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数学中的类比法浅析刘孚梅论文摘要 类比法是在两个或两类事物间进行对比，找出一些相同或相似点后,猜测在其他方面也可能存在相同或相似之处，并做出某种判断的推理方法。随着课程改革的深入,培养学生的综合解题能力越来越重要,数学学习更应重视数学思想方法的渗透和培养。类比思想是一种重要的数学思想方法。类比可以使学生经历探究的学习过程,改变学生的学习方式;类比能培养学生直觉思维能力,是一种很重要的思维方法;类比可以增强学生的数学应用意识,提高解决问题的能力。在教学中，对学生进行类比法的训练，是培养学生创造性思维的一种方法。不过，对类比法得到的结论，要提醒学生学会用实例进行检验，以提高学生判断问题的能力。关键词 推理 解题法 类比法 思维 创造性 检验类比法也叫“比较类推法”，作为一种推理的方法,指的是根据两种事物在某些特征上的“相似”,作出它们在其他特征上也可能“相似”的判断。类比法在初中数学范围内应用极其广泛, 是发现概念、方法、公式和定理的重要手段。类比法是重要的教学方法,数学中的许多定理、公式是通过类比得到的,在解题中寻找问题的线索,往往也借助于类比方法,从而达到启发思路的目的。下面就数学教学中的类比法谈点粗浅的看法。一、类比分类数学中的类比，主要有以下几种：（一）结构形式的类比结构关系相同或相似的两类事物，可以并列或平行的类比。例如：加法运算律与乘法运算律，向量与复数，圆与椭圆等，因它们的性质结构相近，可以从结构方面类比。类比时，要抓住两者平行的结构特点，并要注意两者的不同对类比结果的影响。例如：等差、等比数列类比：等差数列：用减法定义，用加法表述性质；等比数列：用除法定义，用乘法表述性质。由等差数列中，若 ，有等式成立，可以类比出，等比数列中，若 （其中不等于0），则 成立。该类比是从等差等比数列并列的结构点进行类比的。（二）概念类比理解本质辨异同。概念类比, 数学概念是数学思维的细胞, 是形成数学知识体系的要素, 是基础知识的核心内容。在初中数学教学中,数学概念的教学是重要的一环,对于概念本质的理解是学生学习数学的一个难点,如何有效的进行突破呢?进行概念的类比教学不失为一种有效的途径与方法。在初中数学学习中有大量的概念,如果孤立地去理解与记忆这些概念,会成为学生学习的一个负担,但从概念的定义形式上看,有一部分概念的定义形式是相似的,通过这些概念之间的类比,进一步理解概念的本质.例如: 三角形,四边形,多边形概念分别为: 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形。由在同一平面且不在同一条直线上的四条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做四边形. 由在同一平面且不在同一直线上的多条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做多边形. 从概念的定义形式上来看,是对一类图形条件的限制,形式上是一致的,不同之处,一是三角形定义中没有在同一平面,二是组成线段条数,其他都是相一致 的.通过这样的类比,学生能从一个新的角度与高度对这三个概念进行认识与理解, 进一步理解概念的本质。在回顾与拓展中设置了一个学生跳一跳能解决的问题:4 a 的含义,a 的取值, 读法分别是什么呢? 生 1:四次方根,生 2:算术四次方根 学生对 4 a 的读法,写法,含义,a 的取值都能进行明确的回答与分析,这样的 知识拓展,显然是教师采用概念形成类比的结果,开启了学生思维的大门,找到了 学习新知的有效方法与途径. 数学概念是数学知识的基础.学生对数学概念的形成过程,同化过程,就决定 了对数学概念掌握的程度.