∴所求圆方程为.
19．解：（Ⅰ） 椭圆的方程为
（Ⅱ）由题意，设AB的方程为
由已知得：
(Ⅲ) （1）当直线AB斜率不存在时，即,由得
又 在椭圆上，所以
所以三角形的面积为定值
（2）.当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b
所以三角形的面积为定值.
20.（1）∵直线过点，且与圆：相切，
设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
∴直线的方程为，即．
（2）对于圆方程,令，得,即．又直线过点且与轴垂直，∴直线方程为，设，则直线方程为
解方程组,得同理可得,
∴以为直径的圆的方程为，
又，∴整理得，
若圆经过定点，只需令，从而有，解得，
∴圆总经过定点坐标为．
（3）逆命题：设圆与轴交于、两点，是圆上异于、的任意一点，过点且与轴垂直的直线为，直线交直线于点，直线交直线于点，以为直径的圆总过定点，则或者．
证明略
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