第八章-A组---郑州升达经贸管理学院.doc

第 八 章 多 元 函 数
（A)
1、证明:Μ1（4，3，1)，Μ2（7，1,2),Μ3(5,2，3）为顶点的三角形是等腰三角形.
2、在y轴上求与点A（1，—3，7）和B(5，7，-5)等距离的点。
3、在XOY平面上求一点，使它与点A(1，—1，2）,B(3,1，4），C（-2，—2，2）三点距离相等。
4、分别写出点Μ（3，—1，4），关于xoy平面，关于yoz平面，关于oz轴，关于坐标零点O（0，0,0）对称点的坐标.
5、作出下列平面图形：
(1）x+ y+ z =1 (2）x+ y+ z =0 (3）x+ y =1 (4）z =1
6、作出下列空间曲面的图形：
（1）x2+y2=1 （2)y = x2 （3）（x-1)2+y2=1
(4）x2+y2+(z-1）2=1 (5）
7、求下列二次函数的定义域D，并描绘出D的区域图形：
（1） (2）z =ln(1-x2）
（3) （4)f（x，y）
（5） （6）
（7）
8、设函数 求f(1,1）的值。
9、若f （x）
10、若f (x，y）
11、若。
12、若.
13、求下列二次函数的极限。
（1） （2)
（3） （4）
（5） （6）
14* 求下列二次函数的极限。
(1） （2）
15＊ 证明极限 不存在.
16＊ 证明极限 不存在.
17* 判断函数 , 在(0，0）处是否连续.
18、 设函数 , 求.
19、， 求.
20、求下列函数的一阶偏导数：
(1） （2）
(3） （4) （5）
（6） （7） （8）
（9） （10） （11）
（12） （13）
(14) （15)
21、计算下列函数在给定点处的偏导数.
（1） 求 ，
(2） 求 ，
（3) 求 ，
（4） 求,
22、求下列函数的二阶偏导数:
(1) （2）
(3) (4）
23、证明下列各题：
（1）若， 则 。
（2）若， 且, 则。
（3）若 ， 则.
(4)若， 则.
24、求下列函数的金微分
(1） (2）
（3） （4)
（5）z =xcosy (6）
25、（1）求函数，当 时的全增量和全微分。
（2）求函数时的全增量和全微分。
26、利用全微分求下述函数在给定点的近似值：
（1） (6.9 ， 2.06）
(2) (1.05 ,0。9, 3。01)
27、设圆锥体的底半径R由30cm增加到30。1cm，高H由60cm减少到59。5cm,试求圆锥体体积变化的近似值。
28、一扇形的中心角为60°，半径为20cm，如果中心角增加1°，为使扇形面积保持不变，应将扇形半径减少多少（计算到小数点后三位）？
29、求下列复合函数的一阶导数（全导数）.
(1）
（2)
（3）
(4）
30、求下列复合函数的一阶偏导数。
（1)
（2）
（3）
（4）
31、求下列复合函数的一阶偏导数.
（1) （2）
（3） （4）
32、求下列复合函数的拐定的偏导数。
（1) （2）
(3）
33、求下列方程所确定的隐函数的一阶导数。
（1) (2）xcosx+ycosx =1
（3） （4）
34、求下列方程所确定的隐函数的一阶偏导数.
（1） (2）
(3） （4）
35、求下列方程所确定的隐函数的指定偏导数.
(1) （2)
36、求下列函数的极值。
(1）(2）
（3) （4）
37、下列函数在给定条件下的条件极值。
(1)
（2)
38、求曲面上离原点最近的点。
39、求表面积为12㎡的无盖长方形水箱的最大容积.
40、求坐标原点到曲线的最近距离。
41、某养殖场饲养的种鱼,若甲种鱼放养x(万尾）乙种鱼放养y(万尾），收获时两种鱼的收获量分别为求使产鱼总量最大的放养数.
43、设生产某种产品必须投入两种要素，分别为两要素的投入量，Q为产业量,若生产函数其中为正常数,且，假设两种要素的价格分别为,试问，当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？
44、画出积分区域，并计算下列二重积分。
（1）.
（2）是由直线x=0，y=0，y=x—1所围成的闭区域。
（3)是顶点分别为(0,0）（2,4）和（6，0）的三角形闭区域。
（4）是由所确定的闭区域.
(5）是由抛物线所围成的闭区域.
(6）是由直线和曲线所围成的闭区域。
45、通过交换积分次序计算下列二次积分。
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6)
46、利用极坐标计算下列二重积分。
(1）是由所围成且x0
（2）为
（3）
（4）
47、化下列二次积分为极坐标形式的二次积分，并计算积分值。
（1） (2）
(3) (4)
48、利用二重积分计算下列曲线所围成的区域的面积.
（1）与 (2）与
（3) （4）
49、利用二重积分，计算下列曲面所围成的主体体积.
（1）
(2）
（3）
（4）
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