只有理解数学概念,剖析概念,抓住概念的本质,才能 举一反三,触类旁通。在几何教学中，在讲解相似三角形判定定理可类比全等三角形得到，全等形与相似形的关系：全等三角形是相似三角形，当相似比值Kl时的特例，全等与相似条件的比较：(1)两角相等两三角形相似两角相等，夹边相等两三角形全等；(2)两边成比例、夹角相等两三角形相似两边相等，夹角相等两三角形全等；(3)三边对应成比例两三角形相似三边对应相等两三角形全等。此外，在多项式除法与多位数除法，因式分解与质因数分解：开立方与开平方，中心对称与轴对称；分比定理与合并定理；扇形面积公式与三角形面积公式等等，都可以通过类比和对比进行教学，这种数学方法的教学，学生在学习过程中能较轻松地接受新知识，在实践中也证明，这种类比和对比的数学方法，学生掌握的知识扎实，理解也较好。当然，类比和对比只能用来帮助我们建立猜想，作为研究问题的线索。（三）方法类比在教学中心对称和中心对称图形时,可以将它和轴对称和轴对称图形放在一起进行类比教学。为了弄清“中心对称与中心对称图形的区别和联系”也可以先提问题“轴对称与轴对称图形的区别和联系”让学生在横向上有一个类比。甚至在教学“中心对称作图”时也可类比“轴对称作图”,只要将“垂直、延长、相等”改成“连接、延长、相等”。这样,通过对两个类比对象各个方面的比较,学生就很容易接受新知识,真正是“温故而知新”,起到了一箭双雕的效果。再例如:初一数学合并同类项的教学，计算:1+2=3；-1+(-2)=-3；1+(-2)=-1；a+2a=3a；-a+(-2a)=-3a； a+(-2a)=-a；a2b+2a2b=3a2b；-a2b+(-2a2b)=-3a2b ；a2b+(-2a2b)=-a2b这样可以通过简单的计算方法类比出合并同类项的方法(只把同类项的系数相加,字母部分不变)。（四）升、降维类比将二维平面中的对象升级到三维空间中的对象，这种类比方法是升维类比。从平面到立体是典型的升维类比,立体几何中不少定理结论可以溯源于平面几何的某些定理结论。将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，则是降维类比。（六）特殊与一般的类比所谓类比推理,是指通过两个(或两类)对象的一些相同(或相似)属性的比较,从而推出它们的某些其他属性也相同(或相似)的一种逻辑方法。类比对象 类比属性甲 ABCD乙 ABC所以,乙对象可能具有属性D。这是从特殊到特殊的一种推理形式,以两个对象之间的类似为基础的,但所推出的结论未必可靠,仅是一种“似真”的结果,带有猜测的性质。例如学生在学习不等式的加减移项法则时,应用等式的加减移项法则作为类比就比较容易理解这些问题。但这种类比却又容易造成以后乘除移项的失误,有些学生根据“同向不等式可以相加”、“正数的同向不等式可以相乘”,根据类比推理得出“同向不等式可以相减”、“正数的同向不等式可以相除”这样的错误结论来。尽管类比的结果不一定正确,还必须经过严格的证明,但是通过类比联想可以发现新的数学知识,可以找到解决问题的方法和途径,可以培养学生的发散思维,创造性思维及合情推理能力。所以,类比推理是一种重要的数学发现法,是提出假设进行猜想的基础。二 、类比的运用类比是一种从个别到个别，或从一般到一般的推理，运用类比法的关键是找合适的类比对象，并确定它们之间的相似属性。相似或相同的属性越多，运用类比法就越可靠。在数学教学过程中，经常在数与形之间，平面与立体之间，低次与高次之间，相等与不相等之间进行种种类比，将复杂问题简单化，并从简单问题的解决中得到解决复杂问题的方法。