微积分下册期末试卷及答案[1].doc

微积分（下）试卷及参考答案1、已知，则_。2、已知,则_。3、函数在点取得极值。4、已知，则_。5、以(为任意常数)为通解的微分方程是_。6 知与均收敛，则常数的取值范围是（c ）。(A) (B) (C) （D） 7 数在原点间断，是因为该函数（b )。(A） 在原点无定义 (B） 在原点二重极限不存在 （C) 在原点有二重极限，但无定义（D） 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若，则下列关系式成立的是（a）.（A) （B) （C） （D） 9、方程具有特解(d )。(A） (B） （C) （D) 10、设收敛，则（d ).（A) 绝对收敛 （B) 条件收敛 (C） 发散 (D） 不定一、填空题（每小题3分，共15分）1、. 2、。 3、。 4、1。 5、。11、求由，所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。解：的函数为.且时，.于是12、求二重极限。解：原式 (3分） (6分）13、由确定，求。解：设，则,， （3分） （6分)14、用拉格朗日乘数法求在条件下的极值.解：令，得,，为极小值点。 （3分）故在下的极小值点为，极小值为(6分）15、计算。解： （6分)6、计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域。解： （6分）17、解微分方程。解：令，方程化为,于是 (3分） （6分)18、判别级数的敛散性.解： （3分)因为19、将函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间.解:由于，已知， （3分）那么,。 （6分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料，销售收入(万元)与电台广告费用（万元）的及报纸广告费用(万元）之间的关系有如下的经验公式:,求最优广告策略解:公司利润为令即得驻点,而 （3分),，所以最优广告策略为：电台广告费用（万元），报纸广告费用(万元）. （6分)四、证明题（每小题5分，共10分)21、设,证明:。证：22、若与都收敛，则收敛。证：由于, （3分）并由题设知与都收敛,则收敛，从而收敛。(6分)1、设，则_。2、已知，则_。3、设函数在点取得极值,则常数4、已知，则_5、以(为任意常数）为通解的微分方程是_。6、已知与均收敛，则常数的取值范围是（ ）。（A) （B） （C） （D） 7、对于函数,点（ ）。（A) 不是驻点 (B) 是驻点而非极值点（C） 是极大值点 （D) 是极小值8、已知,其中为，则（ ).（A) （B） （C) (D) 9、方程具有特解（ ）。（A) （B） （C) （D) 10、级数收敛，则级数（ ).(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛（C） 发散 （D） 敛散性不定11、求,，所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。12、求二重极限.13、设,求。14、用拉格朗日乘数法求在满足条件下的极值。15、计算。16、计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程。18、判别级数的敛散性.19、将函数展开成的幂级数。20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元，若生产单位甲产品,生产单位乙产品的总费用为，试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润。21、设,证明.22、若与都收敛，则收敛.（可能会有错误大家一定要自己核对）一、填空题（每小题3分,共15分)1、设，且当时,，则.（)2、计算广义积分=.（）3、设,则。（)4、微分方程具有形式的特解。（）5、设，则_。（1)二、选择题(每小题3分,共15分）1、的值为( A )A。3 B.0 C.2 D.不存在2、和存在是函数在点可微的（ A ）。 A。必要非充分的条件； B。充分非必要的条件;C。充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。3、由曲面和及柱面所围的体积是（D）.A. ; B。 ；C、; D. 4、设二阶常系数非齐次线性方程有三个特解,，,则其通解为（C ). A。； B.； C。； D。5、无穷级数（为任意实数） （D)A、收敛 B、绝对收敛 C、发散 D、无法判断三、计算题（每小题6分，共60分)1、求下列极限：.解：（3分）（6分）2、求由与直线、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.解：（4分）（6分）3、求由所确定的隐函数的偏导数。解：方程两边对求导得：,有(3分)方程两边对求导得:，有（6分)4、求函数的极值。解：，则，,，,求驻点，解方程组得和。 （2分)对有，,于是，所以是函数的极大值点，且（4分)对有,，于是,不是函数的极值点.6、计算积分，其中是由直线及所围成的闭区域；解：. （4分）(6分)7、已知连续函数满足，且，求.解：关系式两端关于求导得：即（2分)这是关于的一阶线性微分方程，其通解为： =（5分）又，即，故,所以（6分）8、求解微分方程=0 。解:令,则，于是原方程可化为:（3分)即,其通解为(5分）即故原方程通解为:(6分）9、求级数的收敛区间。解:令,幂级数变形为，。(3分）当时,级数为收敛；当时，级数为发散。 故的收敛区间是， （5分）那么的收敛区间为。 （6分)10、判定级数是否收敛，如果是收敛级数,指出其是绝对收敛还是条件收敛。解：因为（2分）由比值判别法知收敛(），（4分)从而由比较判别法知收敛，所以级数绝对收敛.（6分）四、证明题（每小题5分,共10分）1、设正项级数收敛，证明级数也收敛。证:,（3分）而由已知收敛,故由比较原则，也收敛。（5分）2、设,其中为可导函数, 证明.证明:因为, （2分）(4分）所以. （5分)一、填空题（每小题3分，共15分)1、设，且当时，则.(）2、计算广义积分=。（）3、设，则。（）4、微分方程具有形式的特解。（）5、级数的和为。（）二、选择题(每小题3分，共15分）1、的值为（ B ）A、0 B、3 C、2 D、不存在2、和在存在且连续是函数在点可微的（ B ) A.必要非充分的条件； B。充分非必要的条件； C。充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。3、由曲面和及柱面所围的体积是（ B）A。 ; B。 ；C、； D。 4、设二阶常系数非齐次微分方程有三个特解，则其通解为(D） A、； B、; C、； D、5、无穷级数(为任意实数） （A)A、无法判断 B、绝对收敛 C、收敛 D、发散三、计算题(每小题6分,共60分)1、求下列极限：.解：（3分）（6分）2、求由在区间上，曲线与直线、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。解：（4分）（6分）3、求由所确定的隐函数的偏导数。解:(一)令则,，利用公式，得（3分）（6分)(二）在方程两边同时对x求导，得解出，（3分)同理解出(6分）4、求函数的极值。解：，则，,，求驻点，解方程组得和. （2分）对有，于是，所以点不是函数的极值点。 （4分)对有，,，于是，且,所以函数在点取得极小值，（6分)（5分)6、计算二重积分,其中是由及所围成的闭区域;解：(4分)（6分）7、已知连续函数满足，求。解：关系式两端关于求导得：即(2分）这是关于的一阶线性微分方程,其通解为：（5分）又,即，故,所以（6分）8、求微分方程的通解。解这是一个不明显含有未知函数的方程作变换令，则，于是原方程降阶为(3分），分离变量，积分得即，从而（5分)再积分一次得原方程的通解 y(6分）9、求级数的收敛区间.解:令,幂级数变形为，.（3分)当时，级数为收敛；当时，级数为发散。 故的收敛区间是， (5分）那么的收敛区间为。 （6分）10、判定级数是否收敛，如果是收敛级数,指出其是绝对收敛还是条件收敛：解:因为（2分）由比值判别法知收敛（）,（4分）从而由比较判别法知收敛，所以级数绝对收敛。（6分）四、证明题(每小题5分，共10分)1、设级数收敛，证明也收敛.证：由于，(3分)而，都收敛，故收敛，由比较原则知收敛。.(5分）2、设，证明：。证明:因为， （2分）, , (4分）所以(5分)第 6 页 共 6 页