例如：在学习分式这章时，关键是要用与分数类比的方法导出分式概念，分式基本性质与分式的四则运算法则，这样新知识易为学生接受与掌握，具体操作如下：首先，复习小学学过的分数概念：两数相除，可以表示成分数的形式，如34=,(-7)2= ,5(-9)= ，一个分数由分子、分母和分数线构成，分子、分母都是数，但分母不能是零，为什么分母不能为零呢?因为零不能做除数，分数有正分数、负分数，如果分子等于零，只要分母不是零(不论是正数还是负数)，这个分数的值就是零。把分数的概念引伸到代数式来，如 这两个式子有什么特点?(1)分式由分子、分母与分数线构成；(2)分母中含有字母，这就是分式，这样就很自然地引入了分式的概念，接着，指出分数与分式的区别所在：分数与分式形式相同，但分式中的分子、分母均为整式，且分母是含有字母的整式。其次，在讲分式的基本性质时，先复习分数的基本性质，推想分式的基本性质，我们来看如何做不同分母的分数的加法： ，这里先将异分母化为同分母，= ，这是根据什么呢?根据分数的基本性质：分数的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的数，分数的值不变，分式是一般化了的分数，因此，分式应该有，这里，A、B、C是整式，由分数的基本性质应该想到化分母为相同,所以，分式的分母应为AB,= 。因此，分式的基本性质是分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。 将分式知识点的讲解与已学过的分数进行类比教学，不仅让学生复习了旧知，同时也更容易让学生快速的接受新知，使教学起到事半功倍的效果。分式的四则运算顺序也可以类比分数进行，先做括号内的运算，然后再进行乘除运算，最后进行加减运算，这个顺序和步骤正是分式四则混合运算的顺序和步骤。概括地说是：“先乘除，后加减、括号内先进行”。三 、类比法的作用随着课程改革的深入展开,培养学生的综合解题能力越来越重要,数学学习更应重视数学思想方法的渗透和培养。类比思想是一种重要的数学思想方法。类比可以使学生经历探究的学习过程,改变学生的学习方式;类比能培养学生直觉思维能力,是一种很重要的思维方法;类比可以增强学生的数学应用意识,提高解决问题的能力。类比法的作用是“由此及彼”。如果把“此”看作是前提，“彼”看作是结论，那么类比思维的过程就是一个推理过程。古典类比法认为，如果我们在比较过程中发现被比较的对象有越来越多的共同点，并且知道其中一个对象有某种情况而另一个对象还没有发现这个情况，这时候人们头脑就有理由进行类推，由此认定另一对象也应有这个情况。现代类比法认为，类比之所以能够“由此及彼”，之间经过了一个归纳和演绎程序即：从已知的某个或某些对象具有某情况，经过归纳得出某类所有对象都具有这情况，然后再经过一个演绎得出另一个对象也具有这个情况。现代类比法是“类推”。由于类比是从特殊到特殊的一种猜测、推理,从一个已知的领域去探索另一个领域，这正符合学生的好奇、去了解陌生世界的心理,也可以极大地激发出学生的兴趣,从而主动地探索、研究新的知识。类比法在中学数学学习中有着重要的作用，它是学习知识、系统掌握知识和巩固知识的有效方法。当我们学习新知识，掌握新知识时，通过类比又可以将这些知识有机地联系起来。如二次曲线学习中，将椭圆与双曲线相应的概念，性质作类比，可使之系统化。类比法在解题中可以启发我们的思维，正如伟大哲学家康德所说：“每当理智缺乏可靠理论的思路时，类比这个方法往往可以指引我们前进。”故此，类比法可以说是我们中学数学解题的引路人。类比是从旧知识推出新知识的一种思考方法,也是人们联想的思维工具.知识之间存在着思想方法等联系,可以通过让学生利用旧知的类比,大胆猜测,从而探索新知。例如在学习三棱锥的体积时,教师应引导学生与三角形的面积进行类比:因为三角形的底边长对应三棱锥的底面积S,三角形底边上的高对应三棱锥的底面S上的高h,而二维空间里的三角形的面积公式为S=12ah,所以由类比方法推测,三维空间里的三棱锥的体积应为V=13hS;在证明三角形面积公式时可以把三角形补成一个平行四边形,三角形的面积是平行四边形的面积的一半,而类似地,要求三棱锥的体积,应把它补成一个三棱柱,然后再分割成三个等体积的三棱锥,这就是课本上的方法如果我们教师运用类比的方法引导学生进行思考,那么他们对这种方法的理解就会毫无困难。教师教学生,不能是简单地讲解知识,不能仅满足于让学生模仿性地解题,更要让学生学会数学的基本思想,分析问题的能力、迁移解题的能力。采用类比联想,能使学生通过举一反三、触类旁通,迅速地掌握数学的基本知识和技能。在解决数学问题的过程中,虽然问题情境发生了根本性的变化,两个对象在表面上毫无共同之处,但通过以发散的思维来分析问题形式,创造条件,使两者存在共同点,这种类比不是一种简单的模仿,而是一种创造性,这对数学教学中培养学生的创新能力和创造性思维能力有着极其重要的作用。例如有这样的一个问题曾难倒了大部分学生:“求证:正四面体A-BCD内的任意一点P到各个面的距离之和等于常数”.其实只要与平面几何的问题进行类比:“求证:等边三角形内的任意一点P到三角形的三边的距离之和等于常数”。由于平面几何中该命题的证明采用的是“面积法”,类似地,这个立体几何问题可采用“体积法”,于是问题迎刃而解。其一类比思维:是解答数学题的基本方法。类比思维包括两方面的含义:(1)联想,即由新信息引起的对已有知识的回忆;(2)类比,在新、旧信息间找相似和相异的地方,即异中求同或同中求异。通过类比思维,在类比中联想,从而升华思维,既有模仿又有创新。其二类比联想:是指对一件事物的认识引起对和该事物在形态。事实上,当我们遇到一个较为生疏的难题而又无从下手的时候,如果能构造一个类似的熟悉问题,从这个熟悉问题的解答过程中得到启发,那么就很有可能悟出原问题的解法。四、运用类比推理应注意的几个问题第一,要善于观察事物的特点。注意从不同事物身上发现它们的共同或相似之处,并追究造成这种共同或相似的原因。要大胆放宽眼界,做到不受自己的研究对象和学科的限制。 第二,类比通常与归纳、演绎综合运用,相互融合，协调发展。另外它也离不开分析、观察、猜想。探索性演绎法通常是靠猜想与联想、直觉等心智运动串联起来的,因此必须自觉掌握创造性思维等特征,并运用到实际工作中去。第三,要善于联想。从一种事物联想到与它性质相似的其他事物;从一种方式方法联想到与其作用类似的其他方式方法;从一个概念或定理联想到与它关系比较密切的一串概念或定理。 第四,强调数学的严密性。类比法本质是发现的方法,而非严格的推理,它在科学探索过程中走了捷径。学生容易接受和喜欢这种方法,自觉和不自觉地进行类比,但其结论有时不一定可靠。因此，要对通过类比推出的结论要给以证明。同时要对学生中不正确的类比及时给予纠正,防止知识的负迁移,形成正确的知识体系。第五,不能将两个或两类本质不同的事物,按其表面的相似来机械地加以比较而得出某种结论,否则就要犯机械类比的错误。只有我们意识到类比的教育教学价值,通过类比的教学方法去展示数学的知识,才能让学生拓展视野,以极大的热情去研究、学习数学,认识到数学世界的和谐统一,才能真正实现学生由“学会”到“会学”的转化。在此，对作为教育工作中的指导者的教师就提出了要求，不仅要有扎实的基本知识体系，同时还要具有严谨的教学思想和负责的态度。参考文献：1 徐利治：数学方法论选讲。武汉：华中工学院出版社，1988。2 侯敏义：数学思维与数学方法论大连：东北师范大学出版社,1991年。3 徐有标，陶文中：数学教学与智能发展北京：光明日报出版社1995年。4 波利亚：数学与猜想M.北京:科学出版社,1984。5 霍福策：浅议新教材中的类比思想高中数学教与学,2009(2)。6 周以宏：浅谈数学直觉的解题功能数学通报,2004(2)。